Numeri complessi

Numero complesso

Viene scritta in questo modo algebrica. z = (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib

Chiameremo del numero complesso e la si può indicare anche con parte reale Re(z), mentre prende il nome di parte immaginaria Im(z).

Potremmo rappresentare il numero complesso in un sistema cartesiano che prenderà il nome di piano di Gauss e che posso rappresentare in questo modo:

Pongo sull'asse delle ascisse i valori reali e sulle ordinate i valori immaginari. In particolare i numeri che si trovano sull'asse delle ordinate (a + ib = 0) chiamano immaginari puri.

Operazioni

Definiamo le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione utilizzando la forma cartesiana appena definita. Per ognuna delle operazioni consideriamo i due numeri complessi:

z1 = a + ib

z2 = c + id

• Addizione: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
• Sottrazione: z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i
• Moltiplicazione: z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
• Divisione: z1 / z2 = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i

−z z = (ac bd) + (ad + bc)i

1 2• Divisione: −ac + bd bc adz1 = + i2 2 2 2z c + d c + d2

Siano e allora−z = 1 + 3i z = 1 i

Esempio. 1 2z + z = 2 + 2i1 2

−z z = 4i1 2

·z z = 4 + 2i1 2z1 −1= + 2iz2 3

Forma trigonometrica

I punti del piano di Gauss possono essere individuati• dalle coordinate cartesiane ea b.

• dalle coordinate polari eρ θ.

Le coordinate cartesiane possono essere due reali qualsiasi. Le coordinate polariinvece hanno qualche vincolo. Per esempio e è determinato a meno di≥ρ 0 θmultipli di 2π.

Guardando la figura di sopra possiamo facilmente convertire e in funzionea bdei valori e per ottenere il numero inρ θ forma trigonometricaz = a + ib = ρ cos (θ) + iρ sin (θ) = ρ[cos (θ) + i sin (θ)]

Tramite semplici calcoli di trigonometria posso vedere che il numeroEsempio. 33 π + i sin πz = 2 cos 4 4in forma trigonometrica è equivalente al

numero√ √−z = 2+ i 2 in forma cartesiana. Dato che √ ! √ 23 − −π =2 = 22 cos 4 2 che è il nostro a e dato che a √ √ 3 2·2 cos π =2 = 24 2 è il nostro b. Se invece volessi fare una conversione da forma cartesiana a forma trigonometrica mi basta ricordare p 2 2ρ = a + b b searctan a > 0 aθ = b searctan + π a < 0 a Se allora a = 0 NOTA: π se b > 0 2θ = 3 se π b < 0 2 Se anche quindi b = 0 z = 0 θ = 0.4 Consideriamo il numero complesso in forma cartesiana Esempio. √z = 3+ i Ottengo che r √ 2 2ρ = 3 + 1 = 2 e che π1√ =θ = arctan 63 Posso quindi scrivere il numero ππ ih + i sinz = 2 cos 6 6 Quando il numero è scritto in forma trigonometrica, prende il nome di θ √ di ed è, a volte, indicato con Il numero reale si2 2z arg(z). a + bargomento dice invece di ed

è indicato con |z|.zmodulo

Definiamo ora le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra due numeri complessi e scritti in forma trigonometrica.

z₁ = ρ (cos (θ ) + i sin (θ ))

z₂ = ρ (cos (θ ) + i sin (θ ))

• Addizione: z₁ + z₂ = [ρ cos (θ ) + ρ cos (θ )] + i[ρ sin (θ ) + ρ sin (θ )]

• Sottrazione: z₁ - z₂ = [ρ cos (θ ) - ρ cos (θ )] + i[ρ sin (θ ) - ρ sin (θ )]

• Moltiplicazione: z₁ · z₂ = ρ ρ [cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ )]

• Divisione: z₁ / z₂ = [cos (θ - θ ) + i sin (θ - θ )]

Dati due numeri complessi

Esempio. √ π πh i2 cos + i sinz =1 4 4

√|z| · |2z| =1 2 π π 3

·arg (z₁ · z₂) = +

π1 2 4 2 4√ 3 3·z z = 2 cos π + i sin π1 2 4 45Forma esponenzialeÈ una notazione equivalente a quella trigonometrica in cui si utilizzano sempree e in cui, al posto di coseno e seno, si usa l’esponenziale.ρ θ iθe = cos (θ) + i sin (θ)I numeri complessi in forma esponenziale si scrivono in questo modo:iθz = a + ib = ρ[cos (θ) + i sin (θ)] = ρePer convertire in forma esponenziale un numero in forma cartesiana si calcolanoe come per la conversione in forma trigonometrica. Trovati i valori mi bastaρ θsostituire come nella formula.Se il numero è in forma trigonometrica posso passare direttamente alla formaesponenziale sostituendo i valori.√ un numero complesso scritto in forma cartesiana, laSia 3 + iz =Esempio.sua forma trigonometrica sarà: π πh iz = 2 cos + i sin6 6mentre πiz = 2e 6sarà la sua forma esponenziale. 6Radici e potenzeNel caso in cui

Dovessimo calcolare potenze di numeri complessi ci conviene utilizzare la forma esponenziale, con la quale possiamo ragionare come con i numeri reali. In generale, un procedimento veloce per svolgere le potenze di numeri scritti in forma cartesiana è questo:

1. Converto il numero in forma esponenziale.
2. Elevo alla n.
3. Torno in forma cartesiana.

Calcolare 5(1 + i) come esempio:

Prima cosa converto il numero in forma esponenziale:

ρ = √(1^2 + 1^2) = √2

θ = arctan(1/1) = π/4

Quindi, 1 + i = √2e^π/4

Ora elevo alla quinta il numero in forma esponenziale:

(√2e^π/4)⁵ = √2⁵e^5π/4

Non mi rimane che ritornare alla forma cartesiana:

a = √2⁵cos(5π/4) = -4√2

b = √2⁵sin(5π/4) = -4√2

Quindi otteniamo che 5(1 + i) = -4√2 - 4√2i