Appunti Scienza delle costruzioni - Parte 2

SONO DELL'INFLESSIONE

Di DELLE

LEGAME

CQ ESPRESSE

DOLE IN

.

Esempio 2

/ B

A X

11IIIIIIIIIII >

S Scriviamo le condizioni al

b contorno per questa piastra

/ D

C

Y

Lato AB: //x, y=0

è incastrato: w(x 0) 0

y *

= =

, ↓ se è nulla la funzione, sarà nulla anche la sua derivata

x (X 0)

W y 0

= =

,

,

Il Mi rappresenta un grado di libertà, la rotazione

PX

- rotazione associata

Imporre la w=x per la lastra di Kirchhoff, consiste ad imporre 0)

Px(X y 0

= =

, alla torsione

0

0)

Yy 0)

(X y(X

W y

y = =

= = -

, , ,

queste due sono le due condizioni al contorno (entrambe di tipo cinematico) indipendenti.

*

Quindi il numero delle condizioni al contorno si riduce passando da 3 a 2.

Si parla di CONTRAZIONE DELLE CONDIZIONI AL CONTORNO PER LA LASTRA DI KIRCHHOFF o

INDEFORMABILE A TAGLIO e riguarda i gradi di libertà traslazionale e quello rotazionale associato

della tensione.

Lato AC: // y, x=0

è incastrato: =

y)

w(X y

0 0

= =

, 9'(y) 0

= Ho quindi di nuovo le mie due nuove

Yy(X y(X y)

W

y) 0

=> 0

0 =

=

=

= - ,

, , condizioni al contorno indipendenti.

Rotazione associata alla torsione

↑ y)

(X x(X

W y) *

0

0 0

= - = =

= ,

x ,

,

La contrazione delle condizioni al contorno riguarda anche le condizioni al contorno statiche e riguarda

Tx, Ty e Mxy: quindi queste condizioni al contorno vanno imposte sui cosiddetti tagli di Kirchhoff che

risultano così definiti:

Lati // a y

Rx Mxy

Tx +

= y

, Lati // a x

Ry Mxy

Ty +

= X

,

che sono definiti in relazione solo ai lati di contorno della lastra.

Non si parla assolutamente di tagli di Kirchhoff nei punti interni!!

Vediamo ora una sorta di “giustificazione” a questo:

2

S B Suddividiamo il lato CD in segmenti di lunghezza

A X

I > finita Δx e calcoliamo il taglio e momento torcente

risultanti che agiscono su questi segmenti

b (sostituiamo le distribuzioni continue di Ty e Mxy

1Mxy)1X con le risultanti e momento risultanti applicati nel

(Mxy

Mxy1X +

3

13 centro di ciascun segmento)

: C , D

S

PrQ 1

(Ty ATy)AX)

Ty1X +

Y

< 'Ax'ax IL

CALCOLARE

V MOMENTO

PER

Risultanto as

Su

-

(Mxy AMxy)1X

+ DI STATICAMENTE

BRACCIO FORZE

SULLA COPPIA

Mag 1x RISULTANTE

EQUIVALENTE MOM

AL

Q

P S .

1x N

,

I I I

Facciamo uno zoom: ~

VV V VV Passo ad un sistema di forze

>

(Ty ATy)1x

1y1X 1y1X + staticamente equivalenti

2 2 2

1x 1x

/

↓ /

Calcoliamo ora la forza risultante su Q:

TyDX Ey

ATy)AX

>0 (Ty DMxy

Mxy DMx

Mxy TyDX

+ +

+ +

+

+ + =

↓ -

Immaginiamo ridistribuire questa forza su un segmento Δx posto a cavallo di Q:

DM

TyRX EDTy

e calcoliamo il limite per Δx che tende a 0: Infinitesimo Trascurabile

e

↓ o

DM EATy) Mxyx

&m (Ty Ty

+ +

+ =

detto appunto TAGLIO DI KIRCHHOFF

Ry Mxy

Ty

=> +

= X

,

2 B

/11111166161/ *

,

b Quindi ora riprendiamo la nostra lastra!!

