Cinematica

Cinematica del punto

Introiezione in riferimento cartesiano _o fisso

(P): {

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

t ∈ [t_in, t_f]

P = P(t)

P - O = x(t) + y(t) + z(t) vettore posizione

Proprietà:

Supponiamo 1 |(P - O)| = costante

Facendo (d/dt)|P - O|² = 0 =>

[d/dt (P - O) . (P - O)]

(P . O) + (P - O) d/dt (P - O) = 0 =>

2 (P - O ) d/dt (P - O) = 0 =>

P - O || d/dt (P - O)

Supponiamo che P(t) sia derivabile due volte e che le derivate siano continue nell'intervallo [t_in, t_f] (punti di classe C₂)

Supponiamo inoltre che la curva sia uscente in almeno un punto e sia regolare (P(t₀ +) ≠ P(t₀ -) per t_o ∈ [t_in, t_f])

Allora esiste almeno un istante intermedio (a meno che tra t_in e t_f, P(t) ≠ 0 ∀t meccanico)

Con P(t) ≠ 0 (d/dt) (P(t) - G) = fisso

Se la curva non è regolare → curva regolare e battito → lo posso chiamare regolare

Prendiamo un sistema di riferimento cartesiano (fisso)

P(t) descrive un traiettivo γ al variare di t.

La velocità è definita come:

V(t) = _dP/_dt = ẋ i + ȳ j + ż k

P(t+dt) è lo spostamento infinitesimo.

Fino ad ora abbiamo il moto su un tratto ora passiamo a trattare su una curva.

Definiamo un verso e percorriamo su un γ fisso:

Δγ è un arcocurva piccolo comprendere base il verso di percorrenza sulla curva.

Δsₙ = segmento tendente ad un asse.

S di t = (1/τ) ∫₁² (F(P(τ)) dτ

S = S(l) è la legge oraria del moto che io sto nella versante della traiettoria questa è l'unica particolare che vi permette di scrivere:

τ = l (2)

P(l) = S(l)

Pₒ = P(l(1))

Moto Armonico

Il moto armonico deriva dal moto circolare uniforme.

p' è la proiezione di P sull'asse x, notare che in base è aumentato

di 90° sulla crocetta _rep ho π/2 che si muore sull'asse x seguendo

quella legge:

x(t) = R cos(θ_t) = x(t) = R cos(ωt + φ₀)

Legge oraria del moto armonico o equazione fondamentale

dello stesso. x(t) soddisfa l'equazione differenziale ordinaria

del 1° ordine (deriva, deriva) a coefficienti:

x + ω² x = 0

Cavilloso se devo.

Primo derivato per derivato x = -ω R sin(ωt + φ₀), x = -ω² R cos(ωt + φ₀)

x = ω² R cos(ωt + φ₀) + ω² R cos(ωt + φ₀)

Nel campo Argus: x² + v² = ω² → pensano cavilloso x² + v² = ω²x

e = e^ici + e^icl, e^ici + e^icl

C_ic2 sono costanti di arbitrati

A=0 (positivi di benevolenza, mi traggo involto)

ae p vengono ottenute due condizioni in stato positivo e provoke antib

• x(0) = x₀
• x(0) = x₀

Possiamo resumere ampero per fare variabile

Equazioni differenziali a coefficienti:

x + ω² x = c

c nel 'ilsole polidare C

il moto armonico renduto assoluto = S_ni

Se volendo

x(t) = R cos(ωt + φ₀) + c/ω²

è quello stesso con deleuguano x cos'odo prodeuo di che x_ni

Anche le capitolo intero deleuguo AΦ

• x(0) = x₀
• x(0) = x₀

Generoso di dottati

Per che sono di rote costanti ho dei vincoli diffeºti.

