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Uno spazio vettoriale è definito in termini astratti
∀ insieme di vettori - gruppo commutativo con somma vettoriale
K insieme di scalari - campo con somma e moltiplicazione scalare
Moltiplicazione scalare per vettore
a, b ∈ K u, ω ∈ V
a (bω) = (ab)ω
Multiplicazione per l'identità in K
1ω = ω
a(u + ω) = au + aω
(a + b)u = au + bu
Uno spazio vettoriale può essere
- Delle frecce nel piano/spazio
Un array di numeri (ℝⁿ, ℂⁿ, ℤⁿ,... )
u = |u₁|
|u₂|
|...|
|uₘ₋₁|
δ = |δ₁|
|δ₂|
|...|
|δₘ₋₁|
u + σ = [ u0 + σ0 ⋮ um-1 + σm-1 ]
αu = [ αu0 ⋮ αum-1 ]
• Ma anche delle funzioni!
u: Σε, b3 → ℝ
σ: Σε, b3 → ℝ
[u + σ] (ξ) = u(ξ) + σ(ξ)
[αu] (ξ) = αu(ξ)
Spazio vettoriale Euclideo
Prodotto scalare
<u, σ> = α → scalare
< vettore vettore
Proprietà prodotto scalare
Notazione Prof.
<u, σ> = α
α = scalare = ℝ
<u, σ0 + σ1> = <u, σ0> + <u, σ1>
<u, σ> = <σ, u>*
<u, ασ> = α*<u, σ>
<u, u> ≥ 0 ∀ u ≠ 0
Vecchia notazione
û・ŝ = ℝ
û・(ŝ0 + ŝ1) = û・ŝ0 + û・ŝ1
û・ŝ = (ŝ・û)*
λû・ŝ = 2*(û・ŝ)
û・ŝ ＞ 0 ∀ û ≠ 0
m-1 m-1 m-1Σ Σ Asu us* - polinomi di secondo ordines=0 k=0 uku - nelle componenti del vettore xCome possiamo controllare se è sempre positivo?Teorema di decomposizione spettraleOgni matrice normale è simile ad una matricediagonale tramite una matrice unitaria. In altreparole, per ogni matrice normale H esistono una matriceunitaria U ed una diagonale D per cui:D = U-1HU = U+HUDecomposizione spettraleA Hermitiana → A = QDQ+ - matrice ortonormaleQ = [ q0 | q1 | ... | qm-1 ]qs+qn = 〈qs, qu〉 = { 0 se s≠u 1 se s=u‖q3‖ = √〈q3, q3〉 = 1Q+Q = [ q0+ ] [ q0 | q1 | ... | qm-1 ] = [ 1 0 0 ] [ q1+ ] [ 0 1 0 ] [ qm-1+ ] [ 0 0 1 ]I = identità
Condizioni necessarie e sufficienti per la positiva semidefinita
∀β ∬ A(α, β)β(α)β(β) dα dβ ≥ 0 ⟹ ∮ Δ(ω) ≥ 0
Definiamo
Q(T) = ∬−T/2T/2 A(α − β) e−2πi(ξα−ρ) dα dβ
opportunamente definito
allora
limT→∞ TQ(T) = ∬ A(α − β) e−2πiξ e−2πiβ dα dβ
g(α) g*(β) ≥ 0
limT→∞ TQ(T) ≥ 0 ⇐⇒ limT→∞ Q(T) ≥ 0
limT→∞ Q(T) = limT→∞ 1/T ∬−T/2T/2 A(α − β) e−2πi(α−β) dα dβ
Cambio variabile
ρ = d − β
q = d + β
α = (ρ + q) / 2
β = (−ρ + q) / 2
Posso calcolare lo JACO BIANO
[α β] = [1/2 1/2]1/2 [ρ q]
det = 1/2 × 1/2 − (−1/2 × 1/2) = 1/2
m[∇f(x) -∑j=0m-1 λj ∇Ej(x) = 0]+[E0(x) = 0E1(x) = 0...Em-1(x) = 0]
m equazioni vettoriali
m-dimensionale
λ0, ..., λm-1
m moltiplicatori di Lagrange associati
m + m sconosciute
Principio di lavoro intuitivo
g: R → R nessun vincolo
Derivata parziale
Prendo uno x0 a caso
Calcolo la derivata in x0, e vedo che cresce a destra e allora continuo con xi fino e al max finisce di crescere e sinistre allora vedo ambito diminuito di poco e trovo un punto in cui la derivata è 0 quindi ho trovato il max locale.
