Esame orale Scienza delle costruzioni - parte 1

Dimostrazione

1. Leg. 01 Reg. 8

   Dimostrazione che il momento di una coppia di forze di uguale intensità e verso opposto non dipende dal polo.

   M_o = z₁ × F_i + z₂ × F_j = z₁ × F_i - z₂ × F_i = (z₁ - z₂) × F_i

   Se considero (z₁ - z₂) = S, allora = S × F_i quindi indipendente dal polo.

2. Leg. 01 Reg. 12

   Dimostrare che se { ∑ F_i = 0 M_o,o = 0}, ⇒ M_o= 0 ∀ o'

   M_o' = ∑ M_i = ∑ z_i × F_i = ∑ (z_i + a) × F_i = ∑ z_i × F_i + a × ∑ F_i = M_o + a × β

   M_o' = M_o = 0 ∀ polo o'

(3) Momento di una forza rispetto ad un asse, dimostrare che non dipende da O

M_n = (z × F) · n

Dalle proprietà dell'algebra

M_n = n · (z × F) = i o (n × z) = z · (F × n)

Prendo o'

Allora (z' × F) · n = [(z + e) × F] · n = [(z × F) + (e × F)] · n

= (z × F) · n + (e × F) · n

= (z × F) · n

Non cambia nulla

M_n e n sono paralleli pertanto

vettore ortogonale sia ad n che F allora tale sottra n = 0

1) Equazioni differenziali di equilibrio

M, N, V (caratteristiche di sollecitazione) non sono scollegate tra loro.

Sfruttiamo il principio di separazione di Eulero (se un corpo è in equilibrio ogni sua parte è in equilibrio sotto le azioni delle forze esterne e interne)

casa 1-D: Trave

È importante:

• Definizione del sistema di riferimento
• Versi positivi dei carichi

Definita in base ad un sistema di riferimento globale—lo realizziamo equivalendolo con quello locale.

• Carichi distribuiti q(x) > 0 se ha la stessa direzione di y

2) Se facessimo tendere Δx => 0 (cioè sezioni molto vicine) le carico esterno sarà:

q(x+Δx) - q(x) _{Distribuito con legge triangolare}

Faccio il limite per a₀ → ∞

lim_a0→∞ ∫_a0^x (t-a₂)ⁿ dt = lim_a0→∞ [ (x-a₂)ⁿ⁺¹/(n+1) ]

= (x-a₂)ⁿ⁺¹/(n+1)

Perciò posso affermare che:

∫_∞^x (t-a₂)ⁿ dt = (x-a₂)ⁿ⁺¹ / (n+1)

• (x-a₂)¹ è una primitiva della funzione (x-a₂)⁰

∫_∞^x (t-a₂)^-2 dt = (x-a₂)^-1

• Analogamente (x-a₂)^-2 è una primitiva della funzione (x-a₂)^-1

Sono importanti perchè:

• (x-a₂)^-1 corrisponde ad una forza concentrata
• (x-a₂) corrisponde ad un momento concentrato

Processo della Natural Philosophy

Definisco il vettore tensione tramite

\( \lim_{\Delta A \to 0} \)

\( Q_{xx} = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_{xx}}{\Delta A} \)

TENSIONE NORMALE

\( T_{xy} = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_{xy}}{\Delta A} \)

TENSIONI TANGENZIALI

\( T_{zx} = \lim_{\Delta A \to 0} \frac{\Delta F_{zx}}{\Delta A} \)

VETTORE TENSIONE

\( \underline T_x = \sigma_x \hat i + \tau_{xy} \hat j + \tau_{zx} \hat k \)

Così per le altre direzioni, quindi ottengo:

• \( \sigma_x \quad \tau_{xy} \quad \tau_{zx} \quad \rightarrow h = \hat i \)
• \( \sigma_y \quad \tau_{yx} \quad \tau_{zy} \quad \rightarrow n = \hat j \)
• \( \sigma_z \quad \tau_{zx} \quad \tau_{zy} \quad \rightarrow n = \hat k \)