• x(0) = x₀
• x(0) = x₀

x(t) = A cos(ωt + φ⁰) + c/ω₂

A=0

Però scelta è base radiano e pie fo A = 0

basi il seguvio di A, per H vedere olme qualte

4) Moto rigido elementare

Def: Un moto rigido è elementare se esiste un asse solido che mantiene la sua orientazione costante rispetto allo spazio fisso e punti di quest'asse hanno velocità d'asse stesso.

_{(rc)=oZo + (o^d/dt)eZ x (p-s2)}

La configurazione p è determinata da un angolo di rotazione o_Z e dalle coordinate z nel punto s₂.

5) Moto polare

Def: Un moto rigido è detto polare se esiste un punto solido che sarà fisso. La configurazione è caratterizzata da 3 angoli.

NB: Se z è il punto fisso:

_{(vz)=ozx(p-sz)}

Cioè l'oggetto ruota intorno a un polo.

Atto di moto

• Descrizione Lagrangiana del moto:

Ogni punto del corpo segue la iste per istante in un intervallo t ∈ [t_o, t₁] con velocità T_v(t).

• Descrizione Euleroiana del moto:

Si fisso uno spazio di controllo e un'istante, si studia il campo di velocità nello spazio di controllo (5). T_p non è più la velocità del punto del corpo ma la velocità del punto ES attraverso in quello stato di corpo.

Ciò, noi analizziamo p ES contenuto nel tempo nel probatore uno spazio di controllo trascorrendo istanti (t_i, t₂) nel singolo punto che consideriamo.

Possiamo definire A(t) Atto di moto istantaneo t={P, T_p(p) P ∈ spazio di controllo.

L'Atto di moto è il campo vettoriale che associa ad ogni punto dello spazio di controllo pace velocità.

(Ad esempio: istante fissato t_o)

GEOMETRIA E CINEMATICA DEI SISTEMI VINCOLATI

Sistema costituito da n punti materiali e n corpi rigidi più esse sottoposti a v.v.d. = Relazione sulle possibilità dello stato sistema.

Relazioni per coordinate e velocità:

1. In assenza di vincoli

passaggi liberi sono 3n+6m

Cioè 3x Ogni punto materiale + 6x Ogni corpo rigido =

v = <q₁(t), q₂(t),…, q_n(t) > detti parametri lagrangiani

vincoli -> z = f ₁(x₁, x₂, z) = 0

Esempio

R _a

P

R

1. Ambo P e Costello o resta lungo polo erogato.
2. Se il punto P fosse libero ruotarlo coordinato P.
3. V_in
4. P z=0
5. Vincoli
6. x² + y² = R²
7. x
8. Equazioni indipendenti

Vincolo doppio

3 parametri normali -> 2 legami, vincolari indipendenti -> 1 parametrico normali

Con vincoli punto passa passe θ 3 larghezza B xyz₁

Un punto nella θ C_◊,

così

x x(t)₀ e y z(t)

x O

1. N₁ Le coordinate lagrangiae vogliono coordinate.
2. N₂ I vincoli dell'asse sono P₁ (pass non dipende equilibrote del tempo), li insulati (sono espresso da aggreg. q).
3. Omonimi (dipende solo dalle coordinate)
4. N₃ Pe un punto prova zero vincoli semplici (1 EQ vincoli doppi [2 EQ] vincoli tripli [3 EQ]

v=n 3Parametri normalo

COME POSSIAMO SCRIVERE UN VINCOLO?

1. In generale, dato un sistema con n>16_n Bagamento normali, un blaggio di vincoli assurgo

La forma

ϱ(x₁, x₂, ...., x_n + k₁ ⁿ¹ x_n1 )≠ 0

La generico relativo d'ordine paramprimo può essere scritto con per en cronmplo v (X0, y, z, t)

Esempio vincolo di WADIA

P_ip_i1

P₁ p₂ l₂

Fisasto durante il}}\

I parametri normali di un vincolo EPRATOR rispette reale spazio sono 6 (3 coordinate 3 orgogli.)

(...^={"=="

(*superiore script*)