c D

Y

Lato BD: //y, x=a

è appoggiato: y)

w(X a 0 *

=

= ,

↓ Condizioni

2

Sono AL

W y(X y)

a 0

=

= ,

, TIPO MISTO

Di

Contorno

-Ty

= D(W yy) DW

y)

Mx(X ww #

a 0

+

0 - =

=

= =

- - xx

,

xx

, ,

,

In un appoggio saremo sempre interessati a calcolare anche la forza reattiva, quindi la forza trasmessa

dalla lastra al vincolo: Rx(x y)

a

= ,

Lato CD: // x, y=b

è libero e scarico: Non vi sono forze applicate

Ry(x b) 0

y =

=

, Non vi sono momenti applicati

My (X b) 0

y =

=

, 17/11/2025

Metodi di soluzione delle equazioni che governano il problema della lastra

caricata fuori piano

Ci si chiede sempre se è possibile ottenere delle soluzioni in forma chiusa (soluzioni analitiche, quindi che

posso det. le funzioni incognite). Queste soluzioni si possono avere solo per eq. di Germain - Lagrange e per

lastre ellittiche e circolari per condizioni di carico assial simmetrico.

Per lastre rettangolari: soluzioni approssimate. Sono stati sviluppati due metodi:

• Metodo di Navier: serie trigonometriche doppie-lastre appoggiate su 4 lati

• metodo di Levy - Nadai: utilizza serie trigonometriche semplici e si utilizza per lastre appoggiate su una

coppia di lati paralleli mentre l'altra coppia di lati paralleli possono essere vincolati diversamente

Lastra rettangolare appoggiata sui 4 lati

a Condizioni al contorno: a(fceBD)

A B X x 0

= ,

J W W

0 e 0

= =

, XX

D (AB

b (D)

y e

0

= , e

W Wyy 0

0

= =

C D per il modello di Kirchhoff

Y

Metodo di Navier si basa sulla possibilità di poter esprimere/approssimare una funzione mediante uno sviluppo

in serie doppia di funzioni trigonometriche, in particolare sinusoidale.

= sen

m

Funzione carico trasversale Pmn sen

p(x y)

, 1

m m =

, ↳ coefficienti

= mag

m

con pat) sen sen

Pmn

Nel caso di lastra indeformabile a taglio la funzione incognita da determinare è l'inflessione w(x,y).

y) RITY

miTY

Wmn

W(X sen sen

, a D

min 1

= La coefficienti

incogniti

che soddisfa automaticamente le condizioni al contorno del nostro problema della lastra appoggiata sui 4 lati

(lastra di Kirchhoff) W

Ricordiamo che questi due sviluppi in serie devono soddisfare l'eq di Germain-Lagrange: P/D

=

Laplaciano doppio

mesemmsense

m

· Wmn

m n 1

=

, n222

b2

=

#4 (m

N Pmn

My se

+ sen sem

sen

Wmn

= 94b4

m n 1

=

, alb" Pmn coeff. soluzione per la funzione spostamento trasversale

Wmn

=> = ra2)2

(m2b2

Di" +

che dipende da m e n, i quali vanno determinati effettuando una analisi di convergenza che comporta:

1. scelta di parametri/grandezze significative su cui fare l'analisi : max inflessione e max momenti flettenti e/o

torcente

2. calcolo delle grandezze significative assumendo diversi valori di m e n, ossia per un numero crescenti dei

termini della serie

3. confrontare i valori ottenuti in due passi successivi

4. applicazione del criterio di convergenza scelto

alb" Pmn

I coefficienti Umn = ra2)2

(m2b2

Di" +

dipendono non solo dalla geometria e dal materiale della lastra (a,b,D) e dal carico (Pmn), ma anche dai numeri

interi m e n che vanno determinati effettuando una cosiddetta ANALISI DI CONVERGENZA.

