Appunti Scienza delle costruzioni estesi

SISTEMI DI FORZE

Costruzioni → convenzionali, haterogenee, geotecniche

• murotta tradizionale
• telato speciale
• prefabbricato

Carichi

• Pesi propri (_G) - Peso strutture portanti
• Carichi permanenti (_G) - tramezze, rivestimenti ecc. - continui
• Carichi accidentali - variano a seconda dell’utilizzo, persone, mobilio, neve, sisma

Azioni sulla struttura

• Dirette → insiere dei carichi
• Indirette → dovute al comportamento dei materiali
• Chimico - Fisiche → agenti aggressioni esterni

Statica: studia le condizioni di equilibrio di corpi rigidi o deformabili, sottoposti

all’azione delle forze.

Schiera (rappresentazione) struttura → mediante il suo asse

Collegamenti fra strutture → vincoli

Forze = vettori.

Posso spostare una forza lungo la sua retta d’azione ↔ Ps = nuovo punto applicazione, resta

collegato al P₀ vecchio punto applicazione.

Posso sostituire un sistema di forze con le sue risultante. (R).

→ Più forze giacenti nello stesso punto corrispondono ad una unica (R).

Coppie di forze

= sistema di due forze a risultante nulla, con direzione vett.

Traslazione momento => Ẏ₀ = Y₀ + R × [o - o]

Nel caso di coppie R = o_R = Y₀

+ (P_-R_T) × R = Y₀

Momento Fc di una coppia di forze non dipende dal polo.

Sistemi di Forze Equivalenti

Le operazioni invarianti, non alterano momento o risultante

• Scomposizione forza lungo la sua retta di applicazione
• Conessione di più forze in un punto con la sua risultante
• Scomposizione di una forza, in più, applicate nel punto

"Due sistemi si dicono equivalenti se si può passare dell'uno all'altro mediante operazioni invarianti ed elementari."

Det 2 sistemi di forze essi sono equivalenti

Se { R_A = R_B V_O,A = V_O,B }

Sistema equilubrito, risultante nulla

Struttura -> 2 sistemi di forze

• Attive = pesi propul. neve, vento, assim.
• Reattive = vincolis Devono equilibrare!

Trasporto Forza // à Retta di Azione

Disegno

Davo introduce in momento di trasporto m = Fd

...

Poligono Funicolare - risultante sistema di forze

Sommative forcie //

Scomposone forc

Analisi Sforzi

Corpo materiale come continuo = distribuzione continuata particelle -> analisi fenomeni con funzioni quasi continue (a tratti)

Materiale

• Omogeneo = stesse proprietà in ogni punto
• Isotropo = proprietà in un punto uguale in ogni direzione
• Anisotropo = proprietà mutano in funzione della direzione

Massa

\( \rho (x) = \frac{dm(x)}{dV} \) = massa per unità di volume

\( m = \int_V \delta m(x) = \int_V \rho (x) \cdot \delta V \)

\( \rho \) = densità

Azione sul continuo

- Forze di massa = \( dF = b_\rho p \, dV \) con \( \begin{cases} b_\rho = \text{forze per unità di massa} \\ p = \text{forze per unità di volume} \end{cases} \)

Equazioni di bilancio

-> Eq. cardinali statica

• \( R(\int_V \mathbf{1}) + R(V) = \dot{P} = \int_V \rho \, dV = \int_{s=3V} f \, dS = \dot{P} \) -> nel caso statico \( \dot{P} = \rho f \)
• \( M(JY) + H(V) = \ddot{k} = \int_V x \cdot \rho |dV = \int_{s=3V} x \cdot f \, dS = \dot{k} \) -> caso statico \( \dot{k} = \rho s \)

Tensione in un punto

- Principio da separazione -> Continuo Cauchy

• Tensione puntiforme \( \frac{AR}{\Delta S} = t_n \)
• Ideanti = \(\phi\)

Tensore sforzi = \( \sigma_{\mu i} \left( \begin{array}{ccc} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{array} \right) \)

Classe simmetrica

Classe vettore

Tensione lungo direzione \( \hat{n} \) -> \( t_n = \sigma \, \hat{n} \)

Ho usato 6 costanti elastiche

• k = modulo elasticità cubica (Bulk Modulus)
• λ = prima costante da Lame
• μ = seconda costante da Lame = modulo elasticità tangenziale
• E = modulo elasticità normale = modulo Young
• γ = coefficiente Poisson, coeff. di dilatazione laterale

Più semplice da ottenere in laboratorio e più usate

Onna limitazioni costanti elastico... 29-32

Le Traviature Isostatiche

Trave

Dato un asse piano → G: suo baricentro

Dato un'unica di lunghezza finita _l → liscia, omogenea, tagliata non più di finite discontinuità

Poggio sull'origine delle rette → _A alle tagenti della linea stessa

Il solido così formato è detto Trave.

