Appunti per orale di Scienza delle costruzioni

Cinematica del corpo rigido

Un corpo rigido è un corpo i cui punti si muovono sempre a distanza invariata. In un corpo rigido le lunghezze, in quanto distanze tra punti, rimangono costanti e di conseguenza anche gli angoli, le aree ed i volumi non variano.

Traslazione

Si consideri un corpo che subisce uno spostamento generico. Se tutti i punti "P" del corpo sono soggetti allo stesso spostamento, ossia S(P)=costante S(O), allora il corpo subisce una traslazione.

Rotazione

Si consideri un generico punto "P" del corpo e si supponga che ruoti di un angolo θ intorno ad un asse perpendicolare al piano del foglio passante per il punto "O" e definito dal versore uscente dal piano del foglio. Dopo la rotazione il punto sarà andato in P'

Per semplificare le equazioni si porga l'origine del sistema di riferimento del punto "O" e si sceglie l'asse "X" passante per "P" e l'asse "Z" coincidente con l'asse di rotazione.

Ipotesi fondamentale per piccoli spostamenti:

Si suppone di essere nell'ambito di piccoli spostamenti e piccole rotazioni.

Da un punto di vista fisico-meccanico, l'ipotesi è motivata dal fatto che nella maggior parte delle applicazioni gli spostamenti e le rotazioni sono effettivamente molto piccoli rispetto alle dimensioni delle strutture. Da un punto di vista matematico, quest'ipotesi conduce ad equazioni lineari.

Assumendo piccola la rotazione, le funzioni sin e cos possono essere sviluppate in serie di Taylor e approssimate con i primi termini dello sviluppo:

• sin(θ) ≅ θ
• cos(θ) ≅ 1

S(p) = -R(1-cos(θ)) î + Rsin(θ) ĵ = Rθ k̂

L'ipotesi di piccole rotazioni confonde la corda con la tangente all'arco in "p". Tale approssimazione è tanto più corretta quanto è più piccolo l'angolo di rotazione "θ".

Nel caso di una cerniera a terra multipla il carico di vincolo possono essere calcolati come 2ⁿ in quanto ogni corpo collegato alla cerniera a terra verrà privato di un solo grado di libertà; nel caso di un carrello multiplo sarà sufficiente ripetere il ragionamento fatto con la cerniera a terra multipla. Con la differenza di dover restituire un grado di libertà al sistema nella sua totalità e non ad ogni singolo componente. Il ragionamento per la cerniera interna multipla è lo stesso tuttavia in questo caso bisognerò restituire 2 gradi di libertà al sistema nella sua totalità.

Anello chiuso

Si supponga di aver un corpo rigido a forma di un anello chiuso. Si pensa questa struttura come composta da due corpi ① e ② con due incastri interni in "A" e in "B". Togliendo l'incastro in "A" si toglie un vincolo di grado 3 tuttavia la struttura è ancora un corpo rigido e non è labile.

La struttura ha dunque un grado di vincolo interno V_i=3 in quanto all'interno dell'anello chiuso sono incastrati 3 vincoli sovrabbondanti. I tre vincoli interni sovrabbondanti non devono necessariamente essere tolti tutti nello stesso punto, ma anche in tre punti distinti permettono una struttura.

Statica dei corpi rigidi

La statica si occupa dello studio delle forze e dei momenti che agiscono sulle strutture.

Le forze sono dei vettori applicati, mentre i momenti sono vettori liberi.

Forze e momenti possono essere concentrati in un punto o distribuiti su linee, aree e volumi.

Sulle strutture agiscono due tipi di forze:

• Forze attive: Carichi applicati dall'esterno noti
• Reazioni vincolari: Forze o momenti che si generano nella direzione dello spostamento o rotazione impedito dal vincolo

Prestazioni statiche

Le prestazioni statiche sono delle reazioni vincolari che appartengono a dei vincoli ed hanno la stessa direzione movimento bloccato dal vincolo.

Reazioni vincolari esterne:

• Incastro
• Pattino
• Manicotto

CLASSIFICAZIONE STATICA DELLE STRUTTURE

PER EFFETTUARE LA CLASSIFICAZIONE STATICA DELLE STRUTTURE SI CONSIDERA IL PROBLEMA STATICO Ax+h=0 E SI RICORDA CHE

STRUTTURA STATICAMENTE IMPOSSIBILE (LABILE)

• l > rango(A) ⇒ l > 0

IL SISTEMA Ax+h=0 NON AMMETTE SOLUZIONE PER UN VETTORE DI CARICO GENERICO h. PER L'ARBITRARIETÀ DI h SI HA CHE CI SONOPIÙ EQUAZIONI CHE INCOGNITE. FISICAMENTE PER QUESTE STRUTTURE NON PUÒ ESSERE GARANTITO L'EQUILIBRIO.

