Appunti Controlli Automatici Parte I, prof. Giarrè

CONTROLLI AUTOMATICI

Un controllo in catena aperta (open-loop) funziona senza feedback o retroazione:

_{C P}

(cartello - impianto)

Faccio la misura una volta sola e controllo ciò che riceve nel mio sistema.

Un controllo in catena chiusa (closed-loop) funziona tramite la misura che permette di fare aggiornamenti in sequenza.

Un sistema di controllo comprende un sistema di controllo, un sensore, un'unità di controllo e un attuatore.

_{di controllo}

INGRESSI _SISTEMA USCITE

_{di disturbo}

Un segnale è una funzione v(t) che viene detta a tempo continuo se t ϵ ℝ (sist. segnali analogico) o a tempo discreto se t ϵ ℤ (sist. segnali digitale).

17/9/18

19/9/18

Per noi un modello è una serie di vincoli che devono

essere rispettati delle variabili di stato interno.

Nel nostro caso i modelli sono di tipo matematico e

vengono gestiti da un sistema di equazioni differenziali.

_{leggi di Ohm}

V(t) = R I(t)

_{quanto costante}

I leggi di Ohm

e sono memorie.

K esterna e le rette che vogliamo rappresentare , mentre un

modello è qualcosa che mi esprime più o meno bene

ciò di cui abbiamo a valutare. Più voglio essere preciso e

più il modello diventa complesso.

L'obbietto base di un sistema di controllo è ordinare

il segnale modello l'equilibrio di solo scquarcio.

Costruzione dei segnali sono Robustezza e stabilità.

I sistemi possono essere stotica o dinamica; i primi

sono governati da leggi algebraiche e sono quei sistemi

più di memoria; i secondi invece da equazioni

differenziali (sintomi con memoria). In quest'ultimo caso

l'uscita del sistema non dipende solo dell'input da

sto considerando in questo

momento ma anche da

quelli passati. Si

intuidano come dovre le

variabili di stato che

disegnano dunque le

situazione intime, necessario

e determinano l'uscita.

Questa variabili ricadono

dell'intorno di un modello

che rappresenta appunto

le situazione intime.

Ci sono per altro

modelli che dipendono

Equazioni di stato

_{derivatanello statoall'istante t}

dx(t)

dt = f(x(t), u(t), t)

_{vettore di}

_stato

(

dx₁(t)

dt

dx_i(t)

dt

) = (

f₂(x(t), u(t), t)

.

.

.

f_n(x(t), u(t), t)

)

y(t) = g (x(t), u(t), t)

_{vettore di uscita}

Adesso vogliamo vedere se dato un sistema non lineare possiamo linearmente approssimare f e g - utilizzo lo sviluppo in serie di Taylor.

Supponiamo di avere dei punti di equilibrio (soluzione minima) del sistema e di dare una perturbazione al vettore stato se Sx(t) rispetto della condizione iniziale. Andremo poi a creare il modello lineare nelle variabili muove Sx e Su intese come differenze tra le variabili di stato e i loro valori nominali:

x(t) = x₀(0) + Sx(0) e u(t) = u₀(t) + Su(t)

lo sviluppo in serie di Taylor trunco al primo ordine e quindi questo è un'approssimazione. Costruisco e linearizzo di f e di g rispetto a x e a u.

Esempio

{ẋ₁(t) = x₁(t)x₂(t) + x₁(t) + u(t) = f₁(x,u)

{ẋ₂(t) = x₂(t) = f₂(x,u)

y = x₁²(t) = g(x,u)

Punto di equilibrio

tu = u₀ = 0 x = x̅ corrispondente e u₀ = ū

0 = f(x̅, ū)

• 0 = x̅₁x̅₂ + x̅₁
• 0 = x̅₂

x̅ = x_o = ⁽⁰⁾/₍₀₎

ū = 0

∂f

∂x = ∂ = ^{(x₂ + 1 x₁)}/_{(0 1)} ū=0 = x̅=[0] → A_L = ^{(1 0)}/_{(0 1)}

∂f

• ∂u = ⁽¹⁾/₍₀₎ → B_L = [1]/[0] ∂g → ∂x = (2x₁ 0) → C_L = [0]/[0]

Modelli di sistemi elettromeccanici

Il sistema va semplicizzato in tanti sotto-sistemi, andando ad ordinare i vari blocchi.

Nell'esempio del motore elettrico in corrente continua ci si divide ciò che è l'impulso e ciò che è l'asseto. Gli impulsi sono v(t) e u, pure il rispettivo tesser ctx.

