Biomeccanica del Movimento

BIOMECCANICA

SISTEMI di COORDINATE e VETTORI

• una terna cartesiana ha gli assi disposti come le 3 dita della mano destra
  • pollice secondo x ortogonali
  • indice secondo y ortrginali
  • medio secondo z terna destra
• un punto P di coordinate x, y, z è rappresentato dal vettore colonna
  • P = [ x y z ]^T che contiene le sue coordinate cartesiana

OPPURE può essere rappresentato dall'espressione:

x i + y j + z k dove i, j, k sono rispetti vettori

• Per rendere più agevoli le trasformazioni tra i diversi sistemi, si introduce una quarta coordinata
  • P: { x y z a }

ottenendo cosi le

COORDINATE OMOGENEE dalle quali per tornare a quelle cartesiane ci basta dividere per "a"

N.B. le coordinate x y z sono le lunghezze delle PROIEZIONI del vettore date le proiezioni del prodotto scalare di r per i vettori

cue r = OP

• x = r ◦ i
• y = r ◦ j
• z = r ◦ k

Questi sono gli elementi fisici e matematici usati nella biomeccanica per lo studio dei movimenti dinamici e cinematici del corpo umano

COS'È IL SISTEMA DI RIFERIMENTO?

SISTEMA DI RIFERIMENTO

È un sistema rispetto al quale vengono compiute determinate misurazioni.

È costituito da n rette orientate ognuna per ogni dimensione, che si intersecano nel punto di origine.

SISTEMA DI RIFERIMENTO LOCALE

Per definirlo occorre conoscere la posizione (le coordinate) di ALMENO 3 PUNTI NON ALLINEATI appartenenti al corpo rigido.

COME SI PROCEDE?

• Bisogna identificare l'origine (quindi uno dei 3 punti)
• Prendere il piano passante per i 3 punti (UNICO)
• Si identifica una terna destrorsa partendo da un asse (quello che collega uno dei 3 punti).

Dati m₁, m₂, m₃ andrà calcolate le direzioni; quindi:

• z) trovare il versore del vettore passante per m₂ m₃

  k = ^{m₁ - m₂}/_{‖m1 - m2‖}

• x) il versore del vettore ⊥ al piano

  i = (^{m₃ - m₁} x k) / ‖(^{m₃ - m₁} x k)‖

• y) j = k x i terna destrorsa

3) Quali sono le coordinate xy del punto P?

sappiamo che R = [ cosθ senθ ] [ -senθ cosθ ]

e quindi che

x_P = R L q_P + q_C = 0

x_P = R_L P = q_P = [ R_T T ] x_P

in questo caso P giace sull'asse x → P = [ 2 0 ]

R = [ cos60° -sen60° ] → [ cos60° sen60° ] [ +sen60° cos60° ] → [ -sen60° cos60° ]

= [ 1/2 √3/2 ] [ -√3/2 1/2 ]

quindi x_P = R_g q_g P = [ 2 0 ]^T

4) Quanto valgono i versori ix e iy nuovi espressi nel xy fisso?

x^* = i_x [ cos60° sen60° ] [ i_x x i_x y i_x i_y ]^T

x^* = i_y [-cos30 sen30 ] [ i_y x i_y y i_y i_y ]^T

Matrici di Rotazione secondo gli Angoli di Eulero

• Vengono introdotti per descrivere l'orientamento di un corpo rigido nello spazio.

- quando si fa, sperimentalmente, l'analisi del movimento

• assiociamo
  • un sist. Rn't Mob al corpo rigido
  definiamo la matrice di rotazione che verrà fatta in un certo modo.

Perché - ai riman SRN e SRF non cambiano

• il segmento del SRM sarà messo in un modo rispetto il resto che non possiamo determinare a priori.

Quindi - il dato di cui parliamo sarà la matrice di rotazione R da cui andremo ad estirare gli angoli che corrispondono

ad una determinata sequenza di rotazione

• Indughiamo che il SRM prima di arrivare alla posizione in cui io osservo sia stato allineato con il SRF
• e abbia quindi subito delle rotazioni.

• Pero: dato che la sequenza delle rotazioni non è commutativa
  • introduciamo delle Convenzioni che ci indicano l’ordine con cui andiamo a prendere le rotazioni.

• Convenzioni

• Indicano come, data una matrice di rotazione, è possibile estrarre gli angoli α, ψ, θ.