STRUTTURA STATICAMENTE DETERMINATA (ISOSTATICA)

• l =V=rango(A) ⇒ l=i=0

IL SISTEMA Ax+h=0 AMMETTE UNA SOLA SOLUZIONE PER UN VETTORE DI CARICO GENERICO h. PER L'ARBITRARIETÀ DI h SI HA CHEIL NUMERO DI EQUAZIONI È UGUALE A QUELLO DELLE INCOGNITE. FISICAMENTE PER QUESTE STRUTTURE POSSONOESSERE CALCOLATE IN MANIERA UNIVOCA TUTTE LEREAZIONI VINCOLARI INDIPENDENTEMENTE DALLA TIPOLOGIA ED ENTITÀ DEI CARICHI.

STRUTTURA STATICAMENTE INDETERMINATA (IPERSTATICA)

• V > rango(A) =D i > 0

Utilizzo del principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali ha molte applicazioni pratiche in quanto permette di risolvere un problema cinematico mediante un problema statico.

1. Calcolo dello spostamento in un punto dovuto a cedimenti vincolari

   Si opera assegnando una forza unitaria nel punto e nella direzione dello spostamento che si vuole calcolare. Si risolve il problema statico ausiliario (o virtuale o di servizio) ottenendo le reazioni vincolari che stanno in equilibrio con quel carico. Si noti che le forze sono quelle virtuali ed equilibrate mentre gli spostamenti sono quelli reali.

• Per il calcolo di uno spostamento utilizzo un problema virtuale equilibrato e utilizzo il teorema delle forze virtuali.

2. Calcolo di una reazione vincolante esterna

   Si opera assegnando un cedimento vincolare pari a uno al vincolo di cui si vuole calcolare la reazione. Si risolve il problema cinematico ausiliario (o virtuale o di servizio) ottenendo gli spostamenti concorrenti con quel cedimento vincolare. Si osserva che gli spostamenti sono quelli virtuali e concorrenti, mentre le forze sono quelle reali.

GEOMETRIA DELLE MASSE

MASSA TOTALE (MOMENTO DI ORDINE 0^o)

La geometria delle masse studia le proprietà

di un sistema di masse.

Un sistema discreto di masse è un insieme

di punti P_i nello spazio a ciascuno dei

quali si associa un numero positivo m_i detto

massa concentrata.

Un sistema continuo di masse è una regione

dello spazio V sulla quale è definita una

funzione scalare μ = μ(x,y,z) positiva detta

densità di massa.

dM = μdV è la massa di un elemento infinitesimo

di volume dV.

Un sistema misto è l'unione di uno o più

sistemi discreti con uno o più sistemi continui.

In questo caso consideriamo il piano invece

che lo spazio e masse al pari delle

aree, ossia 2D nel caso di distribuito.

La massa totale è l'area della figura

piana Ω in esame:

M = ∫_Ω dΩ

* Si dice momento di ordine 0^o in quanto

possiamo immaginare che l'argomento all'

interno dell'integrale sia elevato alla zero,

quindi l'integrale di 1.

riferirti agli assi x' e y' si può osservare come G stia all'interno del segmento G₁G₂, a distanza dagli estremi inversamente proporzionali alle aree corrispondenti.

1. Il baricentro si trova sempre all'interno dell'inviluppo convesso di ogni figura, ma non necessariamente dentro la figura. L'inviluppo convesso è il più piccolo insieme convesso che contiene la figura.
2. Se c'è un asse di simmetria sulla figura, il baricentro si trova su quest'asse.
3. Il baricentro di un triangolo sta ad un terzo dell'altezza.

Momenti d'inerzia (Momenti del 2^o ordine)

Momento d'inerzia assiale

Sia data una figura piana Ω e una retta v. Il momento d'inerzia assiale di Ω rispetto a v è la somma delle aree per le distanze al quadrato da v.

I_v,v = ∫_Ω [ d_v(x,y) ]² dΩ

Il momento d'inerzia assiale è sempre non negativo e nullo solo se le aree stanno tutte su v. Il pedice del simbolo I ricorda che anche il momento d'inerzia assiale è una proprietà dei