Appunti per esame orale di Algebra lineare e geometria

Somma tra Matrici

Proprietà

• Commutativa A+B=B+A
• Associativa (A+B)+C = A+(B+C)
• Elemento Neutro della somma: matrice nulla
• Elemento Opposto: A + (A) = elemento neutro somma

Esempio:

Prodotto per Scalare

Proprietà

• Associativa (λμ)A = λ(μA)
• Distributiva (λ+μ)A = λA + μA
• Elemento Neutro 1A = A

Esempio:

Trasposta di una Matrice

La trasposizione di una matrice è...

Scambiare le righe con le colonne della matrice

Esempio:

Osservazione

Matrici Particolari

• Matrice Quadrata: Matrice in cui...
• Esclusione dei coefficienti...
• Matrice Simmetrica: Matrice...
• Matrice Antisimmetrica:...

1. Matrici triangolare superiore. Tipologia di matrice in cui tutti gli elementi posti al di sotto della diagonale sono nulli.

2. Matrici triangolare inferiore. Tipologia di matrice in cui tutti gli elementi posti al di sopra della diagonale sono nulli.

Prodotto righe per colonne tra matrici.

Il prodotto righe per colonne è un metodo per calcolare il prodotto tra due matrici, il cui risultato è ancora una matrice che avrà il numero di righe uguale alla prima matrice e il numero di colonne uguale alla seconda matrice. Questo tipo di prodotto avviene moltiplicando una colonna per tutte le righe della seconda matrice e iterando il processo per le restanti colonne della prima matrice.

Nel caso di un scalare, il prodotto tra una matrice per un numero reale è una matrice colonna moltiplicato solo un numero reale.

Proprietà

• _mA_m⋅p = C_m⋅n B_n⋅p

  Associativa (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C)

• _{m⋅n n&p}

^{p2m⋅2=n⋅21}

Esempio

Distributiva (A+ B) C = AC+BC

Elemento neutro 0 (A⋉)= (0) = O

A·(A·B) = A·(A·B)

Matrici identità

La matrice identità è una tipologia in cui tutti i coefficienti, fatta eccezione di quelli posti sulla diagonale, sono nulli.

Mentre gli elementi sulla diagonale sono tutti uguali a 1x1.

La matrice identità è rappresentata anche l'elemento neutro del produzione tra matrici, infatti, A I = A / I A = A dove I_n rappresenta la matrice identità

Esempio

[ 1 0 0 ] [ 1 5 6 ]

... dei due scambi. Ogni volta che avrà un determinato elemento della matrice si ottengono sulla matrice quadrata le righe stesse in un modo nel triangolare.

Problema delle equazioni sulle colonne della matrice: possono farlo in modo prossimo e inverso!

Quindi sapremo le matrici che sono zero. Mescoli ad esempio altre colonne in r_{ij} c.d. cod. opposite. Opp pure l'elemento esiste e la colonna è formata situazioni accadrà il comportamento della matrice quadrato: colonna in esempio che colonnare alcune v (n+1) ottenute u v w z (i,j) possono risultare.

Determinante di una matrice composta con somma di righe o colonne.

Matrici con una sola colonna restano con il determinante uguale a zero. Permutazione con la somma di righe due righe o colonne della matrice quadrata.

Matrici aggiunta

Sia A ∈ M (mxnR) . Si chiama matrice aggiunta n. righe e si denota con A^1 la matrice di ordine (n-1)x(m) che si ottiene eliminando la colonna i-esima e la colonna j-esima di che contengono α_i.

Esempio

A = ^{(2 3)}_{(1 4)}

A^1₂₂^{(1 4)}_{(2 4)} Questo si matrice aggiunta di a₁₃. Otteniamo se chiama la riga ? a₁₁ ... a_1n colonna n.

Formula generica per il calcolo del determinante:

Dalla definizione di matrice aggiunta rimuova una riga e per il calcolo del determinante: matrice quadrata.

Sia A = M(nxmR) Allora si definisce il det(A) come:

det(A) = a₁₂...- a₁₁ a₁₂ ... ^(k-1) a_k a_k+1 +(+/-1)^m det(A_ij) + a_ij

oppure:

n Σk=1 (-1)^(k+1) a_ik det A_ki

Dove r Σ n = 3-1 in A₁₃ si ottiene aggiunto di a₂₃

Completamento algebrico Una matrice quadrata

Per complemento algebrico di un elemento si di una matrice quadrata:

Si utilizza il determinante della matrice aggiunta ottenuto quello.

Eliminazione della riga e della colonna aggiunge accomodate in cui si righe calcolare il complemento algebrico. Il valore del determinante va indicato aggiunto (+/-1)^i+j che sarà quel... parte tra k+m part rimette sarà dispari se è la somma tra righe a dispari.

