Numeri complessi

Numeri complessi

Autore: Federico Bustaffa
Data: 13/02/2022

Introduzione

Nei numeri complessi si passa da una rappresentazione monodimensionale a una bidimensionale rappresentabile sul piano cartesiano. I cosiddetti numeri complessi sono elementi del campo e sono formati dalla coppia di reali (a, b).

Chiamo l'elemento numero complesso ∈ (a, b) C con ∈ a, b R.

Operazioni

Sul campo sono definite le operazioni di somma e prodotto come segue:

Somma

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Prodotto

(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

Esempio:
Siano (1, 2), (2, 3), la loro somma equivale a
(1, 2) + (2, 3) = (1 + 2, 2 + 3) = (3, 5)

E il loro prodotto equivale a
(1, 2) * (2, 3) = (1 * 2 - 2 * 3, 1 * 3 + 2 * 2) = (-4, 7)

Per queste operazioni valgono le stesse proprietà delle operazioni nei numeri reali: commutativa, associativa, distributiva e presenza di un elemento neutro. L'elemento neutro della somma è (0, 0), mentre per il prodotto è (1, 0).

Nota:
I numeri del tipo (a, 0), se sommati o moltiplicati fra loro, generano numeri dello stesso tipo e anche l'opposto e il reciproco di tali numeri è sempre nella stessa forma. Per alleggerire la notazione possiamo scrivere direttamente a al posto di (a, 0).

Il numero (0, 1) gode di una proprietà interessante:
(0, 1) * (0, 1) = (-1, 0) = -1
Questo numero viene chiamato unità immaginaria e lo si indica con i. Come possiamo vedere, è un numero che, elevato al quadrato, diventa negativo, dunque è una delle soluzioni per x² = -1.

Definizione: forma cartesiana

Viene scritta in questo modo: z = (a, b) = a + ib. Chiameremo a la parte reale del numero complesso e la si può indicare anche con Re(z), mentre b prende il nome di parte immaginaria e la si può indicare anche con Im(z). Potremmo rappresentare il numero complesso in un sistema cartesiano che prenderà il nome di piano di Gauss. Pongo sull'asse delle ascisse i valori reali e sulle ordinate i valori immaginari. In particolare, i numeri che si trovano sull'asse delle ordinate (a = 0) si chiamano immaginari puri.

Operazioni

Definiamo le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione utilizzando la forma cartesiana appena definita. Per ognuna delle operazioni consideriamo i due numeri complessi z₁ = a + ib e z₂ = c + id.

• Addizione: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• Sottrazione: z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i
• Moltiplicazione: z₁ * z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Divisione: z₁ / z₂ = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i

Esempio:
Siano z₁ = 1 + 3i e z₂ = 1 - i, allora
z₁ + z₂ = 2 + 2i
z₁ - z₂ = 4i
z₁ * z₂ = 4 + 2i
z₁ / z₂ = 1 - 2i/3

Forma trigonometrica

I punti del piano di Gauss possono essere individuati:

• Dalle coordinate cartesiane a e b.
• Dalle coordinate polari ρ e θ.

Le coordinate cartesiane possono essere due reali qualsiasi. Le coordinate polari invece hanno qualche vincolo. Per esempio, ρ ≥ 0 e θ è determinato a meno di multipli di 2π.

Guardando la figura di sopra possiamo facilmente convertire a e b in funzione dei valori ρ e θ per ottenere il numero in forma trigonometrica:

z = a + ib = ρ cos(θ) + iρ sin(θ) = ρ[cos(θ) + i sin(θ)]

Esempio:
Il numero z = 2 cos(3π/4) + i sin(3π/4) in forma trigonometrica è equivalente al numero z = √2 + i√2 in forma cartesiana. Dato che √2 * cos(3π/4) = √2/2 è il nostro a e dato che √2/2 è il nostro b.

Se invece volessi fare una conversione da forma cartesiana a forma trigonometrica mi basta ricordare:

• ρ = √(a² + b²)
• θ = arctan(b/a) se a > 0