Appunti Scienza delle costruzioni

LINEA ELASTICA ESTENSIONALE

_{L₀ d₂}

Allungando la trave la sezione trasversale si deforma e viceversa.

ΔL = L - L₀

Sempre positivo (ESTENSIONE)

Def estensionale

def assemble associate agli sforzi normali

Mod. Ric. le trave per effetto di carichi estensionali

Deformazione quanto spostamento per unità di lunghezza

P = tgγ - kΔε

PA

P = K Δ_LA L₀

locale

ΔL = L - L₀ = dw/dz = ε

ε = dw/dz

coeff. di dilatazione lineale

indice dell’estensione della trave

ε = w'

Equazione differenziale di 1^o ordine

Eq. di congruenza locale

N = Aε

_{w(a) = w(w) + wP(z)}

Equazione costitutiva globale

K˱E

modulo di Young

N = AEε

Assegnato un campo esterno

dN/dz = -p, EQ. INDEFINITA DI EQUILIBRIO

w'' = ε, EQ. DIFF. DI I ORDINE

N = AEε, EQ. COSTITUTIVA LOCALE

Tutto in funzione di z spostamento che sarà variabile

• dN/dz = -p
• w'' = ε
• N = AEε

Eq. della LINEA ELASTICA ESTENSIONALE

Nota: se EA cost.

Caso di TRASFERIM. TERMICO

coefficienti di ΔL/Δt

Δε = α(Δt)

locale - ε = α(Δt)

Eq. sostitutive linea termoelastica estensionale

N = AE(ε - αΔt)

N = AE(ω' - Δt)

Principio sovrapposizione effetti

Eq. LINEA ELASTICA TERMOELASTICA ESTENSIONALE

Come ricaviamo EQ. DI CONGRUENZA?

Lo spostamento verticale dovuto alla flessure chiariera a secondo del punto sull'asse (z) Formula generale: K = ^P''(x)/_{{1+[P'(x)]²}^3/2}

K = V_H/_{1+ (VH) ²} ≅ V_H = ≅ puòdospotare infinitesimi => K = -V''_H EQ. DI CONGRUENZA

Eq indefinita di equilibrio M' = q - T T= GJx V^III_H + C

Eq congruenza K = - V''_H

Eq costitutive M = EJxK M = EJx (-V''_H)

[EJx(V''_H)]'' = -ρ + C

DFF. DI II ORDINE EQL. LINEA ELASTICA FLESSIONALE

V^III_H = condizioni di taglio sulle sez traverse

N.B.: se Jx = cost C' = 0

EJx V^IV_H = q

V^II_H = condizione M = 0 M = ES x V^II_H -V^II_H = K

V'_H = Rotazione relativo rispetto asse longitudinale γ' = -V'_H

V^IV_H = ^-q/_EJx

EQ LINEA EL. FLESSIONALE

Travi snelle: ^J/_AL² ≪ 1 Parametro trascurabile

Travi bozze: ^J/_AL² ≫ 1 Parametro non trascurabile

V_T (C) / V_H Se molto piccolo lo spostamento presente è più

• grande delle flessioni
• Se molto grande viceversa

V_T per le travi bozze non è trascurabile.

Le def a scorrimento verranno utilizzate nel principio dei

lavori virtuali

MOMENTI (DI II ORDINE) DI INERZIA

axii di inerzia riap. all'axia x

• Jx = ∫∫y_G² dA > 0
• Jy = ∫∫x_G² dA > 0
• Jxy = ∫∫ x_Gy_G dA = 0 nullo se ex ey sono ass. di simmetria
• Jo = ∫∫ (x² + y²) dA = ∫∫ r² dA = Jx + Jy nuovo pesa di inerzia

Somma dei momenti d'inerzia Jo = Jx + Jy

Descrivono come le componenti di un oggetto sono distribuire attorno al suo asse di resione

e_x = √(Jx/A) = ? [L]

e_y = √(Jy/A) = ? [L]

Jx = ∫∫ y_G²dA = ∫_a^b 1/3 a b³

Jy = ∫∫ x_G²dA = ∫₀^a x_G² dx ∫₀² b dy = 1/3 a³ b

Jxy = ∫∫ x_Gy_G dA = ∫₀^a x dx ∫₀² y dy = 1/4 a² b²

Jo = ∫∫ r² dA

Jo = Jx + Jy = 1/3 a b (a² + b²)

e_x = √[(1/3 a b x²] = 1/3 b² = b√3/3

e_y = a² (3/3)

