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PROBABILITÀ TERMODINAMICA
di diversi ottenuta
modi cui
Numero in può una
essere configurazione
N
R e Ni Ni di
isolati Boltzmann
Sistemi ipotesi
e E
N
da
Si V microstato
ed
sistema fissata
costante Ciascun
isolato
consideri particelle
composto
un
ha ed
E è probabile
qui
energia
la
Si di microstati costanti
n
e
consideri collezione V
insieme
insieme
un microcanonico
come di
che
di stabilisce sistema
Boltzmann l'entropia è
L'ipotesi un
Khs
se dell
alla natura
La dovuta si
additiva States
è
logaritmica entropia
proporzionalità
alla della termodinamica
natura 22
stateri
moltiplicativa probabilità
e perché
ogni
altri
di
tutti
tenere
deve conto gli microstati
microstato possibili
miscelazione
Entropia di
esempio Il
etichettati
solida
ideale atomi
consistente in
soluzione 2
1
considero posizionamento
una e
casuale
atomi è
degli che
Sapendo totali
Na
Ni atomi
NA di
Na microstati
A numero
No
Ni le
Si Ni il
Ne
divide solo
sistema
sovrastimare considerare configurazioni
non e
per per
due
di atomi
scambio uguali
uno
non con di miscelazione scritta
può
L'entropia come
essere
ln
Klm Na
SI K
R NiNa Xlix ha
di la
usando si
X
Sterling
l'approssimazione X
lu N
lu Y Ni
NAL Ni Na
Ni
NA
NA
K
ME luna luna
N.lu
IN lu Nel
Ni Na
Na K Ii
Ni
K Ni
xilai
lu Klux
luYa R
UNA Y
Y Ni
I Xilinx
R
In
D
Consideriamo difetti
compostoperfetto senza
un No
Na Klm
1 1 O
SM
Se e
D
Na
No di
tra la
cristalline
Nest chimica sostanze
in variazione
reazione e
pure
ogni nulla allo
è assoluto
entropia zero nulla
allo
di cristallina è
Plonk assoluto
sostanza
l'entropia una e zero
pura
Sistemi costante
Temperatura insiemecanonico
e
a di
da particelle
determinato
Consideriamo sistema costituito n
chiuso in
numero
un un il
ed che
volume V Termostatico
certo in bagno
un
un immerso permette
di avrà
si
Quindi
energia
passaggio costante
Temperatura ad valore
medio
attorno
fluttuante un
energia la
I aventi chiamati
diversa
stessa
microstati temperatura insieme
sono
ma energia
canonico dalla
data di
di lupi
K
5
sistema P
è formulazione Gibbs
L'entropia canonico
un i
nel
il
la
Pi che sitrovi
sistema i
è microstato
dove probabilità
In sistema microstato è equiparabile
ugualmente
microcanonico
un ogni
ki klar
P lui
lui
L I
Se ke
Se
è
o a
le
calcolare distribuzioni
Principio per
di
Il che l'entropia
rende
che relativamente
dobbiamo è 5
quello
ipotizzare massima
grado conoscenza
alle informazioni disposizione
a la
il di microstati
il avente
costante
Con macrostato
sistemi è
i a numero maggiore
energia
distribuzione più probabile
La di
trovare inversamente
diversa
distribuzione è
probabilità completamente proporzionale
una
N
a di Boltzmann
Distribuzione livelli
N
Si che
distribuite assumendo
diversi
consideri ci
particelle siano
non
energetici
su
di
sul sullo livello
vincoli particelle stesso
massimo energetico livelli
Lo tra
N
calcolare distribuiscano i
particelle in
è si energetici
come
scopo da
Tale
modo l'entropia vincoli
i
con
massimizzare seguenti
Totale Pili
media e
l'energia Ni
di
il Pi
Ne 1
particelle
numero a
da lupi
Pi
Se K
Funzione massimizzare lupi Pili Pi
B
D Pi
ausiliaria 1
K
Funzione a e
di ti
il
Si
utilizza dei
metodo moltiplicatori ggi_o
Lagrange
lupi lupi_1
O O
Ei Lei
Pi 2
K K B
fi B
3g a
lupi d'e
B'e
0 Ponendo
1 1
Ei f
pe e o Bed
fa
lupi Pie
L'E Pi
B b
B
Ei Beep
exp
e
a a
la dei
soluzione valori
vincoli
Inserendo i moltiplicatori
ottengo
nei d'E
d'E
up
Be
Pi Pi e
Be
Le e
a ape Z
capra
e
di che
Si dimostra
E d ft
funzione
Z a
partizione 2
con exp la
Ei Rt
Pi Pi che
Quindi exp Dove
di è
distribuzione BOLTZMANN probabilità
z ad
la stato
determinato E
sia
particella in un energia
