Appunti per esame Geometria e Algebra lineare

Rette e Piani

Equazione Parametrica Retta

Fissato un sistema di riferimento e un vettore direttore

• x = αt
• y = βt
• z = δt

Quindi:

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt
• z = z₀ + ct

Se mi vengono dati 2 punti A e B

• A =
• B =

Per trovare Eq Cartesiana

1. Isolo il parametro t
2. Uso la sostituzione, eliminando t

Piani

Span di due vettori (giacitura)

Considero 2 vettori

se c'è e quindi non passa per l'origine

Forma parametrica

In forma cartesiana: con se passa per l'origine

considerando la normale al piano

e fissando un punto da cui passa il piano

Π: α(x-x₀) + β(y-y₀) + δ(z-z₀) = 0

Vettori Applicati

V in R²

P(2,2)

V(x,y)

|V| = Norma/Modulo (lunghezza) = √x² + y²

|| Norma

√x₁ + x₂ + ... + x_n

Somma Vettori

V + W = (x₁ + y₁, x₂ + y₂)

V + W = (x₁ + x₂, y₂ + y₂)

Angolo tra 2 Vettori

cos α = V . W

||V|| ||W||

x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

√x₁² + x₂² + x₃²

Verificare che dei vettori sono linearmente indipendenti

In R²

per mostrare che v₃ ∉ Span(v₁, v₂)

αv₁ + βv₂ + γv₃ = 0

In sintesi, αv₁ + ... + αv_k = 0, se tutti gli α sono 0 allora sono linearmente indipendenti

Matrici

A = K righe e n colonne

• A_ij = valore/entrata specifica

Esempio di matrice

1. [2 0 1]
2. [3 2 3]
3. [0 0 0]
4. [5 4 1]
5. [0 0 0]

A = A¹ A² A³ ⟶ A =

• [2 4 5 10]
• eccetera A matrice 5x3 → dim=15

⟶ dim _R(k,n) = k⋅n

Operazioni con le matrici (Matrici dello stesso ordine)

• Somma A, B ∈ R_R(k,n) ⟶ A+B = [A¹+B¹ A²+B² … Aⁿ+Bⁿ]
• Moltiplicazione per uno scalare A ∈ R_R(k,n) e λ ∈ R, ⟶ λ⋅A = [λA¹ λA² … λAⁿ]

⟶ Va moltiplicata tutta la colonna

Proprietà:

• (α+β)A = αA + βA
• α(A+B) = αA + αB
• α(β⋅A) = β(αA) = (αβ)A
• 1⋅A = A

Moltiplicazione matrice-vettore

• A⋅v= v₁A¹ + v₂A² + … + v_nAⁿ ⟶ Combinazione lineare delle colonne di A

Esempio:

1. A = [2 4 5 1]_2x4
2. v = [1 0]
3. ⟶ A⋅v = 1(1 0) + 0(-1 1) + 0(2 1)

[

• 4/3
• 2

Colonne

⟶ i componenti: prodotto dà un vettore con coordinate uguali al no di righe

Proprietà:

1. (A+B)v = Av + Bv
2. A(v+u) = Av + Au
3. (λA)v = λ(Av) = (λv)A

Polinomio Caratteristico

Data A_n×n

det(A - tIn) è un polinomio di grado n (pA(t)) con le seguenti proprietà:

1. Il termine di grado n è tⁿ
2. Il termine di grado n-1 è uguale a (-1)^n-1trA t^n-1
3. Il termine noto è detA

Esempio

A = _n=2 se tA_t in diagonale

A = |a b|

|c d|

A - tI₂ = |a-t b|

|c d-t|

= (a-t)(d-t) - cb = t² - (a+d)t + ad-bc

traccia di A

Gli Autovalori

sono le soluzioni del polinomio caratteristico

Gli Autovettori

associati sono vettori x ∈ Rⁿ non nulla tali che AX ∈ Span(x)

∃λ 2 tale che Ax = λx

Molteplicità algebrica (μ₁) → quante volte un autovalore annulle il polinomio caratteristico

Molteplicità geometrica (m₁) → dimensione autospazio V_λi

dim Ker(A - λi In) = n - nk(A - λi In) [somma delle m degli autovalori = n]

Matrice Diagonalizzabile

Se esiste una base di Rⁿ formata da autovettori di A

→ Se il polinomio caratteristico ha n radici distintie allore A è Diagonalizzabile

Esempio

A = |2 -2 1|

|1 1 -1|

|1 2 2|

V_λ1 = Span {1, 1, 0}

A = |3 3 1| Autovettore di A

V_λ2 = Span {1, 4, 2}

|2 2 1|

|1 1 -1| Autovettore di A

B = {1, 0, 1} Base di R³ Sì → Allora A è DIAGONALIZZABILE

{-1, 1, 1}

Come Trovare Autovettori

Scrivo matrice A- λiIn trova autovalori, li sostituisco, ottenendo matrici diverse, triangolazione di gauss, risoluzione incognite

Dim Potenzialità V_n-1 = n - nk(A - λi In) e poi trova una base prelevata equazioni

Ma Come si Diagonalizza??

Con 2 λ uguali di A anche ripetuti. Δ = |2 -2 0|

|0 2 -2 1|

Ma matrice invertibile? Mettiamo sclli-iesima colonna un elemento della base dell'autospazio associata all'autovalore Pi

Matrici Simili

• A, B ∈ HR(n) si dicono simili: se ∃P ∈ HR(n) invertibile tale che A = PBP^-1
• A e B sono simili: pA(t) = pB(t) stessa radici (autovalori)
• stessa molteplicità
• se delta A = delta B
• o entrambi diagonalizzabili o nessuna