Ad esempio per carico distribuito uniforme:

La funzione p(x,y) è una funzione costante che mettiamo pari a q

pansem sedydm

P( y) q =

=

, 49 Mila-cos) -col

(Cos (cos

= mm -m /

dispart

dispari 2

m

per n

2 per

-

-

169 per m,n interi dispari

= Hamn

alb4 at ba

16

12022 per m,n interi dispari

Umn

= = = n202)2

Diomn(ma

Dit"(m22 +

+

CN in x=a/2 e y=b/2

Wmn

Wmax, min =

voldire

w(9/2 b(2)

, wN 1

=

N=1 m=n=1 => Vuol dire 1 termine della serie

PASSO

10 max

N=3 m=1, n=1 => Vuol dire 4 termini della serie wNX

° PASSO

2 m=1, n=3

m=3, n=1

m=3, n=3 um

N=5 m=1, n=1 => Vuol dire 9 termini della serie

PASSO

°

3 m=1, n=3

m=1, n=5

m=3, n=1

m=3, n=3

m=3, n=5

m=5, n=1

m=5, n=3

m=5, n=5 1

3 N

yN = =

Differenza relativa percentuale max-Wmax E reall

100 >

tra i valori a due passi successivi ·

N 1

=

Wmax ww

reale

- 3

N =

Wmax

Da sapere modulo di yung e coeff. Poisson per l'acciaio all'esame!!! ↓

no?E si

f Okü

N =

ECC

...

moltiplicatos

ade quindi

mensionale termine

per

Solonna questo

,

Ad esempio per la lastra quadrata (a=b) in acciaio ( = 0.3)

pa ? ?

ga

ga

N M

- - m

#

a seconda che applichiamo il criterio di convergenza (ε=1%) alla sola inflessione e/o

anche ai momenti, dovremo considerare da 9 a 25 termini della serie.

Molte soluzioni di casi di interesse applicativo possono trovarsi sul testo di Timoshenko "theory of plates and

shells" dove sono riportate in forma tabellare e talvolta anche diagrammate.

Quanto più andiamo ad aumentare il numero della serie le variazioni riguardano molti decimali dopo la virgola.

Ammettiamo che la nostra soluzione soddisfi il criterio, quindi la differenza percentuale sotto l'1%, solo per

l'inflessione. Quanti termini della serie dobbiamo considerare? Va bene arrestare la nostra funzione

approssimata solo quando la differenza percentuale è inferiore all'1% solo sul parametro cinematico.

Ci interessano quei numeri indipendentemente dal più o dal meno. Nella prima colonna dei diff. il primo valor

che troviamo non soddisfa il criterio, il secondo numero si. Vuol dire che per soddisfare il criterio dell'1% solo

sulla w, possiamo arrestarci a quel termine. Vuol dire considerare 9 termini della serie. Supponiamo di dire, il

criterio dell'1% valga anche per i parametri statici. Se considerassimo il momento torcente allora 16 termini, se

considerassimo tutti i parametri allora 25 termini.

Perche non c'è la colonna di My ? Perche la lastra è quadrata e caricata simmetricamente quindi Mx=My.

Soluzione per lastra appoggiata sui 4 lati soggetta a carico uniforme

condizione

la

rappresenta conico

di

>

~

Y)

p(X , inflessione max Rx

Tx Ry

Ty

y

Lastra * * simmetria

per

Quadrata * lastra

nella

Quadrata

My MX

,

=

flettere strisce

che le

momento va a TX Ty ecc

Il all'asse X , .

.

& MX Baa

Mx

Calcolato diagramma

come =

max grafico

riportato che

nel

(linea azzurra)

segue

Queste tabelle fornisce i valori tabulati, sostanzialmente i valori massimi. La prima colonna ci

dice come varia b/a (rapporto di forma). Sono tabelle che valgono per vari valori di a,b e q.

Su diverse righe troveremo i valori massimi da assegnare a questi coefficienti per ottenere i corrispondenti

valori massimi sulla grandezza cinematica o statica.

La linea azzurra mi rappresenta l'andamento di

Mx ch