Appunti Scienze di base per il design

INSIEMI

Un insieme è una collezione ben definita di elementi distinti. Gli elementi

possono essere numeri, oggetti, persone o entità astratte. Un insieme è

rappresentato solitamente tra parentesi graffe, ad esempio:

è

A={1,2,3} un insieme i cui elementi sono 1, 2 e 3.

La nozione di "ben definito" implica che deve essere chiaro e univoco se un

elemento appartiene o meno all'insieme.

Sottoinsieme

Un sottoinsieme è un insieme i cui elementi appartengono interamente a un altro

insieme. Formalmente, l'insieme B è un sottoinsieme

dell'insieme A e si scrive B⊆A se ogni elemento di B è anche un elemento di A.

ESEMPIO A={1,2,3} e B={1,2} allora B è un sottoinsieme di A.

Se B è un sottoinsieme proprio di A (se è contenuto dentro A ma non sono uguali)

cioè B≠A allora si scrive B⊂A.

COME SI RAPPRESENTANO GLI INSIEMI

1. Per elencazione

Gli elementi dell'insieme vengono elencati separati da virgole e racchiusi tra

parentesi graffe. Questo metodo è usato quando è possibile elencare

esplicitamente tutti gli elementi dell'insieme.

Esempio: A={1,2,3,4,5} L'insieme A contiene gli elementi 1, 2, 3, 4 e 5.

*se voglio indicare i numeri naturali scrivo IN={1,2,3…}

OPERAZIONI TRA INSIEMI

1. Unione (∪) L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di tutti gli elementi che

appartengono a A, a B o a entrambi.

- Esempio:

A={1,2,3}, B={3,4,5}

- Definizione formale: A∪B={1,2,3,4,5} ∪ ∈ ∈

A B= {x : x A o x

B}

2. Intersezione (∩) L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi

che appartengono sia ad A che a B.

- Esempio:

A={1,2,3} , B={3,4,5}

- Definizione formale: ∈ ∈

A ∩ B= {x : x A e x B}

3. Differenza (A∖ B) La differenza tra due insiemi A e B è l'insieme degli

elementi che appartengono a A ma non a B.

- Esempio:

-Definizione formale: A={1,2,3}, B={3,4,5} ∈ ∉

A∖B={x : x A e x B}

A∖B={1,2}

4. Differenza simmetrica (AΔB) La differenza simmetrica tra due insiemi A e B

è l'insieme degli elementi che appartengono a A o a B, ma

non a entrambi. -Esempio:

A={1,2,3}, B={3,4,5}

-Definizione formale: AΔB={1,2,4,5} AΔB=(A∖B)∪(B∖A)

5. Prodotto cartesiano (A×B)

Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate

∈ ∈

(a,b), dove a A e b B. -Esempio:

A={1,2} B={3,4} A×B={(1,3),

-Definizione formale: (1,4),(2,3),(2,4)} ∈

A×B={(a,b) : a

∈

A e b B}

6. Complemento (A‾)

Il complemento di un insieme A è l'insieme di tutti gli elementi che non

appartengono ad A, rispetto a un insieme universo U di riferimento.

-Esempio: Se l'insieme universo è U={1,2,3,4,5} e A={1,2},

-Definizione formale: ‾

allora il complemento di A è: A ={3,4,5}

∉ ∈

A‾={x : x A e x U}