Appunti prima parte di Sistemi e controlli

ARCHITETTURA DI UN SISTEMA DI MISURA

SCHEMA GENERALE DI UN ELABORATORE DI SEGNALI:

SEGNALE CONTINUO

B: SEGNALE NUMERICO

PARTE ANALOGICA (A)

Requisiti:

1. Non perturbare il fenomeno fisico osservato (trasduttori)
2. Buon rapporto segnale/rumore
3. Fedeltà nella riproduzione del segnale

Il segnale non viene distorto se la banda passante della parte analogica della catena di misura copre completamente l'estensione dello spettro del segnale.

Esempio: Il segnale movimento oculari ha banda passante di circa 200 Hz. Per evitare distorsioni la catena di misura dovrà avere componenti che "lascino passare" le frequenze fino a 200 Hz.

LA CONVERSIONE ANALOGICO-DIGITALE per macchina fotografica

CAMPIONAMENTO

Un segnale campionato a passo costante, TC, nel dominio del tempo continuo è descritto come il prodotto di y(t) per una serie di impulsi a passo TC.

Nel tempo discreto è descritto come serie di numeri yi = y(iTC).

ti ttovviamente la serie numerica e la serie di impulsi modulata hanno lo stesso iden co contenuto di• informazionequest’ul ma viene u lizzata per calcolare quale informazione è persa nel processo di• campionamento, se sia possibile interpolare i campioni per tornare alla y(t), con qualeapprossimazione e, in ne, quale sia il po di interpolazione o malequeste considerazioni richiedono di operare nel dominio delle frequenze e verranno riprese in• seguitoper ora osserviamo che occorrono almeno 2 campioni per ogni periodo considerando la massima• frequenza rappresentata

TEOREMA DI SHANNON O DEL CAMPIONAMENTO
Se un segnale s(t) con spe ro s(f) ha banda limitata di larghezza B (s(f)=0 per f>B), s(t) può esserecampionato, senza perdita di informazione e senza introdurre distorsioni, purché la frequenza dicampionamento sia fC ³ 2B.

Esempi di errori introdo da Fc troppo bassa

SCELTA DELLA FREQUENZA DI CAMPIONAMENTO
Teorema del Campionamento

1. (Fc>2fmax) - Risoluzione temporale (se si vogliono distinguere nel tempo eventi separati da un tempo t1, Fc>1/t1)
2. Algoritmi di elaborazione (ex. Derivata Numerica - "two points central difference", dove la derivata (Δy/Δx)k = (x(k + 1) - x(k - 1))/(2T). Questo algoritmo si comporta come un derivatore fino a una frequenza F=0.224 Fc; per frequenze più alte si comporta come un filtro passa-basso.)
3. QUANTIZZAZIONE

   La quantizzazione corrisponde alla discretizzazione in ampiezza. Il numero di livelli in cui è suddiviso l'intero range del convertitore viene definito risoluzione. L'ampiezza di un singolo livello è chiamata passo di quantizzazione. Più alta è la risoluzione, più piccolo è il minimo livello di tensione misurabile. La figura mostra una sinusoide campionata e quantizzata da un convertitore ideale a 3 bit.

4. TIPI DI...

QUANTIZZAZIONE: si scelgono in base alla convenzione, se non devo sforare

1. ARROTONDAMENTO
2. TRONCAMENTO (tu o livello inferiore)

Il passo di quantizzazione determina la precisione della conversione di un segnale da analogico a digitale (A/D).

Il passo dipende dal numero di bit (cifre binarie) con cui il convertitore quantizza il valore di un campione.

Esempio: con 8 bit si possono rappresentare 2^8=256 valori diversi. La precisione è: 1/256 = 0.4% dell'intero campo dei valori rappresentabili (di solito da -5V a +5V o da -10V a +10V).

SISTEMI LINEARI INVARIANTI

Nei sistemi lineari invarianti vale il principio della sovrapposizione delle cause e degli effetti.

