Appunti Probabilità e statistica matematica

Funzione di ripartizione per variabili assolutamente continue

La funzione di ripartizione (CDF, cumulative distribution function) di una variabile aleatoria continua descrive la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore inferiore o uguale a un determinato valore. La funzione di ripartizione è una funzione continua e crescente che descrive la probabilità cumulativa di ottenere un valore o inferiore. In simboli, se F(x) è la funzione di ripartizione per una variabile aleatoria continua X, allora: 1. F(x) è continua e crescente per tutti i valori di x. (continua da destra) 2. F(x) va da 0 a 1. 3. F(-∞) = 0 e F(+∞) = 1. 4. La funzione di densità di probabilità f(x) è data dalla derivata della funzione di ripartizione F(x): f(x) = dF(x)/dx La funzione di ripartizione è utile perché fornisce un modo semplice per calcolare la probabilità che una variabile aleatoria continua assuma un valore.

inferiore o uguale a un determinato valore. Inoltre, la funzione di ripartizione può essere utilizzata per calcolare la probabilità che una variabile aleatoria continua assuma un valore in un intervallo specifico, come descritto sopra.

DALLE FUNZIONI DI RIPARTIZIONE ALLE DENSITÀ E VICEVERSA

La relazione tra la funzione di ripartizione (CDF, cumulative distribution function) e la funzione di densità di probabilità (PDF, probability density function) è una relazione fondamentale nella teoria delle probabilità.

Per una variabile aleatoria continua X, la funzione di ripartizione F(x) è data dalla integrale della funzione di densità di probabilità f(x) da -∞ a x:

F(x) = P(X ≤ x) = ∫_-∞^x f(t) dt

La funzione di densità di probabilità f(x) può essere ottenuta dalla derivata della funzione di ripartizione F(x):

f(x) = dF(x)/dx

Per una variabile aleatoria discreta X, la funzione di ripartizione

F(x) è data dalla somma delle probabilità massime p(x_i) per ogni valore x_i inferiore o uguale a x: F(x) = P(X ≤ x) = ∑_{x_i≤x} p(x_i) La probabilità massima p(x_i) può essere ottenuta dalla differenza tra la funzione di ripartizione F(x) in due valori consecutivi: p(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1}) In entrambi i casi, la funzione di ripartizione e la funzione di densità di probabilità sono complementari l'una all'altra e possono essere utilizzate per descrivere le proprietà di una variabile aleatoria. 5-VETTORI ALEATORI VETTORE ALEATORIO I vettori aleatori sono insiemi di variabili aleatorie che descrivono il comportamento di un sistema in modo congiunto. Un vettore aleatorio può essere composto da una o più variabili aleatorie e descrivere il comportamento di un sistema sotto più aspetti o in più dimensioni. Ad esempio, un vettore aleatorio può descrivere la posizione e la velocità di un sistema in un dato istante di tempo.

oggetto in movimento o la temperatura e l'umidità in una determinata area.

CLASSIFICAZIONE

• Un vettore aleatorio discreto è un insieme di variabili aleatorie discrete che descrivono il comportamento di un sistema in modo congiunto.
• Un vettore aleatorio assolutamente continuo è un insieme di variabili aleatorie assolutamente continue che descrivono il comportamento di un sistema in modo congiunto. (non sempre)

DISTRIBUZIONI CONGIUNTE E LE DISTRIBUZIONI MARGINALI

La distribuzione congiunta descrive la probabilità congiunta di due o più variabili aleatorie. La distribuzione marginale descrive la probabilità di una singola variabile aleatoria. In altre parole, la distribuzione marginale rappresenta l'effetto di una sola variabile sulla distribuzione complessiva.

VETTORI ALEATORI DISCRETI

Un vettore aleatorio discreto è un insieme di variabili aleatorie discrete che descrivono il comportamento di un sistema in modo congiunto.