Area deve avere sezione finita.

Detto G usi circolatorie nell’area, deve valere l/ϕ ≫ 1

Rif. Esterni

La trave, in uno spazio euclideo, si identifica solo con il suo asse → Strutture monodimensionali.

Sezione è costante/variabile/calotta e tulli/complete/con buchi

Asse = rettilineo/curvilineo/prospicuo e aperto/pianoconico e circoscritto e chiusa

Se l/ϕ < 4.5 → ↑ - trave tozza | l/ϕ > 20:30 → ↑ FW = FW

Rif. Interno - Locali

Sulle sezioni si definisce un SDR locale {G, x_s, y_s, z_s}

con origine in G e la sezione, diretto verso il verso di proseguimento dell’asse = ↑ inerzia.

xe ≤ z ∈ Al piano delle sezioni e corrisponde = assi principali di inerzia.

Trave Piana

In caso particolare, deve soddisfare:

1. Il suo asse deve essere contenuto in un piano.
2. Tutti gli spostamenti della trave devono essere tali da non farla uscire dal piano.
3. Azioni o altre entità applicate devono appartenere al piano stesso.
4. Almeno uno dei piani {x, z} e {z, x} non centrali di inerzia della sezione.

2) Sostituire ad i vincoli le loro reazioni vincolari: R_ws=R_wi V e H_yi=H_xi V ... dec..........

3) Corpo in equilibrio risultante forze e momento nulla rispetto un qualsiasi POLO F:

∑___ F_o=∑____ R_wi V_i= φ = 0 μ_n + ∑^hr_i=+1 μ_yi V_i + ∑^t______j=1 x V_i x (R_xi V_ai - ) = 0

Posso sviluppare il problema ed ottengo 6 equazioni in 6 incognite { 3  TRASLAZIONE ___                                   3  ROTAZIONE

Sistema compatta B = b con B= matrice operatorio statico (6 x n ) ____ x e vettore colonna INCOGNITE e REAZ.VINCOLONARI (n x 1) _ b = vettore colonna TERMINI NOTI = otten eq.unlento (6 x 1) Il problema OMOGENEO B=0

Ove forze non nulle e sistema est. equivalente

CASO Nr.1

Tratica quadrato (6 x 6) rank (B) = 6 ovvero det(B) ≠ 0 le equazioni sono indipendenti. UNI SOLUZIONE ↓ B sistema dipende da b = termini noti Le leve è dette ISOSTATICA

Se rank(B) ≠ rank(B^*) le eq. non sono indipendenti:

• rank(B) ≠ rank(B^*): IPERSTATICA, LABILE, STATICAMENTE IMPOSSIBILE
• rank(B) = rank(B^*): IPERSTATICA, k≪∞ soluzioni indipendenti con n = grado IPERSTATICITA

CASO Nr.2

Tratica B rettangolare (6 x n )

• rank(B) ≠ rank(B^*): STATICAMENTE IMPOSSIBILE
• rank(B) = rank(B^*) = h_n "STATICAMENTE DETERMINATO PER QUELLA PARTICOLARE CONDIZIONE DI CARICO b"   n > soluz

rank(B) = k ≪ h_n IPERSTATICA ∞ soluzioni con ℕ grado IPERSTATICITA

CASO Nr.3

Tratica rettangolare (6 x n )

• rank(B) = 6 con n x > 0 IPERSTATICA con ∞ soluzioni in h_n - 6
• rank(B) ≠ rank(B^*): rank(B) ≠ h_n IMPOSSIBILE
• w(B) = rank(B^*) : IPERSTATICA rank(B) ≠ rank(B^*) IPERSTATICA