Appunti sui numeri complessi con definizioni, osservazioni, teoremi ed esercizi del professore

Numeri Complessi

7.10.22

def: i_dea : numero unità immaginaria i

def: Numero complesso z è la somma di un numero reale e di un multiplo a coefficienti reali dell'unità immaginaria i

Forma algebrica di un numero complesso

z = x + iy

x, y ∈ ℝ

x = Re z Parte reale di z ∈ ℂ

i = Im z parte immaginario di z ∈ ℂ

es. z = 4 + 5i

Re z = 4

Im z = 5

Somma di numeri complessi

z₁ = a₁, z₂ = 3 + 4i

z = z₁ + z₂

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)

• La parte reale della somma è la somma delle parti reali.
• La parte immaginaria della somma è la somma delle parti immaginarie.

Valgono le proprietà commutativa e associativa della somma:

• z₁ + z₂ = z₂ + z₁
• (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

Elemento neutro della somma:

• z + 0 = 0 + z = z ∀z ϵ C

Elemento opposto:

• ∀z = x + yi ϵ C
• z + (−x − yi) = (−x − yi) + z = 0

Prodotto di numeri complessi

• (z₁) · (3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i² = 2 + 11i
• 4i² = −4

z₁ = x₁ + y₁i, z₂ = x₁y₂i

• z₁z₂ = (x₁x₂ − y₁y₂) + (x₁y₂ + x₂y₁)i

Casi interessanti

• z₁ = x + 0i, z₂ = x₁ + 0i
• z₁z₂ = x₁x₂
• z₁ = 0 + yi, z₂ = y₂i, immaginari puri quando Re = 0
• z₁z₂ = −y₁y₂i²

z² + 1 = 0 → z² = −1

(−1) + (−2√

Soluzioni in C di z² = −α z = ±√3

z₁ = 3i

z = 3 ± i√

Oss: Per il prodotto dei numeri complessi valgono le proprietà commutativa e associativa:

• z₁z₂ = z₂z₁
• z₁(z₂z₃) = (z₁z₂)z₃

z = x + iy

M_z = |z| = 2 = 1 (cosθ + isinθ)

φ = 2π = π/3 = Arq ...

z = x + iy = |z| (cosθ + isinθ) e i

z = N₃ + i

|z| = N₃ ± 1

z = 2 (N₃ + i) 0 = π = π + 2kπ

cosθ = x

senθ senθ = y

φ

z = φ(cosθ ...

... z₂ = ⟨cosθ + i senθ⟩

|z₁ | = |z₂ | = 1

e = ... Amq ...

11.10.22

cosδ = e^-iδ + i cosδ r i senδ = cos ... senδ = cosδ + i senδ ...

^-iδ e₁ =

Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica

Formula di De Moivre

z₁ = cosθ₁ + i senθ₁ |z₁ | = |z₂ | = 1

z₁z₂ = ⟨cosθ + i senθ⟩

|z₁ | = |z₂ | = 1

cos ... θ ... 3 + i sen (θ₁ + θ₁

moltiplicare per un numero complesso di modulo unitario vuol dire fare una rotazione in senso antihorario del suo argomento (a meno di multipli di 2π)

i ... 1

⟨...

...

z₂ φ⟩

moltiplicazione per i – rotazione antioraria

CONSIDERAZIONI

z₁ = φ₁ (cosθ₁ + i senθ₁)

z₂ = ψ₁ (cosθ₂ + i senθ₂)

z_|2 = ρ₁φ⟨ρ₁ ()⟩ + i sen (θ₁ + θ₁)⟩

z_c = -6 | z₂ - 1

Attenzione!!!

Non vale teorema fondamentale dell’algebra quando, cioè, Rez, Imz, Re(,) = ... perché non c’è...

z = ρ(cp(t + sen))

z = ρ(cp(2t + pen)) = ρ(cp(δ) + i sen(-δ-))

ρ = 1²

sen δ{'½'} = ²ⁱ/u = 4π - ^π|+ 2kπ| k ∈ I

k = 0,1,2,3

Le 3 soluzioni

z₁ e ±i

z = e_i^π

z = i e ^{i π}

e z₂ = i + i = 1+ 3

Res. 6 (n + 2)^2 = 0

Re (1 + i z) = x-y,i = 0

x-y = y z x-z

x-y-i(y+x-z) = 0

(x-y) = 0 (x-y)

x+y=2

z₂ = 1+i (1-t) -t = 0

z₁ = ^2N

x^πN-1=-2k+4

1+i⁶ = N | i = N v, -2,4, ; 1+ i

och₂

och sen N

2 = eid

z = cz^π = cz + λeμ

e_2id = -^{ink k>a}/c

T^ik

θ_- = ±

z^c