Questo dipende da quello che immaginiamo essere la sequenza di rotazioni eseguita dal SRM fino ad arrivare al rispetto finale.

Abbiamo una terna di angoli di Eulero

• I Sistema (retro)
  • 1° rot. attorno (z) (ψ)
  • 2° rot. intrario (x) (θ)
  • 3° rot. (z) (φ)
• II Sistema (piano)
  • 1° ass. (x) (ψ)
  • 2° ass. (N) (θ)
  • 3° ass. (N)(φ)
• III Sistema (angoli cardinici)
  • 1° asse X (ψ)
  • 2° asse Y (θ)
  • 3° asse Z (φ) -> del SRM

x del mobile

z del mobile

CENTRO d'ASSE di ISTANTANEA ROTAZIONE (c.i.r)

Punto del corpo rigido che in

Punto del piano

• asse prolungato
• mobile

retta cui vale sempre x(t) = R(t) x + p(t)

origina del S_N rispetto ai due

matrice di rotazione 2x2

derivando (1) y(t) = R(t)x + p(t) (2) in modo da ottenere la posizione s(t) da cui y(t)=0, in y(t)-s(t) e dell'int_erne S_PR

s(t) = R(t)x + p(t) = s(t) - R(t)x + p(t)

con R matr. ortonormal denatalipieza re RX-R^T

x = Rc(t)y + s(t) = p(t)

sostituendo x trovata, abbiamo che ẏ(t) = ṡ(t)

(3) 0 = R(θ)ėR(τýė)(s(t) - 0(t)) + p(t)

follows R(t)R(t)x - s(t) - [R(t)R(0)(t)]p(t)(

tr.(x(t)/R(t)

u = [-1 0 -θ] = [0 -1 θ]

[1 0 1] [1 4]

attenendo che 5θ = dʃ3= aking 0ˎ=w

e andando a sostituire, abbiamo:

ωs(t) = ωS ρ(t) - p(t) l[κδἸκδκ(v)]

e quindi d.e s(t) il

S(t); ρ(t)

1. dʃ3 p(t) = s(t) ρθ(t) ˎ= 5ˎ(t) 0(t)
2. 5 = [0 1] 5ˎ= [0 1] 1₀
3. s(t) = ρ(t) - 5 ρ(t)

Scansionato con CamScanner

Scansionato con CamScanner

a x b = | a | | b | senα = h =

σσ_{y x z}

proprietà del prodotto vettore

se è unendo a x b; 1a x b il in, si ottiene

V = (c x b_z - b x c_z / h₁) + (l_z - m x

(α₁ α₂ α₃

sostituendo i valori dei coseni direttori nelle espressioni delle componenti di V, abbiamo:

V_x = ω h z + ω₁ m z - n y = ω (m z - n y) = m ω z - n ω y

considerando che le componenti di ω lungo gli assi coordinati (L m n) sono

ω = (ω₁ ω_y ω_z)^t = (ω L ω sen ω n)^t

e ricordando la definizione di prodotto vettoriale

V a = m ω z - n ω y = w j z - ω k y

V y = ω b x - b c z - ω x Z

U - V = | ω i | = | j |

r =(X Y Z)^t vettore che indica la posizione ai m' in x y z

Come si ricavano gli angoli della convenzione di Grood & Suntay

Data la matrice di rotazione R₃

R₃ = (

[cαcγ - sαsβsγ -sαcβ cαsγ + sαsβcγ]

[sαcγ + cαsβsγ cαcβ sαsγ - cαsβcγ]

[-cβsγ sβ cβcγ]

)

gli angoli possono essere ricavati con il seguente procedimento:

• se |R₃(3,2)| ≠ 1 → 3 soluzioni distinte
• se |R₃(3,2)| = 1 → situazione singolarità: Gimbal Lock → β = ±π/2

Segue:

• i R₃(3,2) ≠ 1
• β = arcsen(R₃3,2)
• γ = arccos( -R₃3,1/cosβ)
• α = arccos( -R₃1,2/cosβ)

• i R₃(3,2) = 1
• β = {±π/2 se R₃(3,2) = 1
• ±π/2 se R₃(3,2) = -1
• {(α ± ξ) se R₃(1,3) ≠ 0
• ξ = arccos(R₃(1,3))
• (π se R₃(1,1) = 0
• ) ξ ±} se R₃(1,1) = 0

N.B. Gimbal Lock avviene solo quando la rotazione intermedia β è

tale che il primo e il terzo asse sono paralleli.