Ovvero, se u1(t) e u2(t) sono ingressi del sistema che producono rispettivamente le uscite y1(t) e y2(t), allora dato l'ingresso u(t)=a.u1(t)+b.u2(t), esso produrrà un'uscita y(t)=a.y1(t)+b.y2(t).

Se in ingresso ad un SLI fornisco un impulso d(t) e ottengo un'uscita h(t), essa

prende il nome di risposta impulsiva del sistema. Ogni sistema lineare è caratterizzato dalla sua risposta impulsiva h(t). SISTEMI BIOLOGICI CONTROLLO 2020 Schema logico dell'azione di controllo: ti tt ti tt tt ti tti ti fi ff tti L'azione di controllo consiste nella capacità di verificare e di effettuare una correzione. Rappresentazione di un sistema, vari tipi di sistema: Rappresentazione di un sistema, nel dominio del tempo (t) o della frequenza (f), i sistemi possono essere: - Lineari: quando la funzione z è indipendente dall'ingresso x. Solo in caso di linearità: - Z(X, f) = Z(f) * Y(f) = Z(f) * X(f) - Z(f) è la funzione di trasferimento o risposta in frequenza. La corrispondente relazione ingresso-uscita nel dominio del tempo richiede una rappresentazione matematica più complicata (integrale di convoluzione), ma le proprietà del sistema si possono comunque descrivere con una funzione z(t) dipendente solo dal tempo.

Un sistema lineare vale il PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI: se x -> y allora kx -> ky (k=costante)

1 1 1 1

se x -> y e x -> y allora x + x -> y +y

1 1 2 2 1 2 1 2

se x -> y e x -> y allora kx + kx -> k y +k y

21 1 2 2 1 2 1 1 2

Sta co: l’uscita in un certo istante dipende solo dall’ingresso allo stesso istante FOTO TELEFONO.

• x(x, t) = z(x)

Ciò equivale a dire che z non è funzione del tempo: e se il sisteama è ANCHE

z(x) = k = costante

LINEARE: . si dimostra che, in questo caso, si ha anche:

( ) )

Z X, f = Z(X = k = cost .

la rela zione ingresso −uscita di un sistema sta co e lineare è rappresentata dal solo valore

della costante k, che viene de a GUADAGNO STATICO, o semplicemente guadagno, si ha:

y = kx Y = kX

Dinamico: l’uscita all’istante t dipende dalla storia degli ingressi, quindi anche dagli ingressi degli

• istan preceden a t.

ff ti tt ti fi ti ti tt ti ti tt

IDENTIFICAZIONE SISTEMI

LINEARI: trovare la funzione Z(f) che lega y(f) a x(f)---ovvero trovare la funzione di trasferimento z(f)->risposta in frequenza del sistema che avrà una sua corrispondente z(t) che descrive il comportamento nel tempo (risposta al gradino)

RISPOSTA AL GRADINO: DOMINIO DEL TEMPO

L'ingresso "a gradino" è rappresentato in figura e corrisponde a una variazione istantanea dell'ingresso da un valore iniziale, che per comodità possiamo assumere uguale a zero, a un valore finale (X≠0), che da quel momento viene mantenuto costante.

Per comodità, si assume come t=0 l'istante in cui si verifica tale variazione.

A seconda del tipo di sistema possiamo avere diverse uscite:

Sistema statico—uscita=gradino di ampiezza Y=kX

Sistema dinamico—uscita di 2° ordine:

1. Passa-basso: nell'uscita si nota un TRANSITORIO che conduce a un valore costante, diverso da 0, che viene mantenuto nel tempo per tutta la durata del gradino.
2. Passa-banda: dopo

Un transitorio più o meno lungo con o senza oscillazioni l'uscita torna a zero, in questo caso si può dire che il valore di regime è uguale a zero. (Graficamente è una sorta di gobba) Vari parametri possono essere usati per descrivere il comportamento del sistema nella risposta al gradino:

• Guadagno statico (G): è il rapporto tra il valore dell'uscita a regime (Y) e l'ampiezza del gradino d'ingresso (X); per un sistema passa-basso, G coincide con il guadagno in banda Z; per un sistema passa-banda G=0 in quanto l'uscita a regime è nulla.
• Tempo di salita, tempo di ritardo, tempo di assestamento e tempo di risposta: nei sistemi passa-basso misurano la durata del transitorio.
• Se la risposta al gradino presenta delle oscillazioni, si considerano anche:
• Frequenza propria e pulsazione caratteristica: misurano la frequenza delle oscillazioni.
• Fattore di smorzamento: misura la rapidità con cui le oscillazioni si attenuano.

oscillazioni si smorzano.
RISPOSTA IN FREQUENZA:
Applicando ad un sistema LINEARE un ingresso sinusoidale:
x(t) = X sen(2πFt)
si ottiene un'uscita sinusoidale:
y(t) = Y sen(2πFt+α)
con la stessa frequenza F della sinusoide d'ingresso ma sfasata (di un angolo α) rispetto a questa e con ampiezza (Y) diversa.
Lezione 7.12.2021
La risposta sinusoidale a una data frequenza F consente di calcolare il guadagno del sistema a quella frequenza: guadagno(F) = Y/X e il corrispondente sfasamento φ(F). Ripetendo le misure della risposta sinusoidale a varie frequenze opportunamente scelte si possono costruire sperimentalmente ("per punti") i diagrammi del guadagno e dello sfasamento in funzione della frequenza.
Questi diagrammi definiscono la cosiddetta risposta in frequenza del sistema considerato. Nota: la risposta in frequenza è possibile calcolare la risposta a qualsiasi funzione d'ingresso, grazie ai teoremi di Fourier, che consentono di scomporre qualunque funzione periodica in una serie di sinusoidi di diverse frequenze.il guadagno diminuisce gradualmente nella banda di transizione. funzione in somma di componen sinusoidali di opportuna frequenza, ampiezza e fase.

Equalizzatore = blocche o che rappresenta un sistema in cui il guadagno nelle frequenze è modi cabile

BANDA PASSANTE: insieme di frequenze in cui il guadagno di frequenze è elevato (PARTE PARALLELA ALL'ASSE X)

BANDA DI TRANSIZIONE: dove scende

BANDA ARRESTATA: guadagno basso (PARTE CHE TENDE A 0)

tt tti ti ti fi tt tt tt ti ti ti tt fi

GRAFICO 1: Banda passante per G=1 l'insieme delle frequenze per cui il guadagno del sistema è elevato

GRAFICO 2: Nel sistema passa-basso le basse frequenze vengono trasmesse le alte vengono alterate

L'andamento del modulo (guadagno) di Z(f) nella maggior parte dei sistemi naturali si può ricondurre a uno dei due schemi della figura della pagina seguente. In entrambi si nota una banda di frequenze in cui il guadagno è elevato (banda passante) e una in cui lo si può considerare nullo (banda arrestata). Tra banda passante e arrestata, il guadagno diminuisce gradualmente nella banda di transizione.

Si può considerare anche una banda di transizione, più o meno estesa, in cui il guadagno passa gradualmente dal valore in banda a zero. Le frequenze che delimitano la banda passante (f0, f1 e f2, nella figura) sono dette frequenze di taglio.

TEMPO FREQUENZA

Abbiamo il nostro gradino. Se abbiamo tale risposta, abbiamo tale.

In un sistema passa-basso abbiamo una grafico del guadagno.

Passa-banda: 2 frequenze di taglio, una alta e una bassa, e una risposta nel tempo che sale e poi scende (f1 e f2). La risposta transitoria iniziale dipende da f2. La risposta transitoria finale dipende dalla f1.

CONNESSIONE DI DUE O PIÙ SISTEMI- SCHEMI FONDAMENTALI