Appunti programma Mathematica

Introduzione all'uso di Mathematica

Marco Bramanti

Questi appunti sono scritti per chi vuole imparare velocemente a usare Mathematica per fare le più comuni

operazioni che hanno a che fare con il contenuto dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2. Scorrendo il Sommario qui

sotto saprete subito cosa potrete imparare e cosa no, leggendo questi appunti.

Facendo le operazioni che sono spiegate qui, vi capiterà di chiedervi come potreste farne molte altre, che qui

non sono spiegate. Le risposte a queste domande si trovano nei manuali ufficiali di Mathematica, che sono i vari libri

di Stephen Wolfram, il creatore del programma: c'è un libro per ogni versione di Mathematica (attualmente, ottobre

2000, sono in circolazione le versioni 2, 3 e 4). Ciascuno di questi libri ha dalle 900 pagine in su, il che potrebbe

scoraggiare qualcuno a consultarli: in realtà sono libri ben scritti, in cui non è difficile orientarsi. Comunque, questi

appunti dovrebbero servire proprio per evitare di sfogliare i manuali, a chi desideri imparare in fretta l'essenziale.

Sommario

1. Nozioni di base su Mathematica

(Conviene leggere integralmente questa prima parte)

1.1. Primo impatto

1.2. Calcoli numerici

1.3. Funzioni elementari

1.4. Costanti notevoli

1.5. Definire una funzione o un numero

1.6. Matematica discreta

1.6.1. Successioni, tabulazioni

1.6.2. Sommatorie

2. Argomenti specifici di Analisi Matematica

(Sono abbastanza indipendenti gli uni dagli altri, si può leggere solo quello che interessa; rich-

iedono però le Nozioni di base)

2.1. Serie numeriche

2.2. Numeri complessi

2.2.1. Radici n-esime in C

2.3. Risoluzione di equazioni, esatta o approssimata

2.4. Grafici di funzioni

2.5. Funzioni definite a tratti

2.6. Uso dei comandi Sum e Table con funzioni

2.7. Calcolo infinitesimale per funzioni di una variabile

2.7.1. Calcolo dei limiti

2.7.2. Calcolo delle derivate 2

2.7.3. Formula di Taylor

2.7.4. Calcolo delle primitive

2.7.5. Calcolo degli integrali definiti, esatto o approssimato

2.7.6. Integrali generalizzati

2.7.7. Funzioni integrali

2.7.8. Equazioni differenziali

2.7.9. Serie di Fourier

2.8. Funzioni di più variabili (questa parte non è ancora stata scritta)

2.8.1. Grafici di funzioni reali di due variabili

2.8.2. Grafici di linee in forma parametrica,nel piano o nello spazio

2.8.3. Grafici di superfici in forma parametrica

2.8.4. Calcolo di integrali doppi,esatto o approssimato

1. Nozioni di base su Mathematica

à 1.1. Primo impatto

All'avvio di Mathematica compare una finestra principale bianca (Untitled), più eventualmente altre finestre

con raccolte di simboli e comandi. Non ostante l'aspetto grafico sia quello di un comune programma windows (con

menù ecc.), per fare qualcosa di significativo non basta cliccare sui vari menù con il mouse: occorre usare la tastiera e

digitare istruzioni secondo una certa sintassi. Quanta sintassi sia necessario imparare dipende quindi da quale e

quanta matematica si vuole fare con Mathematica. Più precisamente, per fare qualsiasi operazione, si digita dalla

tastiera una opportuna stringa di testo (input) nella finestra principale, e quindi si preme shift+invio: Mathematica a

questo punto interpreta come input quello che si è appena scritto (più precisamente, quello che è scritto nel blocco di

righe in cui sta lampeggiando il cursore), esegue quanto richiesto e fornisce il risultato (output): un numero,

un'espressione, un grafico..., a seconda di cosa si è chiesto. L'input va digitato secondo una precisa sintassi: in partico-

lare, sono importanti le maiuscole/minuscole, gli spazi, l'uso corretto delle parentesi graffe, quadre e tonde.

