Appunti su Matrici

Matrici

1. Scalini: Se tutte le righe nulle sono in fondo
   • Se l'elemento di testa di ogni riga non nulla è alla destra dell'elemento di testa della riga precedente
2. Scalini ridotta:
   • Se è a scalini
   • Se ogni elemento di testa = 1

_EDT: Il primo numero ≠0 di ogni riga, nonché l'unico numero ≠0 della colonna

Esempio

\( \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 4 \\ x_2 + 2x_3 = 3 \\ x_4 = 5 \\ \end{cases} \) \(\Rightarrow A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \\ \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 4 - 3x_3 \\ x_2 = 3 - 2x_3 \\ x_4 = 5 \end{cases} \)

\[ x_3: \text{Var. Libera} \] \(\Rightarrow x_1, x_2, x_3: \text{Dipendenti} \)

\(\text{Sol}(S) = \begin{pmatrix} 4 - 3x_3 \\ 3 - 2x_3 \\ x_3 \\ 5 \\ \end{pmatrix} ; \; x_3 \in \mathbb{K} \)

\[ = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \\ 5 \\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} ; \; t \in \mathbb{K} \]

ALGORITMO DI GAUSS

È la sequenza di operazioni elementari che agiscono sulle righe di una matrice

• - SOMMA
• - PRODOTTO
• - SCAMBIO

L'algoritmo si ferma quando si arriva alla forma a scalini ridotto

PARAMETRIZZAZIONE

Sol(S) = {x + y = -4 y = y z = 4} = {x = -4 - y y = y z = 4} => Sol(S) = { ( -4 ) ( -1 ) 0 + 1 y 4 0 }

PROPRIETÀ MATRICI

① DISTRIBUTIVA: A(B+C) = AB + AC

∀A ∈ Mat_{p x m}

∀B,C ∈ Mat_{m x n}

② ASSOCIATIVA: (AB)C = A(BC)

∀A ∈ Mat_{p x m}, B∈Mat_{m x k}, C∈Mat_{k x q}

Teoremi Matrici Inverse

A ∈ Mat_m×m è invertibile se ∃ B,C m×m t.c.

• AB = I
• CA = I

Lemma: ∃ B,C esistono ⇒ B=C

Se A è invertibile ⇒ ∃ ! la matrice A^-1 tale per cui

A A^-1 = A^-1 A = 1

Matrici Trasposte

Detta una matrice A ∈ M_m×n, si definisce trasposta di A la matrice tA ∈ Mat_n×m e la si ottiene scambiando le righe con le colonne

A = ( 1 2 34 5 6 ) ⇒ tA = ( 1 42 53 6 )

• t(A+B) = tA + tB
• t(AB) = tB ⋅ tA
• t(tA) = A
• t(A^-1) = (tA)^-1

Se A = tA (solo se m = n) La matrice è simmetrica rispetto alla diagonale principale

(1 2 0-2 4 00 0 5)

Rango di una matrice quadrata

Opero la matrice in forma a scalini e fai come quelle rettangolari

|A| = | 1 2 -1 | = 3 - 6 + 3 = -6

⇒ se il determinante è ≠ 0

il rango coincide con il n.° di righe

B = (

|B| = | -1 2 1 | = -5 + 5 = 0 ⇒ il rango ≤ 3

Seleziono una sottomatrice e ne calcolo il determinante

B₁ = | -1 | ≠ 0 ⇒ rango = 2

una delle 3 righe sono ricavate come combinazione lineare delle altre

Matrice Diagonalizzabile

Le matrici A e B si dicono simili se esiste una matrice P invertibile tale che:

|P| ≠ 0

P^'AP = B

|A, P, B devono essere dello stesso ordine|

Una matrice A si dice diagonalizzabile se esiste una matrice P tale che: P^'AP è simile a una matrice D diagonale.

P^'AP = D

Una matrice è diagonalizzabile se:

dim A = n° di autovalori

|DISTINTI|