Appunti su Cinematica e dinamica

=T

F , per la seconda legge di Newton risulta: .

cassa x x

x m m

cassa cassa

T

Supponiamo di aggiungere un’altra cassa. L’intensità della tensione è anche

1

P

uguale a :

¿> =T −T =P−T ¿> =T

F F

e, analogamente per la seconda cassa: .

x 1 2 2 x 2

Per la seconda legge di Newton abbiamo che:

=m

P−T a

a CASSA:

I 2 1 1 x

=m

T a

a CASSA:

II 2 2 2 x m m m m

Se il secondo tratto di una fune non si allunga (quello fra e ) e si

1 2 1 2

muovono con uguali velocità e accelerazioni: m

P 2

=a =a

a = =¿ =

a T P

Posto troviamo

1 x 2 x x x 2

+m +m

m m

1 2 1 2

2.11Forze di attrito.

L’attrito, o più precisamente la forza di attrito, è un tipo di forza a contatto che si

genera tra le superfici di due corpi e che si oppone al moto dell’uno rispetto al moto

dell’altro. L’attrito radente, in particolare è legato allo strisciamento di una superficie

su un’altra e si caratterizza come attrito statico e attrito dinamico.

2.11.1 Forza di attrito statico.

È una forza che vieta ad un corpo di muoversi. Si forma quando le superfici di due

corpi che stiamo considerando, che sono esse a contatto, non hanno un moto relativo

di uno rispetto all’altro e quindi sono ferme. Va sempre considerato il moto fra i due

corpi e non quello fra osservatore e corpo.

Se consideriamo un oggetto appoggiato su un piano d’appoggio e viene spinto con

⃗

una certa forza , che può essere fatta dal mio braccio, bassa sarà immobile, se la

F

forza che agisce sul corpo sarà più forte il corpo sarà in movimento.

∑ ⃗ =m ⃗ =0

F a

Se il corpo starà fermo, osserveremo che: .

Dovrà esistere una forza, uguale ed opposta ovvero la forza di attrito statico:

⃗ +⃗ =0

F F as | |

⃗ max

<

0< F F

Il modulo della forza di attrito statico è: as as

max =μ

Dove, la forza di attrito statico massima è: F N

as s

μ

Il è il coefficiente di attrito statico e può cambiare a seconda del materiale di cui

s

sono fatte le superfici, o i corpi, a contatto ma conta anche il loro stato di levigazione.

Questo coefficiente può essere molto elevato e arrivare fino ad 1 quando i due corpi a

contatto hanno una forza di interazione molto forte (ad esempio la ruota di uno

pneumatico con l’asfalto) e potrebbe scendere a valori molto bassi, intorno a 0.1,

quando andiamo a far strisciare un corpo molto levigato sul ghiaccio che è una

superficie molto liscia:

<

0< μ 1

s

Quando il corpo comincia a strisciare, sparisce il coefficiente di attrito statico e

compare quello dinamico.

2.11.2 Forza di attrito dinamico.

La forza di attrito dinamico si ha quando un corpo scivola su una superficie. Si ha,

quindi, quando due corpi hanno un moto relativo uno rispetto all’altro senza

considerare ciò che vede un osservatore esterno.

L’attrito dinamico ha un modulo ben definito a priori, ed è pari al prodotto fra

coefficiente di attrito dinamico e la reazione vincolare normale:

=μ

F N

ad d <

μ μ

Si dimostra sempre che altrimenti si ritornerebbe alla forza di attrito statico. Il

d s

verso dell’attrito dinamico è più semplice da definire di quello dell’attrito statico. Il

verso dell’attrito dinamico è quello che serve per opporsi al moto relativo dei due

corpi: se il corpo striscia verso destra, l’attrito sarà verso sinistra e viceversa. Il verso

dell’attrito statico è più difficile da trovate in quanto, essendo il corpo fermo, non si

forma un moto relativo. Per trovare il verso bisogna immaginare di lasciare il corpo

senza attrito statico e lasciare che le forze in gioco creino un moto relativo dei due

corpi, si vede in che direzione avviene questo moto e, infine, rimettere l’attrito statico

per bloccare questo moto che ci sarebbe se non ci fosse l’attrito statico.

2.12La forza elastica: la legge di Hooke.

La forza elastica entra in gioco quando si ha a che fare con le molle. Le molle sono un

filo di un materiale che può essere il ferro, l’alluminio ecc. che sono a forma di spirale

e che si possono accorciare o allungare a seconda che agisca una forza o meno. Fin

quando tale forza sarà bassa, restiamo nel regime elastico per cui tolta la forza la

molla ritorna alla sua lunghezza di partenza. Se la forza sarà elevata entreremo in un

regime plastico dove la molla rimane più lunga della condizione di partenza. Fin

quando restiamo nel regime elastico agisce la forza di richiamo elastica che fu

descritta da Hooke nel 1678. Consideriamo una parete fissa sulla quale attacchiamo

L

m

una molla e la massa ad una sua estremità. La lunghezza a riposo cioè la

o

lunghezza della molla senza agire con nessun’altra forza. Se noi tiriamo o accorciamo

la molla essa si allungherà o si stringerà. Considerando il caso in cui la molla si

L

allunghi. Qui la lunghezza della molla sarà . Quindi avremo che:

∆ L=L−L (Variazione lunghezza della molla)

o

x ∆ L x ∆L

positivi coincidono con positivi e negativi coincidono con

negativi. La legge di Hooke si traduce in:

⃗ =−k

F ∆ L=−kx

e ∆ L x

La forza elastica è proporzionale con l’allungamento o all’allungamento ; la

k

costante di proporzionalità si chiama costante elastica e ci dice quanto la molla

−¿

sia dura o morbida; il segno “ ” ci dice che la forza elastica è una forza di

richiamo in quanto tende a riportare la massa nella posizione di equilibrio: quando

x> 0 x< 0

la forza elastica andrà verso sinistra; quando la forza elastica andrà

⃗ =kx

F

verso destra: .

e

2.13La forza centripeta e centrifuga.

