Appunti sul sottospazio, dimensione, somma, intersezione

Sottospazio

I vettori _v1,...,_vk di una matrice A sono l.i ⇔ rkA=K

Sia A una matrice, e sia rA la matrice ottenuta da A aggiungendo la colonna v_k+1, ovvero v_k+1 è combinazione lineare delle precedenti ⇔ _krA=rkA

Teorema 5.3

Sia A una matrice mxn, con vettori colonna v₁,...,v_n ∈ ℝ^m. Allora:

IkerA = Iker L[v₁,...,v_n]

⇒ Inoltre, una base di L[v₁,...,v_n] é data dalle colonne corrispondenti a un qualunque minore di ordine massimo di A col det≠0

• V₁=⁽¹⁾/₃ ²/₆
• V₂=2V₁
• E=L[v₁]

dunque ^dim E = 1

E = I {⁽¹⁾/₃ + tEℝ}

Esercizio

A = |2 3 -1|

|2 0 3|

|0 0 3|

Calcolare la dim del sottospazio di ℝ³ generato dai vettori V₁,V₂,V₃

E=I {⁽²⁾/₃ (| 1 1 | |0| |3|)

rkA = ³ dim [V₁,V₂,V₃]

Sia Vⁿ spazio vettoriale qualunque ed E è sottospazio di V. Allora

• dim E ≤ n
• dim E = nᵒ
• Allora E=V

Esercizio

Calcolare la dimensione del sottospazio generato dalle colonne in A

A

det A = 0

rk A = 2 = dim L

E ∈ ℝ³

Dati v₁, v₂, v₃ sono L.D. Trocare una relazione L.D. Lineare tra le colonne

x₁ v₁ + x₂ v₂ + x₃ v₃ = 0

Basi di E:

• {v₁, v₂}
• {v₁, v₃}
• {v₂, v₃}

Sotto Spazio Intersezione

siano E, F sottospazi di V

E ∩ F = un sottospazio di V

dim(E ∩ F) ≤ min{dim E, dim F}

E = Sol(s)

s: x - y + 2z = 0

F = Sol(s')

s': x + y = 0

z = t

x = -2t + 5

y = 5

B_E = {

u∈ℝ

t,z,s∈ℝ

Somma di sottospazi

DATI E, F sottospazi di V definiamo

E + F = {∀e, ∀u: e∈E, v∈F}

EC∈E+F

FC∈E+F

dim(E + F) ≥ max{dim E, dim F}

siano E = L(v₁, ..., uₖ)

F = L(vⱼ, ..., vₙ)

allora E + F = L(v₁, ..., uₖ, vⱼ, ..., vₙ)

Esempio in ℝ³

E = L((1, 0, 2) (1, 0, 0))

F = L((0, 2, 1) (0, -1, 1))

E + F = L((1, 0, 1) (1, 0, 0) (0, 2, 1))

A

• 1 1 1 2
• 2 1 0 1
• 1 0 0 1

rka = 3 dimensione dunque E + F = ℝ³

Ulteriore esercizio

n. B

V = ℝ³

W = L((1, 1, 0) (1, 2, -1))

W : z = 0 (nelle incognite x, y, z)

Base e dimensione di V, W, uno u + w

dim U = rka

• 1 1 0
• 1 2 -1

• W = {

• x
• y
• z

• t
• s

• x = s, y = t, z = 0

• s
• t
• 0

Eq cartesiana di U

Eq di _U∩_W

_{ax - z = 0}

_{x = ω y}

_{ω + x = 0}

_{x - ω = 0 y}

_U∩_W = _V

base (ω₁, ω₂) e dimensione 2

∩ _U, _W GAUSSANDO

dim(_U+_W) + dim(_U∩_W) = dim_U + dim_W

2 + 1 = 3

dim(_U+_W) = 3

_U+_W = _W quindi una base è (ω₁, ω₂, ω₃)

Per i polinomi esempio:

• p₁(x) = 1 + x
• p₂(x) = 1 - x
• p₃(x) = 1 + x²

in R[x] → polinomi grado ≤ 2 sono L.I.?

le coordinate di p_i x

A =

• ( 1    1    1 )
• ( 1  -1    0 )
• ( 0    0    1 )

⇒ rkA = 2 dunque non sono L.I