Autovalori

Autovalori e autovettori

Sia una matrice quadrata di ordine n con coefficienti in un campo K. Si dice autovettore per A ogni vettore colonna X tale che esista un λ con:

AX = λX.

Lo scalare λ è detto autovalore di A (associato a X).

Sia la matrice identica di ordine n, I_n. La scrittura corrisponde ad un polinomio a coefficienti in K nell'indeterminata x. Esso è indicato con:

p(x) = det(A - xI),

e viene chiamato polinomio caratteristico di A.

Teorema 1

Sia A ∈ M_n,n(K). Uno scalare λ è autovalore per A se, e solamente se, p(λ) = 0.

Anche perché λ sia autovalore per A è necessario che esista un vettore colonna X ∈ Kⁿ tale che AX = λX.

In particolare, X deve essere una soluzione non banale del sistema lineare omogeneo (A - λI)X = 0. Soluzioni di tale tipo esistono se, e solamente se, il sistema non è di Cramer, cioè:

det(A - λI) = 0.

Questo corrisponde a chiedere che λ sia una radice del polinomio caratteristico p(x) di A.

Teorema 2

Matrici simili hanno il medesimo polinomio caratteristico.