Appunti sul sottospazio, dimensione, somma, intersezione

Teoremi e definizioni sui sottospazi vettoriali

Sottospazio e vettori linearmente indipendenti

I vettori _v1, ..., _vk di una matrice A sono linearmente indipendenti se e solo se rk(A) = k. Sia A una matrice, e sia r_A la matrice ottenuta da A aggiungendo la colonna _vk+1. Allora _vk+1 è combinazione lineare delle precedenti se e solo se rk(r_A) = rk(A).

Teorema 5.3

Sia A una matrice m x n, con vettori colonna _v1, ..., _vn ∈ ℝ^m. Allora:

• Iker A = Iker L[_v1, ..., _vn]

Inoltre, una base di L[_v1, ..., _vn] è data dalle colonne corrispondenti a un qualunque minore di ordine massimo di A col determinante ≠ 0.

Calcolo della dimensione di uno spazio generato

Calcolare la dimensione del sottospazio di ℝ³ generato dai vettori _V1, _V2, _V3. Sia _Vⁿ spazio vettoriale qualunque ed E è sottospazio di V. Allora dim E ≤ n e dim E = n ⟺ E = V.

Esercizi e applicazioni

Calcolare la dimensione del sottospazio generato dalle colonne in A. Dato che det(A) = 0 e rk(A) = 2, allora dim L(E) ∈ ℝ³.

Dati _v1, _v2, _v3 sono linearmente dipendenti. Trovare una relazione linearmente dipendente tra le colonne: x_{1 v1} + x_{2 v2} + x_{3 v3} = 0.

Basi e somme di sottospazi

Basi di E: {_v1, _v2}, {_v1, _v3}, {_v2, _v3}

Siano E, F sottospazi di V. E ∩ F = un sottospazio di V con dim(E ∩ F) ≤ min{dim E, dim F}.

Somma di sottospazi

Definiamo E + F = {∀e, ∀v : e ∈ E, v ∈ F}. Dim(E + F) ≥ max{dim E, dim F}.

Siano E = L(v₁, ..., u_p) e F = L(v_q, ..., v_r), allora E + F = L(v₁, ..., u_p, v_q, ..., v_r).

Esempi pratici

In ℝ³, E = L((1, 0, 2), (1, 0, 0)) e F = L((0, 2, 1), (0, -1, 1)). E + F = L((1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 2, 1)).

La matrice A ha rango 3, quindi la dimensione di E + F = ℝ³.

Esercizi avanzati

BV = ℝ³ e W = L((1, 1, 0), (1, 2, -1)) con W : z = 0 nelle incognite x, y, z. Base e dimensione di V, W, uno u + w con dim U = rk(A) = 2 con basi (v₁, v₂).

Polinomi linearmente indipendenti

Per i polinomi esempio: p₁(x) = 1 + x, p₂(x) = 1 - x, p₃(x) = 1 + x² in R[x] → polinomi di grado ≤ 2 sono linearmente indipendenti?

Le coordinate di p_i sono:

A = ( 1    1    1 )
( 1  -1    0 )
( 0    0    1 )

→ rk(A) = 2, dunque non sono linearmente indipendenti.