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Sistemi di controllo
Sistema di controllo
uscita desiderata
r → CONTROLLORE → ATTUATORE → IMPIANTO → y
dominio elettrico
TRASDUTTORE (sensore)
- Obiettivo del controllore: y(t) ≅ y°(t)
e(t) → CONTROLLORE → v(t) → tempo continuo logica digitale
SISTEMI DI CONTROLLO A DATI CAMPIONATI
u → lineare, T.I., dim. finita, Causale → y
y(t) = g(t) ⊛ u(t) = ∫0t g(t-σ)u(σ)dσ
g(t) è la RISPOSTA IMPULSIVA del sistema
ℒ[y] = ∫0∞ y(t)e-st dt = Y(s) = G(s)U(s)
G(s) = ℒ [g ] = ∫0∞ g(t)e-st dt, è detta FUNZIONE DI TRASFERIMENTO del sistema
g(t) e G(s) caratterizzano completamente il comportamento di un sistema lineare, tempo-invariante, causale e a dimensione finita.
y = y°(t) → Y(s) ≅ Y°(s)
La f.d.t. G(s) di un sistema lineare, tempo-invariante, causale e a dimensione finita ha la forma seguente
- G(s) = bnsn + bn-1sn-1 + ... + b1s + b0 / sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0
funzione razionale fratta propria g.n(num.) e g.d(den.)
Schema di controllo a retroazione unitaria
Dato P(s) e le specifiche di controllo, progettare C(s) in modo che y(t) → y0
e(t) → 0
es. Carica / scarica batteria
u = Ri + y
q = C y
i = ̇q = C ̇y
u = R C ̇y + y
L[u] = L[RC ̇y + y] = RC L̇[y] + L[y] = RC L̇[y] + s L[y] = RC s L[y] − y(0) + L[y] = L[u]
G(s) = L[y]
G(s) = 1/1 + RC s
Ingresso impulsivo
Y(s) = G(s) U(s)
A . Δ = 1
Y(s) = 1/RC s + 1
L−1[G(s)] = A . ept
y(t) = A/RC e−t/RC
Ingresso costante
A = Y/s . 1/RC
Y(s) = A1/s − P1 + A2/s − P2
lim y(t)| t→∞ = A2
A2 = lim s→P1 Y(s) . (s − P1) = lim s→P2 Y(s) . (s − P2)
y(t) = κ/RC e−t/RC − κ
carica di un condensatore
RC è la costante di tempo di carica
y1(t) = g11(t) ⊗ u1(t) + ... + g1m(t) ⊗ um(t)
...
yp(t) = gp1(t) ⊗ u1(t) + ... + gpm(t) ⊗ um(t)
gij(t) = yi(t)
Mij(t) = δ(t)
ui(t) = 0, ∀ i ≠ j
limt→∞ gji(t) = 0
Gji(s) ha tutti i poli a parte reale < 0
Risultato
↔ tutti i poli di Gji(s) ∀i=1...M, ∀j=1...P,
hanno parte reale ≤ 0.
yo
e
d
y
2 ingressi
3 uscite
Ḡ(s) = (
- Ga1(s) Ga2(s)
- G21(s) G22(s)
- G31(s) G32(s)
)
- G11(s) = = ;
- G12(s) = = ;
- G22(s) = = ;
- G32(s) = = ;
- G31(s) = = ;
- G32(s) = = ;
Sono le 4 pdt diverse → per realtà due avere poli con parte reale < 0.
→ Perturbazione di durata limitata (Tnu)
u(t) = 0 per t ≥ Tnu
STABILITÀ RISPETTO A PERTURBAZIONI DI DURATA LIMITATA
limt→∞ |y(t)| = 0 ∀u(t) : u(t) ≠ 0 ∀t, Tnu
Risultato: un sistema lineare, TI, causale, dim. finita, con fdt
G(s) = è stabile rispetto a perturbazioni di durata limitata se Gsl ha i poli a parte reale < 0.
• Con la retroazione si può ottenere un’interconnessione stabile anche se i sistemi iniziali non lo sono. È anche vero che mettendo in retroazione due sistemi instabili, è possibile che quello complessivo non lo sia.
es.
G(s) = 1/s, G2(s) = K/s+K, K > 0
- 1/1+G2
- s/s+K
- 1/1+G1G2
- s/s+K polo in s=-k → stabilità (anche se G1 instabile)
- 1/1+G1G2
SISTEMA DI CONTROLLO
Def. Il sistema di controllo è stabile internamente rispetto a perturb. r, d, n di durata limitata se lim |yp(t)|, |yp(t)|, |μp(t)|, |yc(t)|, |μc(t)|, |μn(t)| = 0.