Tensioni normali

Tensioni tangenziali

Stati Piani di Tensione

Parallelepipedo di Lati Δx Δy Δz

Nomenclatura

Faccia x_y Faccia x*

Veniamo da punto a punto come sono funzione di x, y

σ_x = σ_x(x, y)

σ_y = σ_y(x, y)

τ_xy = τ_xy(x, y)

τ_yx = τ_yx(x, y)

Quando poi Δx, Δy = 0(ε)

Veniamo poco da punto a punto

Espando in serie di Taylor

σ_x(x + Δx, y) = σ_x(x, y) + (∂/∂x)σ_x(x, y)Δx + o(Δx)

→ All'ordine 0 resta σ_x(x, y)

→ All'ordine 1 trascuro gli infinitesimi di ordine superiore a Δx

Così per gli altri

τ_xy(x + Δx, y) = τ_xy(x, y) + (∂/∂x)τ_xy(x, y)Δx + o(Δx)

τ_yx(x, y + Δy) = τ_yx(x, y) + (∂/∂y)τ_yx(x, y)Δy + o(Δy)

σ_y(x + y, y + Δy) = σ_y(x, y) + (∂/∂y)σ_y(x, y)Δy + o(Δy)

sin_θcosθ = _{sin 2θ}/²

cos²θ = _{1 + cos 2θ}/²

sin²θ = _{1 - cos 2θ}/²

Ottengo:

σ_x = _{σx + σy}/² + _{σx - σy}cos 2θ + τ_xysin 2θ

τ_xy' = - _{σx - σy}sin 2θ + τ_xycos 2θ

σ_y' = _{σx + σy}/² - _{σx - σy}cos 2θ + τ_xysin 2θ

Tra σ_x' e σ_y' cambia solo il segno

Disegnalo nel piano (σ, τ). Ha come diametro i punti

X = (σ_x, -τ_xy)

Y = (σ_y, τ_xy)

C = (_{σx + σy}/², 0)

R = √(_{σx - σy}/²)² + τ_xy²

Se ruoto il diametro XY di 2θ, ottengo il diametro X'Y'

X = (ε_x,

Y = (ε_y,

Come per le tensioni

ε_c =

B = (

(ε_x - ε_y) / 2² + (

)²

ε_x' = ε_c - B cos 2θ

ε_y' = ε_c + B cos 2θ

(

a =

2θ = arctan

(

(

)

2α = β - 2θ

Nelle direzioni x* e y* →

Direzioni principali di deformazione

ε_y* = ε_max

ε_x* = ε_min

ϱ_x*y*

= 0

CRITERIO DI SNERVAMENTO (Coesistente)

Si sintetizza in CRITERIO

Stato di tensioni equimoassiale → Equivalente → Stato di tensione pianeioassiale

• Dato della FUNZIONE DI SNERVAMENTO Φ(σ₁, σ₂, σ₃)
• Φ(σ₁, σ₂, σ₃) ≤ Φ
• Non se ho snervamento
• Φ(σ₁, σ₂, σ₃) = Φ
• Si ha snervamento

A noi interessano i materiali dotti (come metalli)

→ CRITERIO DI VON MISES (o della stessa energia di distorsione)

Φ_vm(σ₁, σ₂, σ₃) = √(σ₁-σ₂)² + (σ₂-σ₃)² + (σ₁-σ₃)² / 3

< Φ

• Von Mises si occupa di deformazioni isocoriche (mantiene il volume ma cambia forma)
• Ipotezzando σ₁ ≠ 0 e σ₂ = σ₃ = 0
• Φ_vm(σ₁, 0, 0) = √2/3σ₁² < Φ
• Allora si pone Φ = Φ_vm(0, 0, 0) = √2/3

Quindi ottengo Φ_vm(σ₁, σ₂, σ₃) = √(σ₁−σ₂)² + (σ₂−σ₃)² + (σ₁−σ₃)² / 3

< √2/3σ_y²

→ σ_vm = √(σ₁−σ₂)² + (σ₂−σ₃)² + (σ₁−σ₃)² / 2

≤ σ_y   VON MISES