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Lezioni Meccanica strutturale 2023
FONDAMENTI DI MECCANICA STRUTTURALE
STATICA DELLE TRAVI
- Analisi cinematica
- Reazioni vincolari
- Azioni interne (stato di sollecitazioni interne)
Azioni: Azione assiale, Momento flettente, Azione tagliante
MECCANICA DEI CONTINUI (solidi)
- Cinematica
- Statica (come si sollecitano all'interno i corpi)
- Materiali (legami costitutivi)
TRAVE DI DE SAINT VENANT
Linea elastica e principio dei lavori virtuali
Stabilità equilibrio delle travi compresse
Ripasso
Se Ro sia un sistema abbastanza forte a risultante nulla, sistema equilibrato se Ro = 0 e Mo = 0 (se Mo non è coppia)
- Se GDL = GDV la struttura è ISOSTATICA
- Se GDV < GDL la struttura è IPERSTATICA (sovravincolata)
- Se GDV > GDL la struttura è IPOSTATICA, ovvero la struttura si muove (sottovincolata)
La struttura può comunque avere movimenti residui, quindi va effettuata l’ANALISI CINEMATICA.
3GDV, 3GDL = isostatica
> movimento residuo
STRUTTURA LABILE
4GDV, 3GDL = iperstatica/labile
Areni chiusi
19.09.23
3GDL, 3GDV = struttura isostatica
3GDV + 1GDV = struttura iperstatica
1 IPER INTERNA
(1 volta iperstatica internamente)
2 IPER INTERNA (la struttura ha 3 GDV assoluti e 2 GDV relativi)
i vincoli interni sono influenti rispetto al momento assoluto della struttura
3 IPER INTERNA (ogni volta che si ha un’asta che forma un anello)
Rispetto al grado di iperstaticità della struttura con 2 incastri, la cerniera è uno SVINCOLO, ovvero introduce un grado di libertà di rotazione.
Se ad esempio mettiamo la cerniera nell’anello, allora la struttura è 1 volta iperstatica.
1BD3 × 3 = 9GDL
3 GDV assoluti
3 × 2 GDV = 6GDV relativi
isostatica
Tutti i punti dell’asta 1 possono essere considerati a terra, quindi possiamo considerare i vincoli relativi come assoluti:
la struttura rimanente è un arco a 3 cerniere meno labile.
VERIFICA
- ΣFx = 0
- ΣFy = 0
- ΣMA = 0
- ΣMC = 0
possono essere sostituite da 2 eq. dei momenti assoluti rispetto a 2 punti non allineati
≡ duplica della precedente
- ΣMA = 0
- ΣMB = 0
- ΣMC = 0
≡ equilibrio alle rotazioni globale
Un metodo alternativo sarebbe considerare le 2 aste separate aprendo il vincolo relativo: nel nostro caso si avrebbe
3 EEQ ASTA 1
- ΣF1 = 0
- ΣF2 = 0
- ΣMA = 0
3 EEQ ASTA 2
- ΣF1' = 0
- ΣF2' = 0
- ΣMB' = 0
eliminiamo un vincolo e mettiamo in evidenza le reazioni
mi permette di trovare 3 equazioni di equilibrio parziale
3 EEQ
- ΣF1 = 0
- ΣF2 = 0
- ΣMA = 0
3 EEP
- ΣF1 (1,3)
- ΣF2 (1,3)
- ΣMB+(1,2+3) or ΣMB+(1+2,3) = 0
HA = 0
VA = (q1 + 2q2) b / 6
VB = (q1 + 2q2) b / 6
xR = (9q1 + 2q2) / 3(9 + q2)
DIAGRAMMI
I momenti sono riportati dal lato delle fibre tese
Il salto nel diagramma serve a riequilibrare la coppia Fb
- campo 3
∑Fn - N - F = 0
∑Fs - T - 1/2F - F + Fb = 0
T(s) = 1/2F - Fb <--- T = 1/2F
∑Mq = M + 1/2Es - Fb - F(b-s) = 0
M(s) = -1/2E/bS 2 + Fs + Fb
VERIFICHE AI NODI o EQUILIBRIO AI NODI
- punti di raccordo fra i campi
Si verifica l’equilibrio ∀ nodo A, B, C, D per verificare la correttezza dei diagrammi
N.B. In presenza di un carrello esterno a cui sono collegate più aste
GDL = 2m - 1
I GDL sono associati ai modi (cerniere e perni), mentre i GDV vengono individuati con il numero di aste a e i vincoli esterni v
M = numero di modi → 2GDL x m
GDL: 2m GDV: a + v
- ISOSTATICHE
- IPOSTATICHE
- IPERSTATICHE
La stabilità di una struttura articolata può essere valutata se è possibile includerla entro un triangolo a un estremo a 3 cerniere non labile montata su un'aste
Equilibrio ai modi
ES.