Supponiamo

massa di probabilità congiunta pX(x1, x2, ..., xn)  proprietà della probabilità congiunta: pX(x1, x2, ..., xn) ≥ 0 e ∑ pX(x1, x2, ..., xn) = 1 La funzione di massa di probabilità congiunta pX(x1, x2, ..., xn) descrive la probabilità congiunta di ogni combinazione di valori x1, x2, ..., xn delle variabili aleatorie che compongono il vettore aleatorio X. In altre parole, pX(x1, x2, ..., xn) rappresenta la probabilità che X1 assuma il valore x1, X2 assuma il valore x2, ..., Xn assuma il valore xn. La funzione di probabilità congiunta deve soddisfare le proprietà della probabilità, ovvero deve essere positiva per ogni combinazione di valori x1, x2, ..., xn e la somma di tutte le probabilità congiunte deve essere uguale a 1. In questo modo, la funzione di probabilità congiunta descrive la distribuzione del vettore aleatorio discreto X e fornisce informazioni sul comportamento congiunto del sistema descritto.Cumulative Distribution Function) di un vettore aleatorio discreto descrive la probabilità che il vettore assuma un valore minore o uguale a un certo valore specifico.La CDF è definita come:F(x1, x2, ..., xn) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ..., Xn ≤ xn)dove X1, X2, ..., Xn sono le variabili aleatorie che compongono il vettore aleatorio X e x1, x2, ..., xn sono i valori possibili delle variabili.La CDF può essere calcolata sommando le PMF per tutti i valori minori o uguali a quelli specificati:F(x1, x2, ..., xn) = ∑_{x1' ≤ x1, x2' ≤ x2, ..., xn' ≤ xn} pX(x1', x2', ..., xn')La CDF ci fornisce informazioni sulla probabilità cumulativa di ottenere valori minori o uguali a un certo valore specifico per il vettore aleatorio discreto.Cumulative Distribution Function (CDF) di un vettore aleatorio discreto descrive la probabilità che il valore del vettore aleatorio sia minore o uguale a un determinato valore. La CDF è definita come: FX(x1, x2, ..., xn) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ..., Xn ≤ xn) dove X₁, X₂, ..., X_n sono le variabili aleatorie che compongono il vettore aleatorio X e x₁, x₂, ..., x_n sono i valori possibili delle variabili. DALLA FUNZIONE DI MASSA DI PROBABILITÀ CONGIUNTA ALLA FUNZIONE DI MASSA DI PROBABILITÀ MARGINALI DI UN VETTORE ALEATORIO DISCRETO Per calcolare la funzione di massa di probabilità marginale di un vettore aleatorio discreto a partire dalla funzione di massa di probabilità congiunta, basta sommare la funzione di massa di probabilità congiunta su tutti i valori possibili della variabile non considerata. Ad esempio, se X e Y sono due variabili aleatorie discrete con funzione di massa di probabilità congiunta P(X,Y), allora la funzione di massa

La probabilità marginale di X può essere calcolata come: P(X) = ∑ P(X,Y) per tutti i valori di Y

Analogamente, la funzione di massa di probabilità marginale di Y può essere calcolata come: P(Y) = ∑ P(X,Y) per tutti i valori di X

In questa formula, P(X = x, Y = y) rappresenta la funzione di massa di probabilità congiunta del vettore aleatorio discreto (X, Y), mentre P(X = x) e P(Y = y) rappresentano le distribuzioni marginali di X e Y rispettivamente. La somma viene effettuata su tutti i valori possibili di Y (o di X).

ESEMPIO:

Supponiamo di avere un vettore aleatorio discreto (X, Y) con la seguente distribuzione congiunta:

P(X = 1, Y = 2) = 0.2

P(X = 2, Y = 1) = 0.3

P(X = 2, Y = 2) = 0.1

P(X = 3, Y = 1) = 0.4

Per calcolare la distribuzione marginale di X, utilizziamo la formula:

P(X = 1) = ∑ P(X = 1, Y = y) = P(X = 1, Y = 2) = 0.2

P(X = 2) = ∑ P(X = 2, Y = y) = P(X = 2, Y = 1) + P(X = 2,Y = 2) = 0.3 + 0.1 = 0.4

P(X = 3) = ∑ P(X = 3, Y = y) =

P(X = 3, Y = 1) = 0.4

Ecco la distribuzione marginale di X:

