Appuntu completi dell corso di Fondamenti di Meccanica Strutturale

FONDAMENTI DI MECCANICA STRUTTURALE

EQUILIBRIO E REAZIONI VINCOLARI

È sempre il primo passo di un'analisi strutturale

SISTEMA MECCANICO:

• parte o porzione isolata di una macchina o di una struttura
• può essere composta da uno o più corpi rigidi

Un sistema meccanico è in equilibrio se è in quiete o si muove a velocità costante. Esistono vari tipi di equilibrio:

EQUILIBRIO STATICO:

• sistema in quiete

EQUILIBRIO DINAMICO:

• il sistema si modifica istante per istante

EQUILIBRIO QUASI-STATICO:

• il cambiamento è molto lento, quindi si può trascurare e considerare una serie di eq. statici

Il sistema meccanico più semplice è il punto materiale ma per i nostri scopi è troppo semplice

si utilizzerà il modello di CORPO RIGIDO

Un sistema meccanico può anche essere un CORPO DEFORMABILE

GRADI DI LIBERTÀ CORPI RIGIDI/DEFORMABILI:

SPAZIO: 6 gradi di libertà

PIANO: 3 gradi di libertà

Collegando due o più corpi, i gradi di libertà sono sempre definiti per ogni corpo

Utilizziamo delle semplificazioni per l’analisi strutturale (lineare):

VINCOLI:

possono essere interni all’unione di due o più corpi, o esterni ai corpi. Noi li considereremo sempre IDEALI, ossia sempre perfettamente lisci e soggetti a forze puntuali

AZIONI:

Si dividono in FORZE e COPPIE:

• FORZE: spinte o carichi, che possono essere
  • concentrate
  • distribuite
  e vengono rappresentate da un vettore

applicate su un determinato punto di applicazione:

\( \vec{F} = \{F_x, F_y, F_z\} \)

CONDIZIONI DI EQUILIBRIO:

• SPAZIO: ΣF_x,y,z = 0, ΣM_x,y,z = 0
• PIANO: ΣF_x,y = 0, ΣM_z = 0

Consideriamo solo alcune strutture meccaniche: TRAVI

PROPRIETÀ TRAVI:

• Dimensioni trasversali >> dimensioni longitudinali
• Resistive
• Hanno azione costante

Per generare un equilibrio isostatico bisogna inserire o 3 carrelli semplici, o 1 carrello semplice e 1 cerniera, o 1 incastro

esercizio:

C'è un incastro quindi: è un problema isostatico

Per risolvere il sistema si stabilisce il vincolo con le opportune reazioni vincolari

arcitettoria - polo del momento

Al posto di un incastro interno , le linee tracciate vengono unite formando una CERNIERA INTERNA

g⟨l⟩ = g numero di informazioni necessarie per identificare il sistema La cerniera interna sulle travi: Toglie quindi 2 g⟨l⟩e come la cerniera esterna

Se però le travi unite con una cerniera interna diventeranno ENU

g⟨l⟩ = 5 La cerniera interna toglie quindi 3 g⟨l⟩e Toglie un numero i gradi pro porzionale al numero di elementi incernierati

GRADO DI IPERSTATICITÀ:

G _T = (3.i + 2.ce + 2 (r-1) cs + f + cont)_i - 3.n

• G _T = 0 => ISOSTATICA
• G _T < 0 => LABILE
• G _T > 0 => IPERSTATICA

Così facendo però non si considerano i vincoli muovibili.

Si parte lavorando dai nodi con massimo due forze

• N_CD = 0
• N_AC = 0

Stessa cosa accade per il nodo F

• N_EF = 0
• N_GF = 0

Nodo A

• N_AE + F + N_AD · √2/2 = 0
• F/2 + N_AD · √2/2 = 0

• N_DE = -F/2
• N_AD = -√2/2 F

Nodo D

• N_BD + N_AD - √2/2 = 0 ⇒ N_BD = -F/2
• N_AD - √2/2 N_DE = 0 ⇒ N_DE = F/2

Nodo E

• F/2 + √2/2 N_BE = 0
• N_BE = -√2/2 F

Abbiamo trovato quindi tutte le tensioni interne alla struttura causate dalla forza esterna, ma per far ciò esiste anche un altro metodo.

→ { H_A + N = 0 ⇒ N = H_A = 0 T - qx - V_A = 0 ⇒ T = V_A - qx = q(L-x) 5) { M + H_A − qV_A +^L₂ x² qx = 0 = = M = ^qL2/₂ − ^qx2/₂ + qL x = = ^q/₂ (L − x)²

Quando si ha una forza all'interno della lunghezza della trave si devono considerare due sezioni e non uno solo

Si procede con gli stessi ragionamenti; 1: primo ma con due sezioni, una una volta e per ogni calcolo la "x " Procede solamente per l'intervallo considerato con però le forze di tutto il sistema

In questo esempio: { S₁ N = 0 T = P M = -P(^L/₂ - x) S₂ N = 0 T = 0 M = 0

E avremmo risolto il problema calcolando le reazioni vincolari tramite il

metodo delle equazioni ausiliarie; quindi non spostando la struttura, le

reazioni da forze sarebbero state 4 al posto di 5.

CONSIDERAZIONI PRATICHE NEL CALCOLO DELLE CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE:

• Le discontinuità del diagramma di taglio sono rappresentative di carichi concentrati esterni o reazioni vincolari.
• Le discontinuità del diagramma del momento sono rappresentative di coppie/momenti esterni, concentrati o vincolari.
• Le discontinuità delle derivate prime del momento flettente corrispondono ad una discontinuità nel gradino del taglio.
• Quando il diagramma delle aree di taglio attraversa lo zero, il momento flettente assume un valore minimo/massimo.
• In corrispondenza di una cerniera interna il momento deve annullarsi, eccetto che sia presente in quel punto una coppia esterna.

opposti ad una rotazione attorno ad una qualsiasi

=> _A ∫ z² dA > 0

c analogamente = > _A ∫ y² dA

Si può anche definire il momento d’inerzia rispetto ad un asse

=> _A ∫ s² dA

MOMENTO D'INERZIA DI AREA CENTRIFUGO:

È del secondo ordine perché definito rispetto ad una coppia di assi:

=> _A ∫ zy dA

MOMENTO D'INERZIA DI MASSA POLARE:

Non è valutato rispetto ad una altro forma ma rispett a un polo a

=> _A ∫ r² dA

I_ab = I_zg cos(2α) - ^{I_z - I_g}⁄₂ sin(2α)

γ = α₁ - α₂

I_z sin 2α + I_z - I_a ^{- I_z - I_g}⁄₂ sin 2α = 0

SOLLECITAZIONI SEMPLICI

TRAZIONE

Nella trazione/compressione se l'azione è assoggetta, successivamente ad un tratto le fibre subiranno un allungamento identico e le tensioni interne saranno uniformemente distribuite.

σ_xx = ^N⁄_A, dove il pedice "xx" indica la direzione della normale data rispetto a quella tensione è calcolata e la direzione della tensione stessa.

[σ_xx] = [^N⁄_mm²]= [MPa]

DEFORMAZIONE:

ɛ_xx = ^Δe⁄_l → costante da una forza di trazione/compressione