Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Stabilità dei sistemi in retroazione
Il criterio si ottiene dai fatti A e B imponendo che W (s) non abbia né poli con Re[] = 0 (ddN di F (jω) non passa per il punto critico) né con Re[] > 0 (n = 0). Osservazioni sul CdN: - Per giudicare della stabilità del sistema ad anello chiuso basta il ddN del sistema ad anello aperto. - Se la condizione 1 del CdN è violata allora il sistema retroazionato ha certamente poli con Re[] = 0 e può essere stabile semplicemente (SS) o instabile (I). - Se la condizione 2 del CdN è violata allora: - n = N + n > 0 - Il sistema retroazionato è certamente instabile (I). - Se n = 0 la condizione 2 del CdN diventa: - N = 0 - Il criterio si dice allora ridotto. ESEMPIO: 10F (s) = (1 + s)(1 + 0.1s)^8 CAPITOLO 1. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE (& + N = 0 = nF W ⇒ sistema retroazionato AS+n = 0F) Possiamo anche fare una verifica applicando Routh al denominatore di: 10W (s) = 20.1s + 1.1s + 11 Dato da: D (s) = D (s) + N (s) Si hanno 2poli con Re[] < 0 (sistema retroazionato è AS).ESEMPIO: (k> 0kF (s) = (1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ < 0 poli positivi1 2 1 21.2. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE 9 +n = 2F & + ⇒6 −n sistema retroazionato IN = 0 =F F +n = 2 WESEMPIO: (k> 0kF (s) = +(1 + τ s)(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ , τ > 0 n = 01 2 3 1 2 3 FSe k aumenta cresce anche il modulo quindi il grafico si ”gonfia” in tutte ledirezioni (accrescimento isotropico del ddN).Invece di modificare il grafico possiamo far avvicinare il punto critico a (0,0).• ⇒CASO A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo& +−n ⇒N = 0 = ASF F• ⇒CASO B: il punto critico è interno al ddN k grande& + ⇒6 −n IN = 2 =F FESEMPIO: k> 0 τ > 0(1 + τ s) 11F (s) = k +(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ < 0 n = 22 3 2 3 F |τ | |τ |
| τ | > >1 2 310 CAPITOLO 1. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE• ⇒CASO A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo& +6 −n ⇒N = 0 = IF F• ⇒CASO B: il punto critico è interno al ddN k grande& +−n ⇒N = 2 = ASF F∗In generale vi è un certo valore soglia k per cui:• ∗ ⇒k > k : CASO B AS• ∗ ⇒k < k : CASO A I∗Calcoliamo k con il criterio di Routh (CdR) applicato al denominatore di W (s):2D (s) = (1 + τ s)(1 + τ s) + kτ s + k = τ τ s + (τ + τ + kτ )s + k + 1W 2 3 1 2 3 2 3 1La CN per il criterio è soddisfatta solo se:1. τ τ > 0 e questo è vero per le ipotesi2 32. k + 1 > 0 e questo è vero per le ipotesiτ + τ2 3 ∗⇒ − ⇒3. (τ + τ + kτ ) > 0 k > = k AS2 3 1 τ 1ESEMPIO: k< 0τ > 0(1 + τ s) 11F (s) = k +(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , |
τ < 0 n = 22 3 2 3 F|τ | |τ | |τ | > >1 2 3◦Essendo ora k negativo il ddN viene ruotato di 180 (mezzo giro), o equivalen-temente possiamo invertire il verso degli assi (immaginario e reale):1.2. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE 11O equivalentemente:• ⇒CASO A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo in valore assoluto& +6 −n ⇒N = 0 = IF F• ⇒CASO B: il punto critico è interno al ddN k grande in valore assoluto& +−1 6 −n ⇒N = = IF F1.2.2 Rimozione di hyp3Per rimuovere hyp3 si deve ammettere che F (s) abbia poli con Re[] = 0, cioèelementi integratori (poli nell’origine) o risonanti (poli immaginari coniugati).∞In questi casi per ω = 0 o ω = ω il modulo di F (jω) è mentre la fase èndiscontinua e dunque il ddN risulta essere aperto in corrispondenza a tali pulsazioni.Per poter contare il numero di giri di un ddN aperto, dato dalla presenza
dipoli con Re[] = 0, si effettua una chiusura all’infinito del ddN:mezzo giro in senso orario nel verso delle ω crescenti per ogni polo con Re[] = 0.12
CAPITOLO 1. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE
Con queste chiusure il CdN si applica inalterato (abbiamo dunque rimossohyp3).
ESEMPIO: 10s(s + 1)
Notiamo subito che il grafico del modulo viene dall’infinito e non più dal finito.
Chiudiamo il ddN con un mezzo giro in senso orario:
1.2. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE 13
La chiusura è all’infinito quindi in questo caso tutto il semiasse reale positivo èdentro il ddN.
ESEMPIO: (k> 0kF (s) = +s(1 + τ s)(1 + τ s) ⇒τ , τ > 0 n = 01 2 2 2 F• ⇒
CASO A: il punto critico è esterno al ddN k piccolo& +−n ⇒= 0 = ASN FF• ⇒
CASO B: il punto critico è interno al ddN k grande& +6 −n ⇒N = 2 = IF F14
CAPITOLO 1. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE∗
Calcoliamo k con il CdR (CN non
Il semiasse reale negativo ha fase quindi si ha un attraversamento del semiasse reale negativo nel ddN quando sul diagramma della fase si attraversa -180°.
1.3.2 Stabilità condizionata
Si verifica quando (C.S.):
- +n = 0F
- +ddN ha intersezioni multiple con il semiasse reale negativo.
ESEMPIO:
- *CASO A: 0 < k < kF 1 & +−n ⇒N = 0 = ASF F18 CAPITOLO 1. STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE
- ** < k < kCASO B: k F 21 & +6 −n ⇒N = 2 = IF F
- * **CASO C: k < k < kF2 3& +− −n ⇒N = 1 1 = 0 = ASF F
- *CASO D: k > kF 3 & +6 −n ⇒N = 2 = IF F
Per ogni attraversamento del semiasse reale negativo nel ddN si ha sul diagramma -180° della fase un attraversamento di .
1.3.3 Stabilità paradossale
Si può verificare quando n > 0F
Per spostare i poli del sistema retroazionato dal semipiano destro a quello sinistro è necessaria una certa
quantità di retroazione (anche per fare il contrario). Questi tre comportamenti non esauriscono tutte le possibilità (ad esempio ci sono sistemi AS o I per qualunque k > 0).
F1.4 Margini di stabilità
I margini di stabilità caratterizzano la distanza del sistema in retroazione dall'instabilità (ovvero quanto è robusta la sua stabilità), rispetto a variazioni:
- del modulo di F (jω), dovute (principalmente) a variazioni del guadagno k .F
- della fase di F (jω), dovute a spostamenti (o aggiunte) di zeri e/o poli.
Si definiscono solo nel caso n = 0 (CdN in forma ridotta).
F1.4. MARGINI DI STABILITÀ 191.4.1 Stabilità regolare
Stiamo considerando per semplicità solo il grafico per le ω positive.
Margine di guadagno: 1 -|Fm = = (j ω̄)|g dB|F (j ω̄)| dB
+ω̄ è la pulsazione in cui il ddN interseca il semiasse reale negativo.
+⇒ ⇒m > 0 il ddN di F (jω) non contiene il punto critico sistema ASgA
A• +⇒ ⇒m > 0 il ddN di F (jω) non contiene il punto crititco sistema ASgB B• ⇒m > m > 0 si ha una stabilità più robusta per A che per B rispettogA gBa v
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