Il sistema di controllo è stabile internamente rispetto a perturbazioni persistenti di ampiezza limitata r, d, n, se |yp(t)| ≤ My, |yc(t)| ≤ Myc, |μφc(t)| ≤ Muc, |yy(t)| ≤ Myv, |Mądn(t)| ≤ Munn ∀t ≥ 0
- 1, C, P, H, CP,CH, PH, CPH
- yp
- CP/1+C
- υp
- P/1+CP
- C/1+PH
- n
PROBLEMA DI REIEZIONE DISTURBO dm (a regime)
r = y0; di = dl = 0
lim |y(t)| = 0
t → +∞
PROBLEMA DI REIEZIONE DISTURBO dl (a regime)
y0 = di = dm = 0; voglio che lim |y(t)| = 0
t → +∞
L(s) = C(s) P(s) H(s)
G(s) - F(s) = 1
- PROBLEMA DI INSEGUIMENTO
di = du = dm = 0; voglio garantire che lim |e(t)| = 0
t → +∞
e(t) = yc(t-1) - y(t)
E(s) = y0(s)
1 + L(s)
lim | 1 [E(s)] | = 0 ⟺ E(s) ha tutti i poli a parte reale < 0
t → ∞
L(s) = C(s) P(s) H(s) → Guadagno ad anello, P ed H assegnati, C da progettare
- PROBLEMA DI REIEZIONE DISTURBO du a REGIME
y0 = di = dm = 0; voglio che lim |y(t)| = 0; Y(s) = 1 Du(s)
t → ∞
1 + L(s)
- PROBLEMA DI REIEZIONE DISTURBO di a REGIME
y0 = dl = dm = 0; voglio che lim |y(t)| = 0; Y(s) = P(s) Di(s)
t → ∞
1 + L(s)
- PROBLEMA DI REIEZIONE DISTURBO dm a REGIME
y0 = dl = di = 0; voglio che lim |y(t)| = 0; Y(s) = -L(s) Dm(s)
t → ∞
1 + L(s)
Si verifica che C(s) è stabilizzante verificando che 1, C, C P, P
∈ S:
\[ C(s) = \frac{Q(s)}{Q(s)} ∈ \mathcal{S} \]
- \[ 1 \frac{1}{1 + C(s) P(s)} = \frac{1 - P(s)Q(s)}{1 - P(s)Q(s)} = 1 - P(s)Q(s) ∈ \mathcal{S} \]
- \[ \frac{P(s)}{1 + C(s)P(s)} = (1 - P(s)Q(s)) ∈ \mathcal{S} \]
- \[ \frac{Q(s)}{1 + C(s)P(s)} = Q(s) ∈ \mathcal{S} \]
- \[ \frac{C(s) P(s)}{1 + C(s) P(s)} = P(s) ∈ \mathcal{S} \]
→ dipendono tutte da Q
Bisogna verificare anche che il contr. stabilizz.: possa essere scritto in questa forma:
Sia \[\overline{C}(s)\] un controllore stabilizzante per il sistema di controll:
\[\overline{C} = F\]
\[\overline{C} = F + \overline{C}PF = \overline{C}(1 - PF) = F \quad \overline{C} = \]
\[ \frac{F}{1 - PF} \]
\[Q(s) = F(s)\]
Imbroglio dei controllori stabilizzanti: \[G(P) = \{C(s) = \frac{Q(s)}{1 - \frac{1}{s+1}Q(s)}\]\]
Scelgo \[C(s) = 1\] → \[\overline{C}(s) = \frac{1}{1 - \frac{1}{s+1}} = \frac{1}{s + \frac{1}{s+1}}\]
= \[\frac{s+1}{s}\]
L'idea è scegliere una \[C(s)\] che ottimizzi: alcune specifiche del sistema.
\[C(s) \] → = K CONTROLLER PROPORZIONALE Deve valere:
- No cancellazione
- \[1 + k C(s)P(s)\] deve avere tutti gli zeri a parte reale < 0
- \[1 + \frac{k}{s+1}\] zeri: \[1 - k\]
- →1 - k < 0 → k > 1
È stabilizzante se il nuovo guadagno è \[1 > -1\]
\[ C(s) = \frac{C(s)}{1 + C(s)P(s)} \]
\Q(1+kP)=kK=k(\frac{s+1}{s})(=Q(s)= \]
In generale per avere C di ordine basso, la è è abbastanza complicata.
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