Qualunque sia il sistema di riferimento nelle sezioni la posizione del baricentro non cambia

RAGGI GIRATORI D’INERZIA

TEOREMA DI HUYGENS

Traslazione rispetto a rette di resio impropria

I_x = Jxo + A y_G² momento di trasrodo

I_y = Jyo + A x²_G momento di trasrodo

Ixy = Jxyo + A y_G x_G

Io = Ibo + J + A (x_G² + y²_G)

fissa i mom. di inerzia e i raggi gir. di inerzia

in un stelema di riferimento traslato

Il teorema vale solo e solo se xo e xg sono l. e nel baricentro

Momento centri-Fogo non vena se ci si sposta il detete

e²_x = e²_xG + y²_G

e²_y = e²_yG + x²_G

Fre le rette di un Fesio inappropri: l'asse baricen trico caratterizzato de avere il momento d'inerzia minimo como reegio di inerzia: (minimo)

Relazione di congugio

Se 2 rette βγ e αβ coniugate

Dato il sistema aπa' con a π b coniugate e απ a rispetto a Σ

Dato il sistema principale dx dx coniugati, Σ

Condizione di congugio

EQ. DIAMETERI CONIUGATI

EQ. RELAZ. CONIUGIO rispetto a ξ ξ=M

NB se a e b ortogonali

Polarità

Relaz. antipolare

Condizione di antipolarità

Punto di Inertia

NeLL’AnTIPOLARITà

Nel sistema di masse aree si può polarità, per di dire che X (centro relativo) se' si dice che η

Pothèse

Analisi dei Tensori

Teorema della divergenza

∀ _U ∈ C¹ regolare (campo differenziabile ed integrabile)

1. ∬ _∂Ω ^u · n dA = ∭ _Ω div ^u dv
2. ∬ _∂Ω B n dA = ∭ _Ω B dv

[div A_x + div A_y + div A_z]

B ∈ Lin

A ∈ Sym

2. div(^{A ⨂ u}) _} div A · u + ▽^u · A

La divergenza di un vettore lo prende del II ordine e lo porta del primo.

Un gradiente è l'operatore differenziale di un tensore, lo porta del primo del secondo ordine.

3. ^Υ¹_u = ^υ₀ + ω^Λ(x - ₀)
4. υ_r = υ₀ + W(x - ₀)

⇒ Tensore antisimmetrico con assi

Sono gli antisimmetrici che ci raccontano gli atti di moto rigidi

▽^uᶦ = lim ^{υ_r - υ_₀}/_{x → ₀} = W ∈ Sku

Poiché υ_r - υ_₀ = W(x - ₀)

Teorema di Piola

Introduzione

u' = v₀ + ω ∧ x (x = 0) spostare vettorialeu' = u₀ + W ∧ x (x = 0) scalare∇₀u' = W , W ∈ skwWω = 0

Definizione

P(Ø, u') = ∫∫∫ (b - u') dV + ∫∫ (tₙ' ∧ u') dA P ⊆ BPotenza spesa su una generica parte dØ di B del sistema diforze S¹=(b, s, tₙ) in seguito a uno spostamento rigido infinitesimou'. In realtà non è una potenza ma un lavoro. L=F. spost. dovele forze di volume e superficie generano uno spostamentorigido infinitesimo u'

Teorema

P(Ø)⟨u'⟩=0 ∀Ø ⊆ B Se e solo se B è in equilibrio

Valgono gli assiomi di Eulero:r(Ø) = 0 ∀Ø ⊆ Bm(Ø) = 0

Dimostrazione 1

Voglio dimostrare che:tₙ⁻(x) = - tₙ⁺(x)Immagino un piano che divide il corpo in 2A e la superficie che divide B₊ e B⁻, ∂B⁺, ∂B⁻ =Applico il I Ax di Eulero a B⁻r(B⁻) = ∫∫∫ (b - s) + ∫∫ tₙ⁻ (x) = 0 ∀ₙ̂Analogamente a B⁺r(B⁺)+∫∫∫ b + ∫∫ tₙ⁺ (x) = 0