Appunti Analisi matematica 2

NON

da

esiste differenziabile 0.

s diverso

diperiale è O

O quindi

da ad

non in

= , ,

,

esercizio

f(x 2)

(p(z 2

y) 2) PIANO

+

xy TANGENTE

= ,

, , la I

funzione 2)

è ,

1) continua

N in

DOMINIG ( parziali

derivate

xyx = ·

fx(x 2 Dominio Ix f, f

al

e uguale esclusi gli

y) dominio di

Y e

= xy

, Domfx fy xy

= o

>

assi , ,

fy(x 2

tangente y)

piano X

= ·

, 2 xy

fy(x0 J

fx(x0 * Domfy P*

f(x0 Domf derivalie

P

40)(y ·

yo)

Xo) in

é

40)(x

40)

z poiché

=

+ +

= -

- ,

, ,

, ,

f(k "2) 1 fé

)

fech(p

= * P* esiste

, DIFFERENZIABILE in =

,

Y

8 by

2

k)

(3 =

= = il

2 tangente

, 2

x piano

((y 2) y(x 1)

() + Yy

(2(X y

(2x

z 2 1 4

+ (x

+ y 2

+ 2z

y

+

+ 0

+

- =

- +

= =

- =

- -

esercizio

ey 2)

2)

24(2 Dominio

- , 4 42

x2

4

270 - -

- 8

>

- -

x ,

yz

+ yz

x2 + Raggio

y24

y2 -x2

Xz

G

N +

0

> 2

: -

- , =

↓

X2 y2 o

>

D +

:

2) PIANO P

TANGENTE

IN f

PP Dominio 2)

è P(1

al

appartiene di continua in

quindi ,

,

Derivate

· parziali )

2 (x)

x-

-

fx 82

- F

y2

(xi 4

(

yz) = -

x = 2x

2x + =

- .

-

.

-

= ·

yz

4 X2

- (x2

- yz)2

(x2 yz)2 +

x2 +

yz

+ I IRz

fx

y2x0

x2 yt

+

N >

: = fx

Dominio f

,

Ix Sy f, escluso

il uguale

e

27 il

dominio perimetro

di stella

a

2

, ,

, G x2 4230

D 424

X1

: =>

- +

- Circonferenza

yzi 03

/60

(x2 Yx

y2)2 +0 >

+ = ,

,

f f

fx Ch

f differenziabile il

P P tangente

continue P

è esiste piano

E in =

in in

sono = =P

, fx(x0

f(x0 22 12

f 12

12

4 " 27

+ 42 7)

.

-

· -

40) -

y)

(x0

40) 2

2

2 2 = = =

= = .

=

= -

22 22

=

= ,

22 ,

, 23

, :

5-2

+ 13 +

1(X 2) 1)

1(y

z 1

1 y 1

X 1 z

+ 0 y

+ x z

+ 3

-

-

= - - +

- 0

- =

-

- =

- -

PUNTI Stazionari Teo FERMAT

di

e f(x)

Vxc f(x)

If(xo) Ig(xo) Domf

/o di

locale)

DEF tale

f

Domf esiste Xo

intorno che

relativo 1

: dice se

Xot

sia punto di

Xo si un

massimo per ,

,

globale) FxeDomf

(o f(x) f(x)

perf

DEF Xo detto

è

si : assoluto se

massimo , f(x)

DEF f (o

differenzialibe

Punto f

: dice stazionario critico

è

Xo in si 0

punto

un cui se

per =

(ovvero 4)

tangente orizzontale

il è

Punti (x

Stazionari panti

i piano

sono piano piano

cu

quei un un ,

Fermat

I teorema di f(x)

f

f differenziabile

è relativo

estremo in

punto di

se allora 0

è Xo

xo un per e =

,

f(x y3

x3

y) 4

esempio 1 3xy

+

+ fx(x

= -

, &

E 3x2

y) X2

3y

3x2 0 y

37 = =

-

= -

,

f(x X 0

=

Stazionari 4)

calcoliamo pante

i =

0

: =

, fy(x 03x"

3y2 - 0cX(X3 1)

3x

3x

342

y) 3x =

= 0

- =

= -

-

, x3 X3

G DOBBIAMO 1

1 1

0

ANNULLARE X

= = =

-

=

-

Stazionario

e

0) LE

(0 DERIVATE

punto

un

, Per capire se tali punti sono max rel. o min rel. o punti di sella bisogna fare riferimento al II

& 1)

B(2 é TEOREMA DI FERMAT

stazionario

punto

un

, Fermat

Il teorema variabili

di y funzioni

le di

per 2

fix f

(R) Classe CP (X0

funzione (A)

R stazionario

4)

di punto

sia EA

sia e un

s una per

,

Detta fi ha

la di

)

H(X Si

matrice Hessiana :

fxy(x

8

, xx(X y)

y)

, ,

H(x y) fyx(x

=

, fyy(x

y) y)

, ,

Correcefyy

fxx Yol/0 (X0 Il teorema non fornisce soluzione nel caso

(X0

Yo) 40)

(X0

2) è relativo

di

40) punto

DetH (0

>0

er e => minimo

, , , , in cui il Det H sia uguale a 0

e fxx (X0

DetH(x0 fyy

Yoko lorence

(X0 Ya) è

2) di

Yo)) relativo

40) punta

se =>

0 massimo

(0

, .

