Appunti Topografia - parte 2

W Z

Varianza = vettore di componenti

Per la variabile discreta:

Per la variabile continua:

Covarianza tra la componente X e la componente Y

La covarianza valuta il grado di dipendenza tra le due componenti della variabile

bidimensionale

43

Per la variabile discreta:

Per la variabile continua:

Correlazione



La COVARIANZA misura quanto due variabili variano insieme (esempio: altezza e peso di una

popolazione). Siano X e Y due variabili casuali di media e o le componenti di una

μ μ

x y

variabile doppia: COV(X, Y) = – )(Y – ))

≡

σ μ((X μ μ

xy x y

Proprieta’:

COV(aX + b, cY + d) = acCOV(X, Y)

 COV(X1 + X2, Y) = COV(X1, Y) + COV(X2, Y)

 COV(X, X) = X) = varianza

2

 σ ¿

Se X e Y sono indipendenti allora COV(X,Y) = 0 (ma NON vale il viceversa)

Indipendenza stocastica:

Si ha indipendenza stocastica tra 2 eventi quando il verificarsi dell'uno non modifica la probabilità

del verificarsi dell’altro P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Si ha indipendenza stocastica tra le componenti di una v.c. 2d quando la densità di probabilità

congiunta è pari al prodotto delle due marginali

p = p p

ij i j

f (x, y) = f (x)f (y)

X X Y

La COVARIANZA misura quanto due variabili variano insieme (esempio: altezza e peso di una

popolazione) COV( X,Y) = ≡ μ((X − μX)(Y − μY))

σ

XY

Data la variabile in tabella quanto vale COV(X, Y) = ?

σ XY

44

σ =0

XY

Questo risultato implica che X e Y siano indipendenti? NO.

Covarianza – correlazione: La covarianza misura l’esistenza o meno di una relazione lineare

tra X e Y.

Se tra le componenti di una variabile casuale bi-dimensionale esiste un legame lineare Y = aX

+ b, tenendo conto che:

2 2 2

Inoltre = e quindi = |a| , allora il rapporto

σ a σ σ σ

y x y x

definisco quindi l’Indice di correlazione lineare (o coefficiente di

Pearson):

Si dice indice di correlazione lineare tra le due componenti X e Y la

quantità

che esprime il grado di dipendenza lineare tra le due componenti X e Y.

Si può dimostrare che 1 1

− ≤ ≤

ρ

Se c’" perfetta dipendenza lineare = ± 1.

ρ

E’ adimensionale.

45

La matrice di convarianza X

[ ]

Data la variabile casuale bidimensionale (2D) Z = si definisce matrice di covarianza

Y

2

σ σ

[ ]

Czz = X XY

2

σ σ

XY Y 2 T

Questa matrice " sempre quadrata, simmetrica e definita positiva R a C a 0

≥

∀a ∈ xx

Cxx la matrice di covarianza, a un vettore bidimensionale.

Legge di propagazione della varianza - caso lineare

U=g 1 X ,Y

UV { ( )

[ ]

Sia W = g(Z), W = , con g e g funzioni lineari

1 2

V 2 X , Y

( )

=g in forma matriciale W = AZ + b =

Si ha:

Si ricordi che in questo caso per la media si ha = Aμ + b

μ

W Z

Legge di propagazione della varianza - caso NON lineare

Per una variabile 1D Y = g(X) con g funzione non lineare si procede linearizzando attorno alla

media della variabile X.

Y = g(X) g(μ ) + g′(μ )(X ), ottenendo una formula approssimata per la media e la

−

≃ μ

X X X

varianza della variabile Y:

g(μ )

 ≃

μ

Y X

2 2

[g′( )]

 2

≃

σ μ σ

Y X

46 U=g 1 X ,Y

U { ( )

[ ]

Per una variabile 2D W = g(Z), W = , con g e g funzioni non lineari, si

1 2

V V 2 X , Y

( )

=g

linearizza attorno ai valori medi , :

μ μ

X Y

(le derivate parziali sono calcolate nei punti e e costituiscono lo Jacobiano della

μ μ

X Y

trasformazione)

Ponendo:

⟹ W = Jt + b T T

g(μ , ) C JC J = JC J

⟹ ≃ ≃

μ μ

W X Y WW tt ZZ

La variabile n-dimensionale continua e discreta

47

Anche in questo caso si definiscono le probabilità marginali e condizionate.

Indipendenza stocastica, media, varianza, covarianza

Tutte le componenti sono stocasticamente indipendenti se e solo se f (x , ..., x ) =

X 1 n

f (x )...f (x )

X 1 X n

1 n

Matrice di covarianza C =: [σ ], per definizione " una matrice quadrata di dimensione n e

XX ij ′

̀

simmetrica; si può dimostrare inoltre che " anche semi-definita positiva C o

≥ ∀ν∈R.

ν ν

XX

Se tutte le componenti sono stocasticamente indipendenti si ha che = 0 ≠ j, dunque la

∀i

σ

ij

matrice C " una matrice diagonale.

XX

Propagazione della varianza

Si considerino le variabili casuali X e Y rispettivamente m ed n dimensionali

dim[X] = n

48 dim[Y] = m

e la trasformazione Y = g(X):

Si suppongano note la media e la matrice di varianza-covarianza della variabile casuale X.

Si vogliono ricavare la media e la matrice di covarianza della variabile casuale Y.

Caso lineare: La trasformazione " del tipo Y = AX + b, si ha:

= Aμ + b

μ Y X

C T

=AC A

YY XX

SOCRATIVE - room STATISTICA2020 dim[X] = n, dim[Y] = m dim(C ) = ?, dim(A) = ?,

⟶ XX

dim(C ) = ?

