Appunti fluidodinamica

EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

COORDINATE … (PROPRIETÀ CONDOTTI)

_{(COOKIVANT CARTESIANE)}

1. _{(∂/∂t + u ⋅ ∇) u = - ∇P + μ/ρ ⋅ ∇²u}

2. ∇ ⋅ u = 0

ESEMPI:

1. Q.D.M.

x:

∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z = - 1/ρ ∂P/∂x + ν(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)

y:

∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y + w∂v/∂z = - 1/ρ ∂P/∂y + ν(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² + ∂²v/∂z²)

z:

∂w/∂t + u∂w/∂x + v∂w/∂y + w∂w/∂z = - 1/ρ ∂P/∂z - g + ν(∂²w/∂x² + ∂²w/∂y² + ∂²w/∂z²)

_CONTINUITÀ

2. ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0

ADIMENSIONALI:

_{∂u*/∂t* + u* ⋅ ∇u* = - ∇P* + 1/Rc ⋅ ∇²u*}

∇* ⋅ u* = 0

Rc = ρLU/μ

PRESSIONE IN UN PUNTO (ISOTROPIA)

• IN QUIETE LO SFORZO NORMALE HA LO STESSO MODULO IN TUTTE LE DIREZIONI

LA SOMMA DELLE FORZE CHE AGISCONO SULL'ELEMENTINO DI FLUIDO CONFORME DI FIGURA È NULLA

Δγ_x = 1

α = Δl cosα; Δz = Δl sinα

P₂ - P₃ = P - P

• LA PRESSIONE È INDIPENDENTE DALLA DIREZIONE SECONDO CUI AGISCE, È QUINDI UNA QUANTITÀ SCALARE
• ANCHE IN MOTO L'ISOTROPIA PERSISTE

P₁ - P₃ = daγ Δx₂; P₂ - P₃ = a₂ ρg Δx₂

LOGE DI STEVINO

• LA PRESSIONE P₃ DEVE ESSERE UGUALE A P₄, PERCHÉ LA DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE NON PUÒ VARIARE ORIZZONTALMENTE

Tensor di Deformazione

• Elemento di volume dilatato e allungante di [,1,1,,2,2,2,theta,t,x,z,y,,2,2]
• Devo valutare la velocità di deformazione

Vettore Velocità

^{u,v,0}

Moltiplichiamo per Δt

IN O

IN A

IN B

Valuto gli angoli

α≃Δα

Δα=dy/dz

Δβ = dx/dy

Valuto i denominatori

Δx=dx/dt

Δz/dt

Velocità di deformazione lineare

Tensore Velocità Simmetrico

• S_xx
• S_zz
• S_xz
• S_z

SOSTITUISCO:

_∂(ρu)/_∂t + ∇ • (ρv) = ρgu + ρf + rwa_w (ρwl_tw)

= ∂_ρ/_∂t + ∇ (ρw) = Vg (ρwl_tw) + ρfu + rwa_w

= − ∂p/_∂z + ρg

w = 0 (CONSERVAZIONE VOLUME BASIS)

FORMA PRIMITIVA DELLA CONSERVAZIONE DELLA Q.D.M.

UNICO Ƞ, DOVE SI E' MESSA IN EVIDENZA LA DERIVATA DA RISPETTO w

ANALOGAMENTE OTTENGO LE EQ. LUNGO z:

p _du/_dt = − ∇p

p _dt = ϱ

RD_t/dt = ϱ/ _∂z + ∂_{2 ∂z2} + ϱg

p _dt/dz = − ∇p + ϱgz

p _dt/dt = − ∇P + ϱg

p = − ∇P + ϱa + ϱg

RELAZIONE CHE LEGA LE SUPERFICI DEL TERRAPOLLO

p _dl/dz = p _lz(dl/dz) = − ∇P

= − ∇ ∙ Fd + ∑F_z = ∑ΔF_z = ∑ _{z^x ΔSx + ΔSs3}

= − (A_i)^x ΔS_x + (i − K)(_z) _i Δ - ∇P

= q_{id z} ΔS

= ov³ Δ

EQUILIBRIO DI FORZA

p _ΔFz = ∑Δp_l e _{lc l}Δdqx

VETTORE DESCR’LEO LO STATO TENSIONALE SULLA SUPERFICIE DI AREA ΔS

Teorema di Bernoulli (utilizzando la Q.D.M)

1^o dimostrazione considerando l'equazione di conservazione e della Q.D.M.

