Appunti Elaborazione Statistica dei Segnali M - Parte 2

8) h(t,s) = ∑ ☐_s(t) posso esprimere così

filtro tempor. ☐₃(t) = h(t,s) dt = √2_g ⌠_s ψ_s(cs)

= ∑_s √2_s ☐_s ψ_s(cs)

voglio capire di più sul significato fisico degli ortogonali

∑_sd_s = ⌠⌠ |h(t,s)|² dt ds = ⌠⌠ ∑_s ∫ √2_s ☐₃(t) ☐₃^*(t) ☐^*(s) ψ_s(s) θ_k(t) ψ_s(s) dt ds

= ∑_s Σ_k √2_g √2_u [☐₃^*(t)+Θ(t)+dt] (ψ₃^*(s) ψ_k(s) ds

ortonomiali quindi ☐ per j≠k = 1 per k=0

Le sommatorie si trasformano in uniche

= ∑₃ z_s z·i

L'energia del filtro è la somma degli ortogonali z_s si distribuisce su ogni zemo

8)

y(s) ▭ z(t)

scegli questi per massimizzare questi

Problema di trasmissione, dobbiamo quindi esprimere il vincolo e la funzione di merito

Vincolo di energia ⌠|y(s)|² ds=1

y(s) = ∑ ψ_s(cs) + δy(s)

Vincolo

1 = ∫ | ∑_j y_j ψ_j(s) + Δy(s) |² ds

∫ [ ∑₃ Σ y_j y_k^* ψ₃(s) ψ_k(s) + | Δy(s) |² + 2 ⟨ Σ_j ψ_j^* (s) Δy(s) ⟩ ] ds

= ∑₃ z_j y_j ψ_j^* (s) ψ_k(s) ds ortonominali + ∫ | Δy(s) |² ds + 2 ⟨ Σ_j ψ_j^* (s) Δy(s) ⟩

= ∑₃ | y₃ |² + ∫ | Δy(s) |² ds = 1 non mi produca alcuna uscita

y(s) = ∑_j y_j ψ_j (s)

{ max ∫ | Σ_j √2_j y_j θ_j(t) |² dt

s. t. - ∑₃ |y₃|² = 1

∑_j ∑_u √2_j √2_u y_j* y_u* θ_j*(t) θ_u*(t) dt

θ_j* (t) θ_u* (t) dt

ortonominali 0 per j ≠ u 1 per j = u

= ∑₃ z₃ | y₃ |² dove minimizzare

0 = Σ_z = E [(X - m_x) + i (y - m_y)][(X - m_x) + i (y - m_y)]^T] =

= E [(X - m_x)(x - m_x)^T] + i E [(X - m_x)(y - m_y)^T] +

+ i E [(y - m_y)(x - m_x)^T] + E [(y - m_y)(y - m_y)^T]

K_x - K_y + i (K_xy + K_yx^T) = 0

Parte reale

Parte immaginaria

Per avere = 0 deve annular o sia la parte reale quella immaginaria

Parte reale: 0 => K_x = K_y

K_xy = - K_yx^T

(K_xy)_jk = E[(X_j - m_xj)(y_k - m_yk)]

opposta in segno

(K_yx^T)_jk = E[(x_m - mx_m)(Y_j - m_yj)]

N.B. Tutte le proprietà dei vettori Gaussiani reali possono essere estese ai vettori Gaussiani complessi o circolari complessi.

Proprietà

Ricordiamo

La covarianza elle è limitata tra ± le radici del prodotto delle varianze delle due variabili di cui sto stimando la covarianza , se è alta implica che sia molto facile predire una variabile dall'altra con uno stimatore affine mentre se le covarianze è bassa non esiste nessun predittore affine che mi dica x₁ se gli do un valore misurato di x₀.

• l'indipendenza invece implica di più, ovvero non esiste nessun predittore neppure affine X₁ dato x₀.

                                             ^t

     ∀ a                                                   a x è gaussiano

Moltiplicando per                                   che è un solo

                                                                                         W è

Consideriamo

                                ^{2πi at x}

        E [e                 ]=             =       

        E [e                         a

Posso calcolar

   _y =        E [ y ] = a^t E [ x ] = a^t

     ²   = E [ ( y - m_x | ² ] = E [ (a^t x - a^t m_x ) ( a^t x - a^t m_x ) ]

= a^t E [ ( x - m_x ) ( x - m_x ) ^t ] a = a [ _x ] a

Sostituendo tale risultato nell'eq. precedente ottengo

E [ e                   ^{at x}] = e ^{-2π22  at K_x}  

                                   ^{2πi mt a}

Questo è la funzione caratteristica di una gaussiano quindi                                 è una funzione caratteristica di una gaussiano quindi

x è gaussiano. Tale ragionamento dove avere valido                         ∀ a^t x sia gaussiano.

Quindi ricapitolando, se ho un vettore deatoria gauss o lo                                                           linearmente se selez