Autovalori

Autovalori e autovettori

Sia una matrice quadrata di ordine a coecienti in

Denizione 1. n n

∈ ,

A n

K

un campo . Si dice per ogni vettore colonna tale

\ {O}

n 1

∈ ,

A X

autovettore

K K

che esista un con

∈

λ K AX = λX .

Lo scalare è detto di (associato a ).

λ A X

autovalore

Sia la matrice identica di ordine . La scrittura corri-

n n

∈ ,

I n (A − xI)

det

K

sponde ad un polinomio a coecienti in nell'indeterminata . Esso è indicato

x

K

con p (x) = (A − xI)

det ,

A

e viene chiamato .

A

polinomio caratteristico di

Teorema 1. n n

∈ ∈

,

A λ A

Sia . Uno scalare è autovalore per se, e

K K

solamente se, p (λ) = 0 .

A

Anché sia autovalore per è necessario che esista un vettore

λ A

Dimostrazione.

colonna con tale che

n 1

∈ 6

,

X X = O

K AX = λX .

In particolare deve essere una soluzione non banale del sistema lineare omo-

X

geneo (A − λI)X = O

.

Soluzioni di tale fatta esistono se, e solamente se, il sistema non è di Cramer,

cioè (A − λI) = 0

det .

Questo corrispondere a chiedere che sia radice del polinomio caratteristico di

λ

, .

A p (x)

A

Teorema 2. Matrici simili hanno il medesimo polinomio caratteristico.

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