Questo mi può portare a sbagliare perché io ho trovato un p.t. di max local non analit.
F : C → R
non può avere derivata a causa della coniugazione
H : R2 → R
F(z) = H (Re{z}, Im{z})
G : C2 → C
F(z) = G(z, z*)
Ho ci sono due modi diversi di scrivere H
Es.
F(z) = |z|2 = z*z
H(x, y) = x2 + y2
H(Re{z}, Im{z}) = Re{z}2 + Im{z}2 = |z|2
G(a, b) = ab
G(z, z*) = z z* = |z|2
min F(z) → z = 0
∇H = [ 2x ] = 0 → x = y = 0
[ 2y ]
H(x, y) = F(z) = G(z, z*)
dH/dx = d/dx G(z, z*) = dG/da * dz/dx + dG/db * dz*/dx
dH/dy = d/dy G(z, z*) = dG/da * dz/dy + dG/db * dz*/dy
dz/dx = 1
dz*/dx = 1
dz/dy = +i
dz*/dy = -i
dH/dx = dG/da + dG/db
gc(t) = 1/2 S(t-1) + 1/2 S(t+1)
Pr{x ∈ A} = ∫t-ξt+ξ gc(t) dt = 1/2 ∫t-ξt+ξ S(t-1) dt + 1/2 ∫t-ξt+ξ S(t+1) dt
Tornando all'aspettazione
- Medie: mx = E[X] = ∫-∞+∞ ξ fX(ξ) dξ
- Varianza: σX2 = E[(X - mX)2] = ∫-∞+∞ (ξ - mX)2 fX(ξ) dξ
- Momento centrato di ordine p: μXp = E[(X - mX)p]
- Momento non centrato di ordine p: mXp = E[Xp]
- Momento assoluto di ordine p: μ|Xp| = E[|X|p]
- Varianza complessa z ∈ C? σZ2 . E[|z - m12|2]
x0 e x1 sono indipendenti iff
Def
∫z=x0 (s, t) = fx0 (s) fx1 (s, t)
Qualsiasi funzione
e = E[ (X1 - X̂1)2 ] = E[ | X1 - H(x0) |2 ] =
= E[ | X1 - mx1 + mx1 - H(x0) - mH(x0) + mH(x0) |2 ] =
= E[ | X1 - mx1 |2 + | mx1 - mH(x0) |2 + | mH(x0) - H(x0) |2 ] =
= E[ | A2 + B2 + C2 + 2 AB + 2 AC + 2 BC | ] =
= E[ A2 ] + E[ B2 ] + E[ C2 ] + 2 E[ AB ] + 2 E[ AC ] + 2 E[ BC ]
sono tutte 0
con l'Hp che sono indipendenti
Dim. le som nulla proce con AB ma solo per tutti
E[ AB ] = ∫-∞+∞ ∫-∞+∞ (ξ1 - mx1) (mx1 - mH(x0)) δ(x0 (s, t)) δ(s, t) ds dt
Possiamo separare gli integrali poiché sono indipendenti solo
di una funzione
= (mx1 - mH(x0)) ∫-∞+∞ fx0 (s) ds ∫+∞ (ξ1 - mx1) fx1 (s, t) dts
è un numero
= 1
1 = 0
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