Appunti Scienza delle costruzioni, ridotti per orale

Analisi della Deformazione

Continuo materiale → volume dV, frontiera dS

Deformazione: _i = _ij,   =

F sempre ≠ 0, il moto è sempre inevitabile

del ≠ 0, non c'è compenetrazione di materia   esprime che varia il volume

Introduco _E - TENSORE DI GREEN, DELLE DEFORMAZIONI FINITE

E = 1/2 ( F^TF - I )

Descrive il moto descrivendo il punto iniziale (euleriano)

Introduco Q - gradiente dello spostamento _wi / _xj

Posso descrivere il moto con un vettore

C(t, p) = P + U(t, p)

Q = E + W 

• E = 1/2 ( ^T + _ij^T) SYM - DEFORMAZIONE
• W = 1/2 ( _ij - ^T) ANTISYM - ROTAZIONE RIGIDA

Per PICCOLE DEFORMAZIONI _E ≈ E - TENS. GREEN, contene deformazioni

E_ij

• simmetrico   diagonale - deformazioni lineari E_ii
• (E₁₁ + E₁₁) def. lungo x₁, x₂
• (E₁₁ + E₁₁ + E₃₃) def. volume

2) Legge costitutiva del solido elastico-lineare

Cerco una relazione fra tensioni e deformazioni

Introduco C = tensore di elasticità ⇒ σ = C(ε)

Si dimostra C simmetrico e funzione solo delle parti simm. di σ ed ε.

Per ipotesi materiale iperelastico ⇒ C funzione scelte

Ne deriva energia di deformazione elastica totale 1/2 σε

Con ipotesi isotropia si avere le equazioni di Lame:

σ = C(ε) - 2με + λtr(ε)I

con λ = prima cost. Lame

con μ = second. “ “

Definiamo inoltre le principali costanti elastiche:

• μ = G = modulo di elasticità tangenziale
• k = modulo di elasticità cubica
• E = modulo di elasticità normale = modulo di Young
• ν = coeff. Poisson = di dilitazione trasversale
• (λ) = prima costante di Lame

n Con due di queste, qualsiasi, riesco ad esprimere il legame

σ - C(ε)

3.1 Teoremi dell'elasticità lineare

_{Hp linearità}

Campo spostamenti - deformazioni - tensioni è uno stato elastico

• _{εij = 1/2 (ui,j + uj,i)} congruenza
• _{σij = Cijkl(εkl)} legame
• _{σij,j + bi = 0} equilibrio

1. Principio di sovrapposizione degli effetti

   Applicando contemporaneamente, ad uno stesso sistema elastico lineare, vari sistemi di forze, si producono spostamenti, deformazioni e tensioni; uguali alla somma di quelle prodotte separatamente.

2. Teorema di Cloperyon

   Il lavoro compiuto dal sistema di forze applicate ad un corpo elastico lineare è uguale alla metà del lavoro che le stesse forze compirebbero se agissero fin dall'inizio con la loro intensità finale.

   Lavoro di deformazione: L_d = ∫ϕ(ε_ij)dV

   ϕ(ε_ij) = densità di energia di deformazione (per unità di volume)

   L_d = ∫ 0.5 ε_ijσ_ijdV = ∫ 0.5 σ_ij ε_ij dV = U_εml

   L_d = L_f = 1/2[ b₃ u₃ dV + ∫ F₃ u₃ dA]

1) Problema Cinematico Trove

Data una tene nello spazio 3D → 6 GdL

→ Applico i vincoli... come si muove?

⇒ A_6×6 = A = matrice operatore cinematico

X = incognite, spostamenti (6×1)

Ū = spostamenti prescritti dei vincoli (n_v x 1)

→ n_v < 6 → Mobile, non risolvibile

→ n_v = 6 → det(A) ≠ 0 → 6 vincoli lin. indipend. = Isostatica

        det(A) = 0 → Mobile (vincoli non efficaci)

→ n_v > 6 → det(A) ≠ 0 → almeno 6 vincoli ben posti = Iperstatica

        det(A) = 0 → Mobile (vedi sopra)

Nel caso di tre piane → 3 GdL (_{δₓ, δᵧ, δω)}

A_nv×3 = A

X = (3×1)

Ū = (n_v x 1)

4.1. Travature Verticali

• tutte le aste sono rettilinee e collegate de cernere (non)
• Appoggi esterni solo cernere o appoggi semplici.
• Carichi applicati sui nodi e concentrati.

Con queste particolari ipotesi ognu asta è un parabola {T = 0 le aste sono soggette solo a Sf. Normale.

(Punione - Tirante - Scarica)

3n_t - nr = l + i

²ⁿ⁄_{2Gdl ogni nodo} (n_a + n_r) = l + i

Risoluzione

1. Nodo Canonico = un nodo con 2 sole aste Incognite
   • immediata risoluzione con equilubrio
2. Sezioni di Ritter = sezione che taglia 3 aste confluenti in 1 nodo
   • dL e dL =. Con equilibrio di momenti su un nodo calcolo le terre aste non confluenti ecc...

5.2 Flessione semplice

Individuo il piano dove giacciono le coppie = Piano di sollecitazione Individuo con Asse di sollecitazione

Imposto sistema:

• ^{N_T - T₁ = T₂ - M₁ - M₂ = 0}
• ^{M_x, M_z ≠ 0}

Asse neutro ⇒ σ₃₃ = 0 J_ξ = A ⋅ ρ_ξ²

• M_ξ / Δ ⋅ ρ_ξ² ⋅ η = M_η / Δ ⋅ ρ_η² ⋅ ξ = 0

Deflessione Cerca asse di flessione f, tale che σ_zz si semplifica ad un'espressione monomio del tipo σ_zz = kρ con ρ distanza da f

In questa SDR:

• σ_ij = (
  • 0 -Ycρ 0
  • -Ycρ 0 0
  • 0 Cτ
  ) E_ij =
• κ = M_x / J_ξ

C = M_x / E ⋅ J_ξ

Punti più lontani del centro di taglio ruotano di più

|u_nl|=√u_lx²+u_l²=^k/_2G⋅zPC

Rotazione=θ=_k/²(u_T,x-u_xT)=¹/₂rot(u)=^k/_2G⋅z=^M₃/_GJt⋅z

J_t=momento di inerzia ridotto

Asse delle tare uniforme rettilineo, mentre tutte le altre rette x₃

si portano su eliche cilindriche - l_P=passo

eliche cilindriche=

^θP/_2π=^GIt/_M3

^θ/_x3=^ΔΘ₃/_Jt=^M₃/_GJt=Angolo unitario di torsione

Lavoro di deformazione

(coppioni)⇒L_d=¹/₂M₃Θ(l)=¹/₂M₃^M₃l/_GJt=¹/₂^M₃2l/_GJt

⇒oppure L_d=∫^l₀¹/₂M₃ΔΘ₃dt=¹/₂^M₃2l/_GJt

Casi particolari

↓ seguono…