stati
di che
Uno livello è
stesso Livello quindi
degenere
corrispondere più
può a
energia
il livello conveniente
più
Degenerazione la
Tutti
di stati
Ad aventi stessa
ognilivello Ei corrispondere numerosi gi
energia energia
possono
altre stati
gli
anche caratteristicherendono distinguibili
ma la
del
livello
chiamato peso statistico Bisogna
degenerazione
viene distinguere
energetico
g o da
livello
ad sitrovi
trovi che
certo
che certo
in
si quella
particella un
probabilità una un
energetico
del
all'interno livello
stato energetico feint
stato
la Pi
La che sitrovi certo cap
è
probabilità in
particella un Z
tutti
la calcolata
sommatoria gli
RT
Ei è
Ze
con su
exp
del
stati sistema livello
la trovi
La che particella si è
in energetico
probabilità un specifico
E KT
9 calcolata
sommatoria
P OP Rt
Ei è
Z capi una su
g
con
z livelli
Tutti i energetici
delle particelle
Distinguibilità da
N
T V
sistema costituito
chiuso costanti molecole
Consideriamo distinguibili
un livelli
primidue
solo
E
0in i energetici
ipotesi sono
Per
occupati
ii
µ Eeg
Non lnNi
li ln
klar Klm entropiastatistica
No
Notti
K
S µ
µ tra
alla
di il
al livello
sistema
Forniamo fondamentale
quantità pari
una energia separazione
al
livello
il
ed livello
particella
una
primo superiore
passa
E3
Oin D hey
SE Khan end
Ea
O in E
i si KAY
S
DS KUNI E
la dQaVcot
olll.folll
Per Termodinamica E
s.se f
oY oKlnY
anche
No
Ni Posso scrivere
je
exp It
up
api
GE E
Y E
up Pg
a
o opfi
le
trala di
il Termodinamiche
funzione partizione
Sviluppiamo legame e grandezze
ApfEt laz
lupi
Pi f
Belet E
Bei Z rt
con e eop
o
z luz lube
Pif
lupi
Pi Pi
K Ei
4
k B
Se K Z
Pioli
e It
khz
U Pili Se 4
o rt
Ue Pili E Ei E
L
epigei exp
api arte arte
E ei
E e eh
è E E
L cap
U KT If
L
D ha
conclusione
In si PII
4 KIRI
E KT
Kenz PLI
KT
S ETA
F U TS Z
solidi
Differenza e gas CRISTALLINO
SOLIDO
Mattina localizzati
localizzati atomi
particelle particelle
distinguibili
indistinguibili
0 0
2 Z
lol la
N
Nen Nen z
z
NILE nBhz
Ff BG
Killaz
ln
KN Gf Gf
Se S
Nkt Nkt
1
ln NKtenZ
F F
NKT 1
E LE FI
Pe Pe
NKT NKT
GE GE
livelli
ideale
Gas quantizzati
energetici
di De
Relazione Moe
Broglie fine
le
Vincoli i 2,3
i
geometrici 2g Imre
Ex GIL
E di
i furti
Ei RT
Zx Zx
re
Ghee
exp exp exp
e
Ferpi de
che 1 Zx
saperlo I
ax ritmikt
o E ftp.ktYV
il casotridimensionale
considerando fitnikt
Z Za Zz
Zx
di
Distribuzione Maxwell ideale
Boltzmann un
per gas
velocità
solomoto
Considero Traslatorio quantizzata
a della
della delle
distribuzione
calcolo velocità
Obbiettivo e
di
delle ideale
monoatomico
particelle un
energie gas
a
a La i i
Terna identifica
K numeri
stato quantici
uno
vale I J
Eire gh'i
L'energia K di
energiacinetica c'è possibilità
a degenerazione
o
REFIK Ein sullo
_8mL stesso
i differenti
puntini raggio
h 5
E
R K
non degeneri
l'Eia stati V
vale Quanti
Il gli
8m
TR
volume ve in
f I sono
ha volumeunitario punto
si a ciascun
assegna
I J K
ME di stati E
Ns 8m
I inferiore
numero con a
energia
É É
densità LEI
stati 8M
E
di I Y m
g Va
YES energia
livello
PROBABILITÀ di e
del
di occupazione
KT
P APRII Nei
E E
g e attrikTY
di ideale
partizione Z
Z funzione un
per gas di velocità
Termini
in
DI BOLTZMANN
MAXWELL
DISTRIBUZIONE do
de NA
N E
NIV off
nie Mo
E mo
GE
a o dalla
dalla
NA V'exp
NGI dipendenza massa
If e
II Temperatura
dalla
Dipendenza massa lentamente
particelle
trar più si
i più
xe k pesanti
con muovono
a gas di
il
Le sottese particelle
Ah questo
in
rappresentano numero
aree tutti
uguali
zone per
esempio
I della
velocità distribuzione
0
diff
probabile massimo
più K
Ump di
velocità media of
Te dormi
II di la
devo
velocità fare
E e
media c
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