L'asseto è la wm(t). Le variabili di stato è la corrente del punto di vista elettrico e la velocità angolari del punto di vista meccanico.

x = ^[i]_xa

u = ^[v]_G

y_d = wx₂

x₁̇ = - ^R/_L x₁ - ^K/_L x₂ + ¹/_L u₁

x₂̇ = ^K/_J x₁ - ¹/_J x₂ - ^b/_J x₂

y = x₂

A = ^{[-R/L -K]}/_{[K/J -b/J]}

B = ^{[1/L 0]}/_{[0 -1/J]}

C = [0 1]

D = [0 0]

Esempio

1. x₁̇(t) = α x₁(t) + 2 x₃(t)
2. x₂̇(t) = x₁(t) - x₂(t) + x₃(t) + 2 u(t)
3. x₃̇(t) = - x₁(t)

y(t) = x₂(t)

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

Un modello matematico di un sistema dinamico lineare e stazionario può essere espresso mediante una eq. diff.

\( a_i \frac{d^iy(t)}{dt^i} = \sum_{j=0}^{n} b_j \frac{d^j x(t)}{dt^j} \)

Dato un segnale \(x(t)\), la trasformata di Laplace per un generico derivato i-esimo è dato da:

\( L\left[ \frac{d^if(t)}{dt^i} \right] = s^i F(s) -\sum_{j=0}^{i-1} s^j \left[ \frac{d^{i-j-1} f(t)}{dt^{i-j-1}} \right]_{t=0} \)

Dopo alcuni passaggi (vedi slide) si vede che la trasformata Y(s) = Y₀(s) + Y_i(s)= trasf. dell'equazione "libera" + "forzata".

Supponendo Y₀(s)=0 quindi si può definire la funzione di trasferimento G(s)= \(\frac{Y_i}{X}\) = \(\frac{\sum_{j=0}^{m} b_j s^j}{\sum_{j=0}^{n} a_i s^i}\) come la funzione che legge ingresso e uscita nel dominio della frequenza.

27/9/18

Esercizio

X₁(t) = 2 (1+t²) e^st

X₂(t) = 4 + 3e^-3t sin 7t

L \(\left[2(1+t^2)e^{st}\right] = 2 L\left[(1+t^2)e^{st}\right] = 2 L\left[e^{st} + t^2e^{st}\right] = \frac{2}{s-5} + \frac{4}{(s-5)^3}\)

X₂(s) = \(\frac{4}{s} + \frac{3-7}{s^2 + (s+3)^2}\)

Esercizio

\(\ddot{y}(t) + 4\dot{y}(t) + 3\dot{y}(t) + y = 3\ddot{u} + 5\dot{u} + 2u\)

s³Y(s) + 4s²Y(s) + 3sY(s) + Y(s) = 3s³U(s) + 5sU(s) + 2U(s)

(s³ + 4s² + 3s + 1)Y(s) = (3s² + 5s + 2)U(s)

G(s) = \(\frac{Y}{U}\) = \(\frac{b}{a}\) → il grado del N è minore di quello del den, quindi la G(s)

Esempio

Y(s) = ^{5s + 3}/_{(s+1)(s+2)(s+3)}

• k₁ = ^{5s + 3}/_{(s+1)(s+2)(s+3)}|_s=-1 = ^{5s + 3}/_{(s + 2)(s+3) s=-1} = ^-2/₂ = -1
• in maniera analoga k₂ e k₃
• k₂ = 7; k₃ = -6;

y(t) = -e^-t + 7 e^-2t - 6 e^-3t

Essendo i poli tutti negativi, dobbiamo aspettare che la risposta vada a zero per t → ∞!

Cosa succede se i poli sono coppie di complessi coniugati?

e^jω₁t + e^-jω₁t/2 = cos ω₁t

p₂ = b₂ + jω₁ e p₂ = p_2̅ = b₂ - jω₁

k₁ = u₂ + jv₂ = Me^jϕ k₂ = k_2̅ = u₂ - jv₂ = Me^-jϕ

Y_i(s) = ^Mejϕ/_{s - (b2 + jω1)} + ^Me-jϕ/_{s - (b2 - jω1)}

ℒ^-1[Y_i(s)] = 2Me^b₂t cos (ω₁t + ϕ) dove:

• M = √(u₂² + v₂²) e ϕ = arctg (u₁ + jv₂)

Vediamo che le risposte sono sempre sinusoidali, la cui frequenza dipende della parte immaginaria dei miei poli, l’ampiezza della costante k e contenuto delle funzioni esponenziali dei disponibili e una volte della parte reale dei poli.

L’andamento della risposta comunque è influenzato principalmente da che b₁ = costante, crescente o decrescente.