a = 9 m = 6 v = 2, 3 2 x 6 + 9-13 isostatica
Sul modo agiscono i carichi esterni e per la natura delle bielle le uniche azioni interne che ci sono sono le azioni assiali
Si cerca un'asta in cui siano presenti solo 2 belle incognite che sono le reazioni vincolari e le azioni assiali delle aste
incognite: R.V (3) + N (9)-12 equazioni: 2n eq traslazione
Tetraedro di Cauchy
Isolando il tetraedro dal resto del corpo è necessario che mantenga la condizione di equilibrio quindi su dΣ1, dΣ2, dΣ3 si devono individuare le componenti di sforzo esercitate dal corpo
- dΣ1 = dΣ·ma1
- dΣ2 = dΣ·ma2
- dΣ3 = dΣ·ma3
Equilibrio alla traslazione
[σα(x, mα) dΣ = -σ1(x) dΣ1 - σ2(x) dΣ2 - σ3(x) dΣ3] + b dV = 0
[σα ma1 - σ1 ma2 - σ3 ma3] dΣ = b / 6 d xk d xs d xs - 0
infinitesimo di ordine superiore trascurabile
Relazione di Cauchy
sqrt[σα(x, mα) - σ1(x) ma1 + σ2(x) ma2 + σ3(x) ma3]
La dipendenza dall'orientazione della superficie del vettore sforzo è lineare
Tensore di sforzo
[σ(x), σ1(x) , σ2(x), σ3(x)]
→ [σα(x, mα) · σ(x) mα]
σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33σα =
[σα1, σα2, σα3]
PARTICOLARIZZAZIONE DELL'AREBOLO AL CASO DI UNO SFORZO PIANO
σα = ς mα = (σncos²θ + σtsin²θ ) cosθ - (σ τ sin θ cos θ ) sin θ
τα = τ tα = -(σnsinθcosθ -στsin²θ )sinθ
(σ - ½(σ11+σβ))² = [(σn-σβ)cos2θ + σtsin2θ]²
τ = ½ | (σ τ sin2θ + σt cos2θ)|2
σm = ½(σ22+σ11)
(σ-σm)² + τ² = R²
DEFORMAZIONE ORIALE CONGRUENZA E CONSEGUENZE NELLA CINEMATICA TIPICHE DEFORMAZIONI
configurazione iniziale configurazione corrente
s(X)-x(X)-X
Lo spostamento è un vettore che descrive la differenza fra una situazione in un certo istante ed una di riferimento. La traiettoria tiene memoria di tutte le posizioni occupate e quindi è legata al vettore relativo.
Consideriamo un intorno piccolo del punto P, all'interno del quale individuiamo un altro punto Q.
dX → dx \qquad vettori posizione diversi
È possibile descrivere il cambiamento di posizione (quindi la deformazione) in modo generale? Per le ipotesi di congruenza ⟶ s(X), x(X) funzioni regolari biiettive ⟶ descrivo la posizione di Q con uno sviluppo in serie di Taylor della posizione in P
xQ(X) = xP(X) + \frac{dX}{dX}\bigg|_P \cdot dX + \Theta(dX^2)
dx = xQ - xP = \frac{dX}{dX} \cdot dX
costitutiva la trasformazione ad un elemento infinitesimo
GRADIENTE DI DEFORMAZIONE \boxed{F=\frac{dX}{dX}}
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