Ricordiamo che sulla tastiera italiana:

le parentesi quadre [ ] si trovano sulla tastiera, ma sono il terzo carattere di un tasto, perciò si ottengono premendo

quel tasto insieme ad AltGr;

le parentesi graffe {} non ci sono sulla tastiera, ma si ottengono digitando i numeri 123 e 125 col tastierino numerico,

mentre si tiene premuto il tasto Alt.

Nella versione 2 di Mathematica, gli input si digitano esclusivamente da tastiera. Nelle versioni 3 o 4 invece,

ci sono varie barre di strumenti cliccando sui quali si può immettere almeno parte dell'input, usando un po' meno

sintassi. In questi appunti si insegna a usare solo la tastiera; l'uso del mouse e dei toolbar, del resto, è un'alternativa

intuitiva che non richiede molte spiegazioni.

Nota tecnica: alcune delle operazioni che può capitare di fare con Mathematica sono piuttosto impegnative per

il PC; se usate una vecchia macchina (con processore "lento", tipo 486 o poca RAM, tipo 8Mb), potrebbe bloccarsi o

metterci parecchio. Nel caso si abbia questo dubbio, meglio salvare prima di premere shift+invio.

à 1.2. Calcoli numerici

Esempio. Se scriviamo:

2+3*4^2 3

e quindi premiamo shift+invio, succede questo:

+ *

2 3 4 ^ 2

In[1]:= 50

Out[1]=

Come si vede, Mathematica scrive In[n]= davanti all'input (n è il numero progressivo degli input digitati nella ses-

sione), e fornisce un output.

(Quando un file Mathematica viene salvato, chiuso e riaperto, le scritte In[n]= e Out[n]= non ricompaiono, finché

eventualmente l'input non viene valutato di nuovo; questo è il motivo per cui in questo file non tutti gli input e output

sono numerati).

Regole di base: le 4 operazioni si indicano con

•

+- *

Il prodotto si può indicare anche con uno spazio, ad esempio:

2x

è lo stesso che

*

2 x

ma è diverso da 2x (senza spazio tra 2 e x), che denoterebbe una nuova variabile di nome "2x", e non 2 volte la

variabile x. L'elevamento a potenza "a alla b" si scrive così:

a^ b

Si possono usare tutte le parentesi che si vuole, sempre tonde, le une dentro le altre. Anzi, nel dubbio su quale sia la

precedenza con cui Mathematica interpreta le operazioni, meglio abbondare, ad esempio:

H2 H3 • H5

+ +

^ xLL x ^ 2 1L

In[2]:= 3+x

2

€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€

Out[2]= + 2

1 5x

Le parentesi quadre e graffe hanno un significato sintattico particolare che si vedrà in seguito, e non vanno usate

quindi come parentesi "normali".

Esempio. H2 • 45L ^ 36

In[3]:= 68719476736

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

Out[3]= 327831360408733226531187361612285036244429647922515869140625

Se il risultato esatto di un calcolo è un numero razionale, Mathematica lo scrive come frazione esatta! Se vogliamo un

valore numerico approssimato, dobbiamo scrivere:

N@operazione che voglio fareD

Ad esempio: •

N@H2 45L ^ 36D

In[4]:= -49

´

2.09618 10

Out[4]= 4

Trucco. Col simbolo % si può indicare, in un input, l'ultimo output precedente. Ad esempio:

*

% 1000

In[5]:= -46

´

2.09618 10

Out[5]=

Ad esempio, per ottenere un valore numerico approssimato dell'ultimo output, basta scrivere N[%]. Invece, per indi-

care l'output numero n si scrive %n. Ad esempio,

•

1 %3

In[6]:= 327831360408733226531187361612285036244429647922515869140625

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

Out[6]= 68719476736

à 1.3. Funzioni elementari:

In generale una funzione elementare si scrive F[x], cioè ha un nome che comincia sempre per maiuscola, e il suo

argomento è scritto tra parentesi quadre. Funzioni comuni:

Exp@xD

(esponenziale di base e)

Log@xD

(logaritmo in base e)

Log@a, xD

(logaritmo in base a)

Sin@xD, Cos@xD, Tan@xD, ArcSin@xD, ArcCos@xD, ArcTan@xD

(funzioni trigonometriche e loro inverse)

Sinh@xD, Cosh@xD, Tanh@xD

(funzioni iperboliche)

Sqrt@xD

(radice quadrata di x; ricordare che si può comunque scrivere x^a per avere potenze a esponente reale qualunque;

Mathematica, però, richiede sempre che la base sia positiva. Ad esempio, se si chiede a Mathematica di disegnare il

grafico di x^(1/3), lo disegna solo per x>0. Per averlo tutto occorre usare un trucco che si spiegherà poi).

Abs@xD

(valore assoluto di x) 5

à 1.4. Costanti notevoli:

pi greco si scrive Pi

il numero e di Nepero si scrive E

l'unità immaginaria si scrive I

più infinito si scrive Infinity

meno infinito si scrive -Infinity

à 1.5. Definire una funzione o un numero

Se si vogliono fare più operazioni su una funzione non elementare, conviene darle un nome, in modo da poterla poi

richiamare con quel nome. Ad esempio:

HSin@2 • H1

= + +

F@x_D xD 2 Cos@3 xDL x ^ 2L

In[7]:= +

2 Cos@3 xD Sin@2 xD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€

Out[7]= + 2

1 x

Se ora scriviamo, ad esempio:

•

F@2 Pi 3D

•!!!!

- €€€€€€€€

3

2

€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€

2

p

2

€€€€€€€€

€

+ 4

1 9

Mathematica calcola il valore di F in x=2 Pi/3. La sintassi dunque è:

=

Nome@x_D Qualcosa che contiene@xD

Il nome della funzione può essere una lettera (maiuscola) o una parola (con l'iniziale maiuscola). Alcune lettere sono

proibite perché hanno già un altro significato. Ad esempio, si possono usare:

F@x_D, G@x_D, H@x_D, M@x_D

ma non si possono usare:

N@x_D, O@x_D, D@x_D.

(Motivo: N indica la valutazione numerica, O il simbolo di "o grande", D la derivazione). Se si prova a farlo, Mathe-

matica ci avverte che non è lecito.

Naturalemente il nome della variabile indipendente è arbitrario. Ad esempio potremmo digitare:

HSin@2 • H1

= + +

F@t_D tD 2 Cos@3 tDL t ^ 2L

In[8]:= +

2 Cos@3 tD Sin@2 tD

€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€€€€€€€€€€

€€€€€€€

Out[8]= + 2

1 t

e sarebbe stata la stessa funzione dell'esempio precedente (In[7]) (t o x sono "variabili mute").

Analogamente, ma più semplicemente, si può dare un nome a un numero che in seguito comparirà in parecchie

operazioni. Si pone ad esempio: 6

=

•!!!!

a 2 Pi Sqrt@3D

p

2 3

A questo punto possiamo ad esempio calcolare:

Exp@aD

•!!!! p

ã 2 3

N@%D

53252.3

Avvertenza. Quando si definisce una funzione o un numero dandogli dei nomi, per tutta la sessione di lavoro Mathe-

matica darà a quel nome quel significato. Dopo un po' questo potrebbe diventare fastidioso (non si sa più che lettere

usare perché sono già tutte "compromesse"). Per dire a Mathematica "ora dimentica che x vuol dire la tal cosa" il

comando è:

Clear@xD

Lo stesso per i nomi di funzione: con

Clear@FD

Mathematica fa sì che F non abbia più il significato di funzione che gli era stato dato.

à 1.6. Mate