\(\frac{\partial \rho \vec{u}}{\partial t} + \rho \vec{u} \cdot \vec{\nabla} \vec{u} = -\vec{\nabla} p + \vec{f}\rho g\)

Se il fluido è inviscido gli sforzi viscosi sono nulli (equazione di Eulero): \([1] = 0\)

\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{u} = \vec{\nabla} \cdot \vec{f} = 0\)

Ipotesi di flusso stazionario \(\left(\frac{\partial}{\partial t} = 0\right)\)

\(\vec{u} \cdot \vec{\nabla} \vec{u} = \frac{1}{2} \vec{\nabla} (\vec{u} \cdot \vec{u}) - \vec{u} \times \vec{\omega}\)

Identità differenziale (accelerazione di Lagrange)

\(\frac{1}{2} \vec{\nabla} (\vec{u} \cdot \vec{u}) + \frac{1}{p}\vec{\nabla} p - \vec{g} z = 0\)

Se irrotazionale \(\Rightarrow \vec{\omega} = 2(\vec{u} \cdot \vec{u} \cdot \vec{u}=0)\)

\(\vec{\nabla}\) (rot = 0)

\(\frac{1}{2} \vec{\nabla} (\vec{u} \cdot \vec{u}) + \frac{1}{p} \vec{\nabla} p + \vec{g} z = 0\)

\(\frac{\nabla}{n} \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{u}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz\right) = 0\)

Nel caso di flusso incomprimibile \(\Rightarrow \rho = cost\)

Triangolino di Bernoulli + costante

Se \(\vec{\omega} \neq 0\) tratto in integrale

\(\vec{\nabla} \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{u}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz\right) \cdot d\vec{s} = 0\)

Pr. flusso rotazionale

\(\begin{vmatrix}\int^L \frac{d}{ds} \left( \frac{\vec{u}^2}{2} + \frac{p}{\rho} + gz\right) = 0 \end{vmatrix}\)

In questo caso detto Bern. è valido lungo una linea di corrente

Riscrivo il teorema di Bernoulli.

\(\frac{\vec{u}^2}{2} + \frac{p}{\rho} + gz = cost\)

I tre addendi rappresentano una forma di en. mecc. per unità di massa

Se divido per \(g\, (\frac{1}{2} - \text{peso specifico})\)

Se moltiplico per \(\rho\)

{ St_| +^|u_| +^|u⁺ + v⁺u_| +^|u⁺ + v⁺u_| - E_| = 1 (^{32u+ + v+u_| +|u+ + v+u_|) v+u_| Re-1 (32u+ + v+u_| +_u0v*)}

{ St^|u^* +⁺ - E_| = 1 + (32u⁺ + v⁺u_| +^|u⁺ + v⁺u_|) Re^-1 + (32u⁺ + v⁺u_| +⁺u_|)(⁺ ( - ^{32u+ + v+u_*} (/Re⁺(⁺)))

Re:_* Forza di resistenza t: F_D: Forza inversa: m:

t_minuscolo: t

Re

^-Forza di resistenza: F_D: Cos_ndA_n T_nV_cuⁿ = (32u⁺ + v⁺u_* (dAⁿ))

Forza infinita

{ Re_* C_ndA_n UV_*U_cU_*: F_LCSA: Re = ^c

F_D + F_D^* = (32u⁺ + v⁺u_* (F_D+F_D^*)) - (^u)

2) UV

UV + ∂U²/∂x + ∂UV/∂y = - 1/ρ ∂p/∂x + μ/ρ (∂²U/∂x² + ∂²U/∂y²)

UV = US e divido tutto per U²

U L

U + U² + ∂U²/∂x + U∂U/∂y = P/(S) ∂p/∂y + 1/₩ (Re/U² ∂U/∂x² + ∂²/∂y²)

Re/U² ∂²/∂y = - 1

_{^{U = Vrθ (Parte piccola transCock)}}

Questo termine è il più grande di tutti.

Affinché la soluzione dell'equazione possa essere soddisfatta, la derivata della pressione lungo l'andamento deve essere circa nulla.

1. μ/ρ (∂U/∂x -∂/∂y) ∂u = 0

Equazioni di Prandti in forma dimensionale

μ/ρ ∂U/∂x + U∂U/∂y = 1 ρ ∂P/∂x

∂²/∂y² = 0

1² ∂/∂y = 0

Se i nuovi lungo l'andamento alla parete e il livello di pressione rimane costante fino alla fine dello strato limite (Constanti lungo s).

- La pressione appena fuori lo stato limite non è costante e posso applicare BGR.

Per legare la pressione nella velocità esterna

P₁ + U² coot = ∂p/∂x

Prenditi con il piano (Da cui Planitio)

Soluzione di Blasius

Equazione equivalente a quella di Prandti con ∂²V/∂x² ≠ 0 può essere risolta numericamente

1. p + 2 = e0

2. 1/2 p + 2 = 0

• 5/2 x² - 2/2 + 1/2σ

1. ^{62 + 52}
2. ^362σ
3. ¹³¹²⁸