P(X = 1) = 0.2

P(X = 2) = 0.4

P(X = 3) = 0.4

Per calcolare la distribuzione marginale di Y, utilizziamo la formula:

P(Y = 1) = ∑ P(X = x, Y = 1) = P(X = 2, Y = 1) + P(X = 3, Y = 1) = 0.3 + 0.4 = 0.7

P(Y = 2) = ∑ P(X = x, Y =2) = P(X = 1, Y = 2) + P(X = 2, Y = 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3

Ecco la distribuzione marginale di Y:

P(Y = 1) = 0.7

P(Y = 2) = 0.3

DALLA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE CONGIUNTA ALLA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE MARGINALI DI UN VETTORE ALEATORIO DISCRETO

La funzione di ripartizione marginale di una variabile X in un vettore aleatorio discreto (X,Y) può essere calcolata come:

F(X) = ∑ P(X≤x, Y) per tutti i valori x di X

E la funzione di ripartizione marginale di Y può essere calcolata come:

F(Y) = ∑ P(Y≤y, X) per tutti i valori y di Y

ESEMPIO:

Supponiamo di avere un vettore aleatorio discreto (X, Y) con la seguente funzione di ripartizione congiunta:

F(x, y) = 0, se x < 0 o y < 0

xy/4, se 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3

x < 1 e 0 ≤ y < 1

x, se 1 ≤ x < 2 e 0 ≤ y < 1

1, se x ≥ 2 o y ≥ 1

La funzione di ripartizione marginale di X può essere calcolata come:

F(x) = ∑ F(x, y) per tutti i valori y di Y

E la funzione di ripartizione marginale di Y può essere calcolata come:

G(y) = ∑ F(x, y) per tutti i valori x di X

La funzione di ripartizione marginale di X per x=0:

F(0) = F(0, 0) = 0

La funzione di ripartizione marginale di X per 0 < x < 1:

F(x) = F(x, 0) + F(x, 1) = x(0)/4 + x(1)/4 = x/4

La funzione di ripartizione marginale di X per 1 ≤ x < 2:

F(x) = F(x, 0) = x

La funzione di ripartizione marginale di X per x ≥ 2:

F(x) = F(x, 0) + F(x, 1) = 1

La funzione di ripartizione marginale di Y per y=0:

G(0) = F(0, 0) + F(1, 0) + F(2, 0) = 0 + 1/4 + 1 = 5/4

La funzione di ripartizione marginale di Y per 0 < y < 1:

G(y) = F(0, y) + F(1, y) + F(2, y) = y(0)/4 + y(1)/4 + 0 = y/4

La funzione di ripartizione marginale di Y per y ≥ 1:

G(y) = F(0, y) + F(1, y) + F(2, y)

y) = 0 + 0 + 1 = 1

VETTORI ALEATORI ASSOLUTAMENTE CONTINUI

Un vettore aleatorio assolutamente continuo è un insieme di variabili aleatorie assolutamente continue che descrivono il comportamento di un sistema in modo congiunto.

Supponiamo che X = (X1, X2, ..., Xn) sia un vettore aleatorio con n variabili aleatorie X1, X2, ..., Xn.

La funzione di densità di probabilità congiunta fX(x1, x2, ..., xn) descrive la probabilità congiunta di ogni combinazione di valori x1, x2, ..., xn delle variabili aleatorie che compongono il vettore aleatorio X:

fX(x1, x2, ..., xn) = P(X1 = x1, X2 = x2, ..., Xn = xn)

La funzione di ripartizione congiunta FX(x1, x2, ..., xn) è data dall'integrale della funzione di densità di probabilità congiunta fX(x1, x2, ..., xn) su tutti i valori di x1, x2, ..., xn che soddisfano x1 ≤ x, x2 ≤ x, ..., xn ≤ x:

FX(x1, x2, ..., xn) = P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ...,