Appunti orale Scienza delle costruzioni

Ordine Scienza delle Costruzioni

PLV (per Corpi Rigidi)

Il Lavoro Trattre in Relazione Statica e Cinematica

L = F x $ (P)

L = M x @

L = x $ p y

Problema Cinematico By = δ

Problema Statico Ax + β | = 0

1) Teorema dei Lavori Virtuali

HP: Ax + βy = 0

DML: L = 0

TH: L = 0

• Sistema di Forze Equilibrato
• Sistema di Spostamenti Congruenti
• Lavoro Nullo

DM: L = x $ p y

L = x $ By - Ax $ y

L = x $ By - Ax $ At y

L = x $ ( β₁ - At y )

_F

Essendo β = At

2) Teorema delle Forze Virtuali

HP: Ax + βy = 0

L = 0

TH: By = ö

DML: L = 0 = x $ ö - β y

EQUILIBRIO

• o = x $ ö - Ax $ y
• o = y $ ö - x $ Ay
• o = x - ( β $ - At y ) ↔ c = By Essendo x ≠ 0

3) Teorema degli Spostamenti Virtuali

HP: By = δ

L = 0

TH: Ax + β | = 0

DML: L = 0 = x $ δ - β y

• o = x $ By + β_x y
• o = [ β_x y, ø | y, ø
• o = y ( β₁ + ø ) ↔ B x + β | = 0

Ax + β | = 0 Essendo y ≠ 0

Travi Rigide P.P.S

G(s) è un punto a distanza s dall' inizio della trave.

t(s) = _ds

k(s)[s(s)].n(s) sono perp. per la seguente disposizione:

• t(s) < t(s) > = 1
• t(s) < b(s) + t(s) > = 0
• t(s) × t(s) < s(s) > = Orthogonale

Vedi P 81/83

Nota: ripensu possucati fondati statica

Geometria delle Masse P.139

Momento Statico

∫_A x dA

NB: Per noi la massa coincide con l'area

• Traslazione della retta (non serve passare per il baricentro)

∫_v ^{Sx - Sx - Md}

Dove d è la distanza tra le due rette p.139

• Rotazione della retta

x' = x cosα + y sinα

y' = y cosα - x sinα

Sx' = ∫_{x' dA} = Sx cosα - Sy sinα

Baricentro

X_G = ^S_y/_M y_G = ^S_x/_M

il punto in cui concentrare la massa per avere gli stessi momenti statici

Momento d'Inerzia Assiale

∫_A y² dA I_y = ∫_A x² dA

r = ^I_r/_M

I_f = r²M

Rispetto ad una retta

Momento d'Inerzia Centrifugo

I_xy = ∫_{x y dA}

Vale se calcolato rispetto ad un asse di simmetria

I_xy = I_x + A * x_c * y_o

Rispetto a 2 rette

Momento di Inerzia Polare

I_o = I_x + I_y

Rispetto ad un punto

• VARIAZIONI DI AREA

ΔA_Pd = A_P - A_i / A_i

A_i = xy

A_P = (1+ε_x)x · (1+ε_y)y · cos(δxy) = (1+ε_x + ε_y ... ) xy

=> ΔA_z = ε_x + ε_y

• VARIAZIONI DI VOLUME

V_i = xyz

V_P = (1+ε_x)x · (1+ε_y)y · (1+ε_z)z = (1+ε_x + ε_y + ε_z)xyz

=> ΔV= ε_x + ε_y + ε_z = > TR E

• TENSORE SFERICO E DEVIATORICO

E^sf = VARIAZ VOLUME

E^dev = VARIAZ DI FORMA

E = ε_m 0 0 0 ε_m 0 0 0 ε_m + ε_x-ε_m γ_xy/2 γ_xz/2 γ_xy/2 ε_y-ε_m γ_yz/2 γ_xz/2 γ_yz/2 ε_z-ε_m

• DIREZIONI PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE E INVARIANTI

UNO DEGLI INFINITI SISTEMI DI RIFERIMENTO UTILIZZABILI PER RAPPRESENTARE LO STATO DEFORMATIVO ANNULLA TUTTE LE ... ... ... .

DIREZ ORDINARIE

DIREZ PRINCIPALE

O = DET(E - λI) = -λ³ + λ²I₁ - λI₂ + I₃

UNA VOLTA TROVATI I 3 AUTOVALORI λ₁, λ₂, λ₃ ... ... ... AUTO ...

... SOSTITUIRE IN DET(E - λI) UNA ALLA VOLTA, PER

... ...

O UTILIZZANDO IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI

N = E A W' ₀

HO UNA DERIVATA PRIMA QUINDI DI SCRIVERE UNA C.C. (CINEMATICA) OVVERO W E' = W' ₀

RICAVABILE DALLE CONDIZIONI 7 MOZZA LINEA ELASTICA IN ORDINE INFERIORE UTILIZZANDO LE EQUAZ 1) O 2) P255

N = (E A W') - Q

HO UNA DERIVATA SECONDA QUINDI DI SCRIVERE UNA C.C. (CINEMATICA/STATICA)

STABILENDO LE EQ 1) P255 E QUELLA PERSONALE

NON SI PUO' RISOLVERE LA STATICA MA PER DICEMBRE IPOTIZIONE E E D COSTANTI RISPETTO A Z

• FLESSIONE SETTIZZA RETTA

TUTTE LE SEZIONI DELLA TRAVE RIMANGONO PIANE DURANTE LA DEFORMAZIONE, IN MODO CHE LA DISTANZA FINALE SIA LA SOMMA DELLE ROTAZIONI DELLE PARTI

1/R

F

N = ∫ _A G ₂ dA = E K _x ∫ _A y dA = E K _x S _x = 0

G ₂ NON E' PIU' COST MA VALE: E G ₂ = E K _x γ

M _x = ∫ _A G ₂ y dA = E K _x ∫ _A y ² dA = E K _x I = δ K _x = 1/R

M _x/E I

FIGURA P262

M _y = ∫ _A G ₂ dA - E K _y ∫ _A x y dA = E K _y I _xy = 0

G ₂ = M _x/I _x y

G ₂ VARIA LINEARMENTE CON Y

L'ESPRESSIONE ANALITICA DELLA CURVATURA E' V (z) = -1/2 M _x/E _Ix z ² COME DIMOSTRATO A P266

NAVIER P263

P255 (GENERALIZZATA)

TOPOLOVSKY P301

γ _L2 * γ _L2L1 = T ₍x) S _x /I _x B