YY

Caso non lineare: La trasformazione " del tipo Y = g(X), introdotte le ipotesi: X ben

concentrata attorno a e g lentamente variabile intorno a si considera la linearizzazione

μ μ

x x

∂g

Y g( ) + )

¿

≃ μ ∂X

49 ∂ g 1 ∂g 1

[ ]

⋯

∂x 1 ∂x n T

∂g μ μ

Dove = jacobiano = J = in questo caso si ha g ( ) e C JC J

⋱

⋮ ⋮ ≃ ≃

Y X

∂X YY XX

∂ gm ∂gm

⋯

∂x 1 ∂x n

Indipendenza stocastica

Per una variabile casuale discreta 2D, se si verifica che la probabilità che X assuma il valore x i

condizionata dal fatto che Y assuma il valore y " uguale alla probabilità che X assuma il

j

valore x allora si ha che la componente X e Y sono stocasticamente indipendenti P[X = xi|Y =

i

y ] = p = p = P[X = x ] ∀i,j

j i;j i i

TEOREMA: condizione necessaria e sufficiente affinché due componenti di una variabile

casuale bidimensionale discreta siano stocasticamente indipendenti " che p = p q dove p e

ij i j i

q sono le marginali della componente X e della componente Y

j

Per una variabile casuale continua la condizione necessaria e sufficiente per l’indipendenza

delle due componenti " f (x, y) = f (x)f (y)

X X Y

Se le componenti di una variabile casuale doppia sono stocasticamente indipendenti tra loro,

il coefficiente di covarianza " pari a zero e la matrice di covarianza " diagonale C =

ZZ

2

σ 0

[ ]

X 2

0 σ Y

Il viceversa non " in generale vero: se la matrice di covarianza " diagonale ciò non implica

50

che le componenti siano stocasticamente indipendenti, ma solo che NON esiste una

dipendenza lineare tra le componenti.

2 eventi sono INDIPENDENTI se P(A B) = P(A)P(B)

 ∩

2 variabili casuali sono INDIPENDENTI se F(x, y) = F (x)F (y)

 X Y

2 variabili casuali discrete sono INDIPENDENTI se p(x , y ) =

 i j

p (x )p (y )

X i Y j

2 variabili casuali continue sono INDIPENDENTI se f(x, y) =

 f (x)f (y)

X Y Teorema centrale della statistica

n

= con X variabili casuali indipendenti tra

X i

∑

n i

Data una variabile casuale definita come S i=1

loro ed ugualmente distribuite, qualunque sia la loro distribuzione, indicate con e 2

μ σ

rispettivamente la media e la varianza comuni a tutte le X , si ha che S tende asintoticamente

i n

in legge ad una normale con media nμ e varianza nσ

2

=

lim f S n (nμ, nσ ) Limite della densità di probabilità



2

x→ ∞

Questo teorema trova un’immediata applicazione al caso di variabili casuali che descrivono

un esperimento di misura ripetuto più volte.

1

n S = (X + X + + X ) X = (X + X + + X )

⋯ ⋯

n 1 2 n n 1 2 n

∀ n σ 2

per “grandi” n si ha: S (nμ, nσ ) X (μ, )

2

∼ ∼

σ n

n n

le rispettive distribuzioni standardizzate sono:

51

X , X corrispondono a n ripetizioni (indipendenti) di uno stesso evento descritto dalla

⋯,

1 n

variabile casuale X. Il teorema afferma che la distribuzione della media di tali ripetizioni " una

distribuzione nota.

NOTA: la varianza deve essere finita, n deve essere sufficientemente “grande” (la regola

2

σ

empirica dice n 30)

≥

Si osservi che vale anche per variabili discrete (che vengono approssimate con distribuzioni

continue).

ESEMPIO: Si vuole stimare l’età media degli utenti di un certo servizio. Si considerano n = 100

persone che usufruiscono del servizio e si verifica l’età media delle 100 persone " 29 anni con

uno scarto quadratico medio pari a 8 anni.

2

σ

Per il teorema X ( ) = (29,0.64)

∼ μ,

n n

Il teorema centrale della statistica o teorema centrale del limite mette in relazione due

distribuzioni:

Quella dell’evento originario (utente del servizio)

 Quella che descrive la media di n ripetizioni (campione estratto)

 TEORIA DELLA STIMA

La teoria della stima consiste nel trarre delle conclusioni su alcune proprietà statistiche della

popolazione mediante informazioni su campioni.

52 DEL LIMITE (o teorema centrale della statistica): date n variabili casuali

TEOREMA CENTRALE

X , X indipendenti e identicamente distribuite di media e varianza allora

2

⋯, μ σ

1 n X n−μ

X (μ, ) o anche σ

2

∼ ∼

σ n

√

Il teorema fornisce informazioni sulla distribuzione di X .

n

Se si considerano misure di alta precisione, dopo aver eliminato errori grossolani (effetto

visibile) e sistematici (ad esempio uno strumento di misura non tarato) restano gli errori

accidentali che sono dovuti a una serie di fattori casuali (in cui intervengono aspetti ottici,

elettronici, ambientali...) che non " possibile né eliminare né conoscere esattamente, per cui

il valore letto " da interpretare come una variabile casuale.

Nell'ipotesi che le misure si distribuiscano in modo tendenzialmente simmetrico intorno alla

misura “vera” (valore reale), si può assumere la media come stima di questo valore.

Gli errori di misura tendono a distribuirsi normalmente almeno quando il procedimento di

misura usato " vicino al limite della precis