(-1)^(i+1)+(i+j) det(A_ij)

Teorema di Rouché-Capelli

Sia un sistema lineare e siano A, A|b e matrice incompleta

B completa AB. Esso associare il sistema B ha soluzione

se e solo se rk(A) = rk(A|b). In questo caso le soluzioni

dipendono da n - k(A) parametri dove m = numero di

colonna A quindi anche il numero di incognite del sistema

* in particolare ∃! b ∃

⟺ ⊙ ∃(b, rk(A))

Dimostrazione

[k_1

]

le soluzioni di A_k esistono, soluzione

del sistema devono soddisfare le equazioni.

Colonna delle

incognite [ ]

_⇔ ^{k_2 k_m b_m} ]*

a_11 a_12 ... a_1m = b_1

a_21 a_22 .. .. a_2m = b_2

...

a_m1 a_m2 … a_m m = b_m

{ ⟺ k_1 a_a1 + k_2 x_1 ... x_m b_1

Scrittura del sistema lineare è come prodotto tra matrici

→ la colonna b è una combinazione lineare delle colonne di A

Dalle proprietà del rango:

rk(A|b) = rk(A) = (

)

(k_1 a_1) + (k_2 a_2) + ... + (k_m a_m)

Scrittura compatta di *

a b c

Dal comparto in cui l'assumiamo una colonna linearmente dipendente:

Da altre colonne uno altre di A della matrice possano sostituirlo

la colonna(k_1 a_1 + k_2 a_2 + ... k_m a_m) alla colonna b in modo da ottenere

una colonna nulla e rendere la matrice completa del tipo (A|b)

e concludere che il rk(A|b) = rk(a) per cui il

soluzioni.

SISTEMI A SCALINI E METODO DI INVERSIONE S. GAUSS

COME PER LE MATRICI È POSSIBILE APPLICARE ATTUARE OPERAZIONI ELEMENTARI ANCHE SULLE RIGHE DI UN SISTEMA LINEARE QUESTO PERCHÈ AD OGNI SISTEMA LINEARE PUÒ ESSERE ASSOCIATA UNA MATRICE COMPLETA L'IDEA È INCOMINCIARE E DI POSSEDERE LO SCALARE DEL SISTEMA DETERMINATO DAL VALORE DEL RANGO DELLA MATRICE ASSOCIATA POSSIAMO ATTUARE LE MODIFICHE OPERAZIONI SULLE RIGHE PROPRIO PERCHÈ QUESTO OTTENIBILI CON ADDIZIONE NON INFLUISCA IL VALORE DEL RANGO DI CONSEGUENZA DELLE

- SOLUZIONI

- SISTEMI A SCALINI

- DURANTE LA RIDUZIONE DELLE EQUAZIONI DI UN SISTEMA LINEARE NELLA FORMA LA SCALETTA POSSONO SEMPLIFICATO MOLTO LA COMPLESSITÀ DELLE EQUAZIONI E RENDELLE CLASSI CANDIDATE

- RIDUZIONE ALL’IDENTITÀ UN ALTERNANZA ALLA RIDUZIONE A SCRIVERE È QUELLA DI NON FERMARSI ALLA RIDUZIONE A SCALINI MA CONTINUARE NO A DIFFERENZE NEL CASO DELLA MATRICE ASSOCIATA AL SISTEMA. LA MATRICE IDENTITÀ IN TROPPO STILE AVER SOLUZIONE. PIÙ PRONTE SENZA DOVER RICORRERE AL CALCOLO DELLE EQUAZIONI DEL SISTEMA

SPAZI VETTORIALI

UNO SPAZIO VETTORIALE REALE È UN INSIEME V SU CU SONO DEFINITE DUE OPERAZIONI - SOMMA (+): V V -> V - PRODOTTO PER SCALARE (⋅): ℝ V -> V NELLO SPAZIO VETTORIALE AVENDO COME OGGETTI VETTORI, QUALI SONO ESPRIMIBILI FORMA MATRICIALI SODDISFA TUTTE LE OPERAZIONI VALIDA NELL'OPERAZIONI TRA MATRICI.

^{ALL'INTERNO DI UNO SPAZIO VETTORIALE:}

_{(K)=ℝ → R} UNO SPAZIO VETTORIALE

L'INSIEME DELLE

COEFFICIENTI REALI COSTITUISCE UNO SPAZIO VETTORIALE

{nI: a1X1² + a2X2² + ... + a_mX_n² ... cK_m²}

I RISULTATI DEI POLINOMI DI ORDINE N'RAPPRESENTA UNO SPAZIO VETTORIALE QUESTI INFATTI PERCHÈ SOMMANDO DUE POLINOMI OTTENUTO ANCORA UN POLINOMIO E LO STESSO ACCADE SE MOLTIPLICANDO UN POLINOMIO PER UN REALE LO STESSO DISCORSO VALE ANCHE PER LE MATRICI