Appunti Scienze di base per il design

Insiemi

Un insieme è una collezione ben definita di elementi distinti. Gli elementi possono essere numeri, oggetti, persone o entità astratte. Un insieme è rappresentato solitamente tra parentesi graffe, ad esempio: A={1,2,3} è un insieme i cui elementi sono 1, 2 e 3. La nozione di "ben definito" implica che deve essere chiaro e univoco se un elemento appartiene o meno all'insieme.

Sottoinsieme

Un sottoinsieme è un insieme i cui elementi appartengono interamente a un altro insieme. Formalmente, l'insieme B è un sottoinsieme dell'insieme A e si scrive B⊆A se ogni elemento di B è anche un elemento di A.

Esempio: A={1,2,3} e B={1,2} allora B è un sottoinsieme di A. Se B è un sottoinsieme proprio di A (se è contenuto dentro A ma non sono uguali) cioè B≠A allora si scrive B⊂A.

Come si rappresentano gli insiemi

• Per elencazione: Gli elementi dell'insieme vengono elencati separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Questo metodo è usato quando è possibile elencare esplicitamente tutti gli elementi dell'insieme. Esempio: A={1,2,3,4,5} L'insieme A contiene gli elementi 1, 2, 3, 4 e 5. Se voglio indicare i numeri naturali scrivo IN={1,2,3…}

Operazioni tra insiemi

• Unione (∪): L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di tutti gli elementi che appartengono a A, a B o a entrambi.
  • Esempio: A={1,2,3}, B={3,4,5}
  • Definizione formale: A∪B={1,2,3,4,5}
• Intersezione (∩): L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.
  • Esempio: A={1,2,3}, B={3,4,5}
  • Definizione formale: A∩B={3}
• Differenza (A∖B): La differenza tra due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono a A ma non a B.
  • Esempio: A={1,2,3}, B={3,4,5}
  • Definizione formale: A∖B={1,2}
• Differenza simmetrica (AΔB): La differenza simmetrica tra due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono a A o a B, ma non a entrambi.
  • Esempio: A={1,2,3}, B={3,4,5}
  • Definizione formale: AΔB={1,2,4,5}
• Prodotto cartesiano (A×B): Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l'insieme di tutte le coppie ordinate (a,b), dove a∈A e b∈B.
  • Esempio: A={1,2}, B={3,4}
  • Definizione formale: A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
• Complemento (A‾): Il complemento di un insieme A è l'insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A, rispetto a un insieme universo U di riferimento.
  • Esempio: Se l'insieme universo è U={1,2,3,4,5} e A={1,2}
  • Definizione formale: A‾={3,4,5}