Appunti Teoria sei segnali (Parte 1)

1) Classificazione Dei Segnali

Segnale: funzione del tempo che rappresenta l'evoluzione di una grandezza fisica

• Quantizzazione = Discretizzazione delle ampiezze
• Campionamento = Discretizzazione del tempo

Valor Medio Temporale

s̄(t) = ₁/_Δt ∫_-Δt/2^Δt/2 s(ξ) dξ

Delta di Dirac: anche detta "Impulso Matematico"

δ(t) = lim_Δt→0 1/Δt rect(t)

• ∫_-∞^+∞ δ(t) dt = 1
• δ(t) = ∞ per t=0
• δ(t) = 0 per t ≠ 0

Campionamento ideale

∫_-∞^+∞ s(ξ) δ(t-t₀) dξ = s(t₀)

2) Segnali Periodici

• Rappresentazione: è un modo equivalente di esprimere un segnale, si deve sempre poter tornare indietro.
• Spesso si passa al dominio della frequenza:

Serie di Fourier

s(t) = ∑_k=-∞^+∞ C_k 1/√T e^ikω_ot

C_k = 1/√T ∫^T/2_-T/2 s(t) e^-ikω_ot dt, C ∈ ℂ

Segnale ottenuto come sovrapposizione di infinite armoniche (e^ikω_ot)

• La conoscenza di s(t_k) permette di ottenere un'informazione del segnale s(t)

• La rappresentazione grafica di |C_k| prende il nome di Spettro d'Ampiezza. Mentre quella di arg(C_k) prende il nome di Spettro di Fase.

N.B: Lo spettro di un segnale periodico è a righe

• Un segnale periodico può essere rapp. in serie di Fourier solo se soddisfa il criterio di Dirichlet: ∫₀^T s(t)dt < ∞ ... se s(t) è continua
• Rappres. Trigonometrica: s(t) = ^d₀/₂ + ∑^+∞_k=1 [a_k • cos(kw₀t) + b_k • sen (kw₀t)]
• Proprietà:
  • Traslazione temporale: Dato s’(t) = s(t - τ)C’_k = e^-i*w₀*τ*C_k
  • Traslar. in frequenza: Dato s’(t) = e^i*w₀*t s(t), w_n = n * w₀C’_k = C_k-n
  • Inversione asse tempor.: Dato s’(t) = s(-t) C’_k = C_-k
  • Coniugio: Dato s’(t) = s*(t)C’_-k = C_k*
  • Derivazione:Dato s’(t) = ^{d s(t)}/_dtC’_k = (i*k*w₀)^mC_k
  • Linearità:Dati s₁(t), s₂(t) di uguale periodo T

    Si ha s’(t) = A₁s₁(t) + A₂ s₂(t)C’_k = A₁C_1k + A₂C_2k

  • Convoluzione:C (t) = ∫_-T/2^T/2 s₁(t’)*s₂(t-t’) dt’con C_ik = C_1k C_2k*√T
  • Prodotto: Dato s’(t) = s₁(t) • s₂(t)C’_k = ¹/_√T ∑^+∞_X=-∞ C_1k • C₂(k-n)

  3) Trasformata di Fourier

  • Dominio del tempo —> Frequenza (rappresenta lo spettro)

    L_s S(ω) = ∫_-∞^+∞ s(t)•e^-iwtdt

    s(t) = ¹/_2π ∫_-∞^+∞ S(ω)•e^iwtdw Antitrasformata

  SISTEMI LINEARI

  • Sistema descritto da equazione lineare che lega un ingresso x(t) a un'uscita y(t)
  • Sia h(t) risposta impulsiva, cioè la risposta del sistema a un impulso matematico (y(t) = h(t) quando x(t) = δ(t))
  • Un ingresso può essere ottenuto come la sovrapp. di infiniti impulsi matematici, posti in t = τ.
  • Anche l’uscita è ottenuta come somma delle uscite corrispondenti ai singoli impulsi
  • Risulta più conveniente passare al dominio della frequenza: Y(w) = X(w)·H(w)

  h(t) e H(w) caratterizzano il sistema lineare, la cui azione consiste nel modificare le caratteristiche spettrali del segnale

  I sistemi possono essere:

  • Equalizzatori: sagomano lo spettro
  • Filtri: cancellano parte dello spettro

  FILTRI

  Sono di diversi tipi:

  1. Passa-basso
  2. Passa-alto
  3. Passa-banda
  4. Elimina banda

  "Un filtro è idealmente realizzabile se la sua risp. impulsiva è reale, è anche fisicamente realizz." Se h(t)=0 per t<0, cioè la risposta non può precedere la sollecitazione

  Principio di causalità

  Inoltre |Y(w)|² = |H(w)|² · |X(w)|²

  P_y(w) = |H(w)|² · P_x(w)

  • si può sempre ricostruire il segnale originale perché S_p(t) segue l’andamento di S(t) nella sua durata (finita).

  3) Campionamento istantaneo:

  • Il camp. naturale produce un segnale analogico, quello istantaneo un segnale numerico. A differenza del naturale, quello istantaneo non segue il segnale originale negli istanti Δt_c, ma ogni impulso resta ad un valore costante.

  → Implica una distorsione del segnale.

  Si avrà che S’(ω)=S(ω)·sinc(wΔt_c/2) → S’(t)≠S(t)

  La distorsione vale: |S'(ω)|/|S(ω)|_ω=2πB / |S'(ω)|/|S(ω)|_ω=0 = sinc(^π·Δt_c/_Tc)→ Tanto minore è Δt_c/_Tc, quanto minore la distorsione.

  Camp. di segnali passa-banda (vedi PDF 8)

  L'ISI è una distorsione lineare e quindi può essere ridotta con un equalizzatore.

  È possibile solo se

  B ≥ 1/2 Fs

  • la rete di formazione degli impulsi R(ω);
  • la funzione di trasferimento del mezzo trasmissivo L(ω);
  • la funzione equalizzatrice in ricezione E(ω).

  Si ha dunque

  H(ω) = R(ω)L(ω)E(ω)

  è una possibile funz. di trasferimento in grado di annullare l’ISI.

  • R(ω)
  • L(ω)
  • E(ω)

  Trasforma una sequenza di S(t)

  in impulsi fisici di durata finita

  Funz. di trasferimento a coseno rialzato:

  H(ω) =

  • H₀ per |ω| ≤ π - b/T_s
  • H₀[1 - sin(|ω|T_s - π)/2b] per π - b/T_s ≤ |ω| ≤ π/T_s
  • 0 per |ω| > π/T_s

  b = fattore di roll off

  0 ≤ b < 1

  La larghezza di banda di H(ω) vale

  B = (1 + b)/2T_s

  • b = 0: Banda minima ma fisicamente irrealizzabile
  • b = 1: Banda massima ma semplicemente realizzabile

  Queste funzioni hanno una risposta impulsiva h(t) che soddisfa:

  h(0) = h₀ h(kT_s)=0 → condizione di annullamento dell’ISI

  Una Delta di Dirac applicata negli istanti t=0 e t=kT_s avrà una distorsione che però si annulla negli istanti di applicazione dei due precedenti e successive, quindi possono essere assunti come istanti di decisione

  (Esempi PDF 12)