La forza centripeta è un particolare tipo di forza che si manifesta nel caso dei moti

circolari e che viene esercitata sui corpi lungo la direzione radiale, ossia nella direzione

che congiunge il corpo al centro della traiettoria, e con verso entrante. La cosiddetta

accelerazione centripeta può scaturire dalla presenza di un vincolo o un campo di

forze centrali:

1. La forza di gravità;

2. La forza elettrica.

a

Nell’istante in cui venisse meno, il corpo proseguirebbe lungo la direzione del

c

vettore velocità tangenziale. L’accelerazione centripeta è uguale al rapporto fra

velocità al quadrato e il raggio del cerchio:

2

v

=

a c r

Andando a moltiplicare per la massa possiamo calcolarci la forza centripeta come:

2

m v 2

= =m

F o F ω r

c c

r

La forza centrifuga è una forza apparente che non può essere percepita dagli

osservatori di un sistema di riferimento inerziale, i quali possono osservare solo la

forza centripeta. I corpi che si muovono di moto rotatorio e sono studiati da

osservatori di sistemi non inerziali sono soggetti a questa forza che tenta di spingerli

verso l’esterno della traiettoria. La formula per calcolare la forza centrifuga è la

seguente:

2

=mω

F r

cf a

Per calcolarci l’accelerazione centrifuga dovremo usare le formule inverse e

cf

quindi avremo:

F cf

=

a cf m

2.14Lavoro elementare.

Il lavoro, in fisica, è un modo per trasmettere energia da un corpo ad un altro, è,

quindi, uno scambio di energia. Il lavoro di una forza è energia scambiata per mezzo

della azione di una forza. Il lavoro di una forza costante si verifica quando su un corpo

⃗

∆ r

agisce una forza costante che provoca uno spostamento , per questo diremo che

il lavoro di una forza è il prodotto scalare della forza con lo spostamento:

⃗ ⃗

L= F ∙ ∆ r

Il lavoro è una grandezza scalare e si calcola come:

L=F ∆ rcosθ =¿ ¿ =¿

F ∆ r L=F ∆r θ=90°=¿ L=0 θ>90 ° 180° L< 0

Se // ; se ; se ma .

(J )

L’unità di misura del lavoro è il Joule .

Possiamo calcolare il lavoro di una forza anche attraverso gli integrali, per fare questo

dobbiamo dividere l’area sottesa al grafico in rettangoli. Una volta calcolata l’area dei

rettangoli andremo a sommarle e otterremo un valore quasi uguale a quello del lavoro.

Aumentando il numero di questi rettangoli otteniamo un valore man mano più preciso.

x 2

∑ ∫

⃗ ⃗

= ⃗ = ⃗

L lim F ∆ r F ∙ d r (Joule)

x x c i

1 2 i

∆ t →0 i x 1

⃗ ( ) ( )

⃗

F ≡ F , F , F d r ≡ dx , dy , dz

x y z x y z x y z

B B B B B B

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

⃗ ( ) ( ) ( )

= ⃗ = + + = + = + +… + + +… +

L F d r F dx F dy F dz F dx F dy+ F dz F F dx F F dy

AB x y z x y z 1 x 2 x 1 y 2 y

A x y z x y z

A A A A A

B B B

∫ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑

( )

⃗ ⃗ ⃗

¿> = ⃗ = ⃗ = ⃗ =

L F d r F d r F d r L

AB i i A B i

i i i

A A A

2.14.1 Lavoro di una forza variabile. x

Consideriamo uno spostamento unidirezionale lungo l’asse delle , con un punto

x x

iniziale e un punto finale , e una forza che sia funzione della sola coordinata

o f

x . Dobbiamo immaginare di suddividere lo spostamento in tanti piccoli

spostamenti, diciamo sufficientemente piccoli da poter considerare costante la forza

per ciascuno di essi. Si tratta di una approssimazione in quanto la forza non è uguale

in ogni intervallo. Il lavoro complessivo è dato dalla somma dei lavori della forza per

ogni intervallo:

n

∑

L≈ F ∆ x

i i

i ∆t→ 0

Per aumentare il numero di intervalli all’infinito bisogna usare il limite per :

x x

n f f

∑ ∫ ∫ [ ] x ( )

=¿ | =F −x

L= lim F ∆ x L= F dx=¿ L=F dx=F x x

f

i i x x f o

o

∆ t →0 i x x

o o

2.14.2 Lavoro della forza peso.

Il lavoro della forza peso è il lavoro esercitato dalla forza di gravità, che nella

modellizzazione più semplice viene considerata come una forza costante. La formula

sarà la seguente:

− )

L=−mg( y y

f i

DIMOSTRAZIONE: Partendo con l’utilizzo degli integrali

y y y

f f f

∫ ∫ ∫ [ ] y

−mgdy=−mg | =−mg( − )

L= F dy= dy=−mg y y y

f

p y f i

i

y y y

i i i

2.14.3 Lavoro della forza elastica.

Il lavoro della forza