Appunti sui numeri complessi con definizioni, osservazioni, teoremi ed esercizi del professore

numeri complessi

def. idea: numero unità immaginaria i

i² = -1

def. numero complesso è la somma di un numero reale e di un multiplo a coefficienti reali dell'unità immaginaria i

forma algebrica di un numero complesso

z = x+yi, x,y ∈ R

x = Re z parte reale di z ∈ C

y = Im z parte immaginaria di z ∈ C

es. z = 4+5i: Re z = 4 Im z = 5

numeri complessi

idea: numero unità immaginaria i

i²

NUMERO COMPLESSO è la somma di un numero reale e di un multiplo a coefficienti reali dell'unità immaginaria i

FORMA ALGEBRICA DI UN NUMERO COMPLESSO

z = x + iy, x,y ∈ ℝ

• x = Re z parte reale di z
• y = Im z parte immaginaria di z ∈ ℝ

es. z = 4 + 5i: Re z = 4, Im z = 5

Somma di numeri complessi

z₁ = x₁ + y₁i    z₂ = 3 + 4i

z₁ + z₂ = 4 + 2i

z₁ = x₁ + y₁i   z₂ = x₂ + y₂i

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i

• La parte reale della somma è la somma delle parti reali.
• La parte immaginaria della somma è la somma delle parti immaginarie.

Oss. valgono le proprietà commutativa e associativa della somma.

z₁ + z₂ = z₂ + z₁

z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃

Elemento neutro della somma

0 + z = z + 0 = z + 0 = 0 + z = z    ∀z ∈ C

Elemento opposto

∀z = x + yi ∈ C

z + (-z) = x - x + (y - y)i = 0

Prodotto di numeri complessi

(2 + i) × (3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i² = z₁z₁

• z₁ = x₁ + y₁i   z₂ = x₂ + y₂i
• z₁z₂ = (x₁ + y₁i) × (x₂ + y₂i) = (x₁x₂ - y₁y₂) + (x₁y₂ + x₂y₁)i

Casi interessanti

z = x + 0i   z₂ = x₁ + 0 × i

z₁z₂ = x₁

z₂ = -y₁

z₂ = y₁

Immaginario puro quando Re = 0

z₁ z₂ = -y₁y₁

g_i = -4    → 2² = -4(-3ⁱ + Q₂)  →  -2: 2.1a = R → 2i 0 → 0 < 0

Radice quadrata aritmetica di 2i 0

z² = 3 0z = N³

Oss. per il prodotto di numeri complessi valgono le proprietà commutativa e associativa.

z₁z₂ = z₂z₁

z₁(z₂z₃) = (z₁z₂)z₃

elemento neutro

1-i0 1z=z1 z ∀z∈ℂ

elemento reciproco

∀z∈ℂ z≠0 ∃w ∈ ℂ: z*w=1 ↔ cc zw=1

z=x+yi

es.

z=3+2i ∃c.c. : w →

c.c.w=3-2i↔cc zw=1

(3+2i)(3+2i)=1

IMMAGINO SI CERCO

SOLUZIONI a,b,b

9+3b + (2a+3b)i=1

→uguagliare le parti reeli e le parti immaginarie

{3b-2a=0 Re.

5a+4-=-1 Im

{3b=2a →3b

2 2

a=3 b=-1

{a=3 b=-1

z=3+2i ∃z = z_use=3-2i

in generale: z-1

z-use =

z=2

k(3+4i)

√8

x2+y2

TRUCCO PER TROVARE IL RADICE

z=xi

= x-yi

z= x-i1

x-yi=

zf=x+yi z∈ℂ x+yi=0

chiamiamo,conjugato di z: z = x-yi: z∈ℂ

proprietà distributive somme prodotto

∨z1,z ε ℂ Z((z1+2)=)

AttENZIONE!!!

ℝ non è u campo ordinato

FATTI non si innou una realezione di ordine in μ campoógico i. numeri negativi

PIANO COMPLESSO DI GAUSS

Ogni número,complesso Sissatu un..giuschanente ad u ulia puro (x1yi)∈ℝ2/O

x1 yi)☐‼️ corrisonde un uomo R ℂ: X+yiici↔x+io [x,y,]∈ℝχ,ι,ș

(x,yi)∈ℝ

ℝ

54 7,3i

ℝ

La somma di un numero complesso è data della somma delle parti reali e delle parti complesse.

