Biomeccanica del movimento - Dinamica inversa

Equilibrio dinamico e statico

La risultante delle coppie di reazione scambiate con l'esterno e agenti sul segmento r è -HC. La coppia d'inerzia (di D'Alembert) calcolata rispetto al centro di massa, che è CM, è uguale alla derivata, cambiata di segno, rispetto al tempo del momento angolare calcolato rispetto al centro di massa.

Incognite: Fe, Ce

Vado a misurare: Fr, Cr

Vado a stimare: Fi, Fg, Ci

Se faccio tutto questo riesco a scrivere il sistema e risolverlo univocamente. L'equilibrio dinamico di questo sistema di forze e coppie, scritto per il generico punto rispetto a cui si riferiscono le forze e coppie risultanti intersegmentali, assume la forma:

Tutte le grandezze sono calcolate rispetto al sdr del laboratorio.

Introducendo forza d'inerzia e coppia d'inerzia, ottengo un sistema dove la somma di forze e la somma di momenti sono uguali a zero. Questi diventano equazioni della statica. Quindi riconduco un problema di dinamica a un problema di statica con tutte le semplificazioni che ci sono.

permette come per esempio poterscrivere le eq. di equilibrio delle forze e delle coppie prendendo come centro diapplicazione non necessariamente il centro di massa ma un qualunque puntoche appartiene al segmento che sto considerando. Se scelgo in modo opportunoil punto Q posso dare alla coppia intersegmentale un risultato più fisiologicodove C mi da una indicazione degli sforzi che i tessuti molli (muscoli eeligamenti) forniscono per il moto.

STUDIAMO LA PRIMA EQUAZIONE DELLA [31]

Dove F è la forza peso del segmento (vedi sotto per la sua formula) gF è la forza d’inertia (vedi sotto per la sua formula) è uguale a meno m*il’accelerazione della forza di massa che scrivo. Dove P è la posizione, nel sdr diglaboratorio, del centro di massa.

Quindi devo trovare la posizione P ma non posso andare a mettere un markergsu ciascun centro di massa di ciascun segmento; ma avrò informazioni(medianti tabelle, dati antropometrici ecc) che mi diranno ad

esempio dove sta, in un sdr anatomico associato al segmento che sto considerando, il centro di massa nel sdr anatomico che sto considerando (ad esempio prendendo come punti di riferimento gli estremi del segmento stesso esempio: segmento distale e segmento prossimale). Se poi conosco la matrice di rotazione e vettore spostamento che ad ogni istante di tempo mi forniscono l'informazione circa la posa (posizione e orientamento) del sdr anatomico rispetto al sdr assoluto (classica equazione fondamentale della cinematica), posso passare dalla conoscenza del centro di massa nel sdr anatomico alla conoscenza del centro di massa nel sdr assoluto/di laboratorio. p (nella formula di P) è un dato che è fisso nell'ambito del sdr anatomico perché nel sdr anatomico del piede il centro di massa sta sempre lì, nel sdr anatomico di coscia il centro di massa sta sempre lì, quello che cambia è la sua posizione nel laboratorio che posso conoscere se conosco perciascun segmento la matrice di rotazione e il vettore di spostamento tramite i quali lo posso descrivere nel sdr di laboratorio. Devo derivare rispetto al tempo due volte P per trovare F. La derivata seconda di P la trovo tramite opportune tecniche del signal processing (con filtraggio opportuno e con derivata analitica di spline o di polinomi fittanti ecc..). La massa del segmento la ricavo da dati antropometrici. Ricapitolando, F e F le stimo e misuro, e quindi quello che mi rimane da fare è calcolare F. E dato che l'equazione è lineare, basta risolvere banalmente l'equazione. STUDIAMO LA SECONDA EQUAZIONE DELLA [31] Se invece di Q prendo il centro di massa come centro di riduzione per il calcolo dei momenti, F e F spariscono nel calcolo perché passano esse passano per il CM quindi il calcolo dei momenti di queste forze rispetto al punto che in questo caso è anche il loro punto di applicazione è uguale a zero. Se scelgo Q come centro di riduzione, allora il calcolo dei momenti delle forze rispetto al punto Q è uguale a zero.riduzione per il calcolo dei momenti è solamente F_e che crea un momento nullo rispetto al punto Q. Ma F₁, F₂, F₃, F₄ hanno un braccio e i r governano una distanza dalla loro linea d'azione e il punto Q che è diversa da zero. La seconda formula mi dice che la sommatoria di tutti i momenti delle forze e delle coppie agenti sul corpo rigido deve essere uguale a zero. La cosa più complicata è trovare H punto ovvero la variazione del momento angolare che il corpo subisce. Cosa abbiamo nella incognita è C che posso calcolare conoscendo la cinematica. È quella più complicata da conoscere ed è la coppia di inerzia calcolata rispetto al centro di massa del segmento. C è la coppia scambiata con l'ambiente esterno, misurata dalla piattaforma dinamometrica. C è l'incognita che voglio andare a determinare, è la grandezza principale che voglio determinare perché è quella che se scelgo opportunamente il punto Q.

Mi può fornire informazioni circa gli sforzi muscolari?

È il momento della forza peso calcolato rispetto al generico punto, F ha una linea di azione che non passa per il punto Q quindi ha un braccio diverso da zero quindi Mg sarà diverso da zero.