, ,

(Xo

DetH(x0 Yo)

Yo)

3) è punto sella

di

=>

es o ,

, la 40

dobbiamo stabilire

H(X0

Det altri (x0

Yo)

Se natura

modi di

in

=>

o

=

, ,

f(x

esempio 2 y3

x3

y) 4 3xy

+

+

= -

, =

fxx(x

fx(x 3xfxy fy

3fyx

y)

0) y)

3 H(x

y) 3

(0

3x2 =

34 =

= = =

A punti -

-

= ,

-

, , ,

fy(x (1 stazionari

1)

B

342

y) 3x

= -

, ,

3) (

( 3)

DetH(x 6X 6y

y) 9

36xy

=

. - -

= . -

-

,

(0 0)

A = ,

Det 0)

H(0 60 è

0-940 A(0 sella

0) punto di

= > un

.

, ,

1)

(1

B = , fxx(2 2)

H(2 2) rel

di

620 punto

Det ;

2-9

36 2730

2 mis

= =

= .

. .

,

,

TEOREMA SCHWARZ

Di fxy

(A)

e ha fyx(x0

funzione 40)

(X0

f (x0

40) 40)

allora in si

sia EA

punto

ogni :

un =

, , ,

dimostrazione f(h

f(x

f(x

P(x 1h/

f(x f(x definita

y) (0

è

f(x 8)

1)

+ h x)

h

y)

= x) +

y) h per

y)

y + +

+

+ +

= h

-

, -

, ,

, ,

, ,

con

, +0

, 6

hu (0 9)

IU1 opportuno

e un

con

,

lim

(x

Detto f(x) fxy

il h)

h valore

)

vogliamo (X

coordinate

di positivo

che

dimostrare

punto y Y

a +

+ =

,

Consideriamo funzione [0 2]

f(x y)

f(x

la definita

c(t) h) in

+ y + +

+ +

= ,

- ,

,

Lagrange (h)

teorema hw()

w(0)

tale

esiste L

(0

ha

il di che

applicando valore w

h)

che

si in un : =

-

, (fx(x

h(fx(x

f(x =

n)

f(x fx(x y)]

f(x fx(x

y) f(x

h h m) 4) f(x 2

y) u)

2

+

y u) 2

y y

+

+ + 2 +

+ +

y

- = + -

+

- +

- y)

,

, + ,

, , ,

, , , an

la

Consideriamo fx

funzione 40'(P)

v) (n)

(0

4)

(2) O(0)

il tale

lasrange esiste (0 che

K]

definita Teo B

(X 0

2 in =

per

Y si

+

= + =

: -

/ ,

, ,

B)]

u(fxy(x

fx(x fx(x y)

n)

2 2

4 y

y +

+ + =

+ +

=

-

, ,

, B))

M(fxy(x fxy(x

+ y

f(x + B)

=

,

y) 2 y +

+

= ,

-

M(x

h)

Q(x B)

Quando P(x

h Y)

P(x y)

(

2

Tende Anche y

a

y + +

+

+ ,

, ,

,

imp fxy(x fxy

li

fxy(X

fxy limp lim

(x B) f(x (x +B

B) x

Y) a

2 y) +

y y

-

+ + +

+ =

=

= =

, ,

,

& TEOREMA WEIERSTRASS

Di /

f f il il

Se Min

Il MAX PUNTI

è continua sull'insieme allora assoluti EMIN

Di MAX

compatto , su RICERCATI

Assoluti VANNO TRA

assume :

e

,

ya oerisabilità

(a 1)

b)

n di

punti Non

= ,

.. Caso frontiera 2) punti stazionari

sulla

Mem assunti

1 sono

=> frontiera

Caso2

- 3)

M di

stazionari punti

assunti

m

=> sono

e punti

sui

Caso DERIVABILITA

punto

è di

in

assunto

· 3

myx NON

= un

m

im

a

Esempio max min

e ((x 07

f(x +R2(X

y) 6

y)

7yz 6

= 42

7

2y

+ 2x x60

y

2x +

+

= = ,

, ,

,

,

,

svolgimento

Il disegnamo E 5

- 2y

x + = 5

2x y

+ =

... E il f

TEO

compatto assolut

è strass E

insieme MAX

Di Weier su

un mim

assume a

per

. (12)

-

f(x fe (

1) Non

Derivabilità 4) >

punti di Non = Derivabilita

2x 7y punti

ci

+ NON

= di

sono

=

, funzione le

se derisalibe

2) se

polisoniale

stazionari steriorate sempre

u n sono

sempre continue

punti sue

a

fx(x y) 2 (8)

=

, (

f(x h P

Non

=

- y) =

fy(x Staz .

sono

=

, .

y) =

= (T 0) 3)

(0

T

8, =

=

Frontiera

3) le

punti di , ,

rette

Intersezione

Tr a 2

& & (T 2i)Te(2

x 3)

+ 2y 6x 24

6 6

= 2 2

-X

= 2

- ec 6

= . =

- =

(2 -

2)

B(3 ,

0)

(0 0) ,

3) 2

d(0 (

= ,

, , , (6 T)Tt(2 3)

2(b 2y)

2x y

+ = 23

B

y 6 6 25

+ 4y y

= (12 =

2

y

- + -

-

=

= =

-

- ,

,

(0 ) (0 3)

2 ,+ + =

= ,

STUDIAMO PUNTI DI FRONTIERA

Nei f(x

18 f(x)

f(b)

f(a) f(x)

= y) 7y

2

0 2x +

=

= =

= ,

f'(T)

f(t) Confrontando i valori assunti da F si ha che Z=0 è il minimo assoluto

8

1 Now Punti

2T 2 ci sono Critici

o

= = = (A=(0,0)) e Z=21 è il MAX assoluto D=(0,3)

f(t)

7(6 2T)

f( )

2 25 42

42 70

+ 15

25 14T

+ 12

+

= =

-

= -

= = -

-

2i)

2(b

f( f'(t)

23 ) 37 0

7 T 75

sT

12 35

+ 1

+ +

= =

+ =

= . -

- =

7Tf()

f( )

24 7 0

+ =

= = 6

Massimi VINCOLATI g(x

MiNiMi y)