Def: modulo di un numero complesso z = x+yi → |z| = √(x²+y²) ≥ 0 (è un numero reale non negativo)

Attenzione!!!

z = x+yi

z² = (x+yi)² = x² - y²+i2xy.

|z|² = x² + y² = (x+yi) (x-yi) = z z̅

Proprietà di coniugato e modulo

1. z = x+yi = x - yi |z| = √(x² + y²)

2. z = x - yi → ℜ(z̅) = ℜ(z) = x; ℑ(z) = -ℑ(z) = y

3. z₁ + z₂, z̅₁ + z̅₂ = z̅₁ + z̅₂

4. z₁z₂, z₁z₂ = z₁z₂

5. z̅̅ = z

6. |z̅| = |z|

7. |ℜz| ≤ |z|, |ℑz| ≤ |z|

8. Triangolare |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

Coniugato nel piano: riflessione rispetto all'asse reale

Es: risolvere in ℂ l'equazione

z² + ℑz + z̅ = 0

Uso forma algebrica z = x + yi

Imz = √5

z̅ = x - yi

z = x - yi

z̅ = x - yi = x - √5i

x^2 - y^2 + 2xyi + yi + 2(x - √5yi) = 0

x^2 - y^2 + 2x + (x + yi)*(x - y) = 0

• (x - y)^2 + 2x = 0
• 2xy - y = 0

1. y(x-1) = 0y=0

2. y=0
3. (x - 1) = 0

x = 1y^2 - 1 = 1

Imz = 0

• x + 2x = x - 1 = 0 ⟶ 1 ⟸ 0

z̅ = 0

z2 = z

2z + 1 = √5

uz = 2i

ei = 1

x = 1y^2 + 1 = √5

Uz̅ = 5 ⟹ √5

Forma Trigonometrica

z ∈ ℂ z ≠ 0

x + yi

Argomento di z

Arg = -π−0 < t − π

si Chiama argomento principale (l'argomento in questo intervolo)

legame format algebrica trigonometrica

• |z| = |z| = 1

_{circonferenza unitaria}

piano d' Arg X Ψ

z = x + yi

^{(x, y)}

y = Sin(θ)

x = cos(θ)

z = x + iy φ = i |z| (cosθ + isinθ) . i

z = x + iy . i |z| (cosθ + (isinθ)i) . i

z = N 3t 1 -

|z| = N 3t i = 2

z = 2 (N 3t 1 1 ) - i = 2 ( ) π = π + 2kπ

σ 2 6

cosθ senθ

cosθ = x = x = y

φ φ φ

z = φ (cosθ + i senθ)

φ |z| = i Arg z

i ed cosθ + i senθ

ede (formula)

z = e iθ |z| θ = Arg z

e iθ cosθ e iθ e iθ e iθ

cosθ = 2 + 2 senθ = ee + -ie iθ = e = - e

222

e - iθ e - θ) + i sen ( θ ) = cos²θ i sen θ)

prodotto di numeri complessi

in forma trigonometrica

formula di de moivre

z₁ = cosθ₁ + i senθ₁ |z₁ | = |z₂ | =

z₂ = cosθ₂ i senθ₂

z₁z₂ = cosθ₁cosθ₂ senθ₁senθ₂

i (cosθ1 senθ₂ + cosθ ₂senθ₁ ) = cos(θ₁ θ₁)

i sen (θ ₁

z₁,z₂

|z₂ | = 1

moltiplicare per un numero complesso al modulo unitario vuol dire fare una rotazione

in senso antiorario dell suo argomento (o meno) di una rotazione ai 2π

i i, 1

i = cos π + i sen π

2

moltiplicazione per i = rotazione antiorario

OSSO GENERALE

z₁ = φ₁ (cosθ₁ + i senθ₁)

z₂ = φ₂ (cosθ₂ + i senθ₂)

z₁z₂ = (φ₁ φ₂(cos (θ₁ θ₂) + i sen (θ₁ θ) i)

Prodotto in forma trigonometrica:

• prodotto dei moduli = moltiplicazione
• somma argomenti (angoli) = rotazione

• es.1 φ₁ = ρ₁eiθ₁, φ₂ = ρ₂eiθ₂
• φ₁⋅φ₂ = (ρ₁⋅ρ₂) ei(θ₁+θ₂)

Oss.:

φⁿ = (ρⁿ(cos(nθ)+i⋅sen(nθ)) = ρeiθ

Es.: scrivere in forma trigonometrica e algebrica i(tl¹):

1. i⋅tl = N i tl = N₂
2. i⋅tl = N√ i tl = N N√ = N ( √₂ i / √₂ i = cosθ senθ

φ = N² ₃ = 3 √₂ i + i⋅sen 2π = 1 3 √₃

C = N² (cos ₄ α + ₂ bπ) i

= Ω² (θ₁ - a) + D8 - S8U

= (√₂)/(√) ²)^ine (x) U. N ^{(√₂)/(N√) 〉2 (√₂ √₁)}

• Φ⁰
• N⁰, N⁽⁺¹⁾ N

Es.2 Risolvi in z :

• |Z| = O con forma algebrica difficile, passo con forma trigonometrica

iθ

• > ph₁ =
• ~φ_| (cos_θ₀√
• ll _N(Q)s = 3/√q =
• θ₀ =
• ₃ = φ_i–(cos₀
• +Ω, 3^πQ
• θ

= |

θ_Ni e . x(k) K

Q⁰N = (I Q|

ρ = 0,1

ζ₀,ζ,