È il momento della forza d'inerzia calcolato rispetto al generico punto, iM è il momento della forza di reazione con l'ambiente esterno calcolato rispetto al generico punto Q che devo misurare.

PPS per calcolare il momento delle forze si M= R x F dove R è il vettore che congiunge un generico punto della linea di azione della forza con il punto Q scelto come centro di riduzione (detto anche polo).

Se: XYZ indica il sistema di riferimento inerziale (con l'asse verticale); xyz indica il sistema di riferimento solidale al corpo rigido indicando con: = +P(t) R(t) p T(t) la relazione che, ad ogni istante di tempo, trasforma le coordinate di un punto viste dal sistema pxyz a quelle dello stesso punto XYZ.

visto nel sistema di riferimento XYZ, si può scrivere: 1. (a) la massa (m) del segmento: m 2. (b) la posizione del centro di massa (CM) nel sistema di coordinate (xyz): (x_CM, y_CM, z_CM) 3. (c) la matrice le cui colonne rappresentano i coseni direttori degli assi principali di inerzia rispetto al sistema (Bxyz): [B_xx, B_yy, B_zz] 4. (d) i momenti di inerzia attorno agli assi principali di inerzia passanti per il centro di massa: (I_xx, I_yy, I_zz) Il meno della formula sopra discende dal fatto che nella [31] scriviamo Ci al primo membro dell'equazione. La trasparentesi quadra è un'espressione semplificata della coppia d'inerzia se questa coppia d'inerzia viene ad essere espressa nel sdr principale d'inerzia. Questo vettore scritto tra parentesi [] componente lungo x,y,z del momento angolare è la variazione del momento angolare. Sdr principale d'inerzia è un sistema di assi che coincidono con assi di.

simmetriadi del copro, la cui direzione è determinata segmento per segmento a partiredalla conoscenza di abachi e tabelle antropometriche.Tutti gli assi principali d’inerzia passano per il cm.

I ,I ,I li trovo sempre dalle tabelle antropometrichexx yy zzR è la matrice di rotazione che mi fa passare da anatomico a sdr di laboratorioAlla fine sono C è incognitae!!

NB NON CHIEDE DI RICORDARSI TUTTE LE FORMULE MA LE PROBLEMATICHERELATIVE ALLE FORMULE SI!!W˙ W˙ W˙ sono le derivate rispetto al tempo del vettore velocita angolarex y zanche esse espresse nel sdr principale di inerzia. Come prima si deve usare letecniche opportune di DSP.w ,w ,wdove sono le componenti della velocità angolare del segmento calcolatax y z w ,w ,wrispetto al sistema principale di inerzia. Il legame tra e la velocità angolarex y zxyzespressa rispetto al sistema (solidale al corpo rigido) si ottiene dalla conoscenza dellaBmatrice tramite la (se il sistema anatomico coincide

con il sistema princ diinerzia B sarà una matrice di identità, altrimenti B sarà la matrice di rotazione che esprime l'orientazione degli assi princ di inerzia rispetto agli assi del sdr: anatomico) è l'espressione della velocità angolare rispetto al sistema di riferimento solidale al corpo rigido che si ricava dalla relazione: ovvero: Q RE' inoltre necessario conoscere i vettori posizione dei punti e per poter procedere al calcolo dei momenti , e .g r i Q xyz Di solito la posizione di è definita nel sistema e deve quindi essere espressa nel sistema inerziale tramite la R XYZ. la posizione di è di solito già nota nel sistema inerziale Q Ovviamente i momenti rispetto a sono definiti da: ρ , ρ , ρ XYZ essendo rispettivamente i vettori, espressi nel sistema , che congiungono il punto con un qualunque punto giacente lungo la retta d'azione di , e .g r i Si noti che le forze/coppie

Le forze intersegmentali risultanti sono quelle applicate al "free-body" dai segmenti adiacenti. Per il principio di azione-reazione (III legge di Newton), azioni uguali e contrarie saranno esercitate dal "free-body" sui segmenti adiacenti.

MODALITÀ DI CALCOLO DELLE FORZE INTERSEGMENTALI.

Supponendo note le forze e coppie scambiate con l'esterno (nel caso della gait analysis questo equivale a conoscere le reazioni di appoggio) e supponendo che ciascun segmento sia collegato a quelli adiacenti da due articolazioni (le pelvine hanno tre), si procede dal segmento più distale verso quelli prossimali. Ad esempio nel caso in figura, si comincia dal piede. Lo si considera come un "free-body" e si applicano per il segmento piede le [31]. Lo considero libero dopo aver effettuato il taglio dal resto del corpo e dopo aver tolto anche il terreno su cui si appoggia il piede. Per fare ciò devo sostituire l'effetto che il terreno fa con il piede.

in un unica forza risultante (F) e in unica coppia risultante (C) agente tra il terreno e il piede stesso. Come si misurano le forze e le coppie cambiate con il terreno: attraverso le piattaforme dinamometriche che forniscono anche il punto di applicazione (R). Supponendo di conoscere la forza risultante (ed il suo punto di applicazione R) scambiata tra piede e suolo, la coppia risultante scambiata tra piede e suolo, supponendo inoltre di conoscere la forza peso del piede le forze e coppie di inerzia.