Domande esame orale Scienza delle costruzioni

Equazioni di Congruenza

Siamo partiti dalla deformazione, fino a questo momento abbiamo parlato di corpi rigidi, eliminiamo questa ipotesi di corpi rigidi per poter introdurre il tipo di materiale considerato e per poter risolvere le strutture iperstatiche. Quindi inizialmente si fa un'analisi locale della deformazione, per cui si definisce un gradiente dello spostamento 𝕮 che si forma da una parte simmetrica e da una parte antisimmetrica E = T + W. La parte simmetrica viene definita come E = 1/2 (𝕮 + 𝕮^T) e chiamata tensore della deformazione infinitesima. Quando a seguito ad uno spostamento per un corpo deformabile si possono avere 4 deformazioni elementare definite: il coefficiente di dilatazione lineare (En), dello scorrimento angolare ϒln, il coefficiente di variazione di area l v e il coefficiente di variazione di volume.

En mi indica di quanto si deforma il mio corpo lungo una direzione N (in quanto si allungano le fibre). È definito come En = |e_n - l_i| / del questo è un coefficiente adimensionale che dipende dalla l_i e normale da consider e di piccola ordine (10^-4) ed è positivo per allungamenti e negativo per accorciamenti e questo dipende dalle definizioni.

A questo punto per queste tipologie di deformazione elementare possiamo ritornare ai leggi di congruenza e ne ritrovo 3 per il coefficiente di dilatazione lineare 3 per lo scorrimento angolare. Le prime 3 si calcolano attraverso un'analogia, cioè la lunghezza finale al quadrato si calcola, sia con la definizione di coefficienti di dilatazione lineare sia attraverso un disegno in cui ho un sistema di riferimento in cui ho una configurazione iniziale e finale. Il sistema di riferimento della configurazione iniziale viene esso in modo tale che il vettore (P=O) giace sull'asse X per avere coordinate (X,0p). Quindi individuo il punto P nella configurazione iniziale e P' in quella finale.

(P=O) = (X, 0P)

𝕮'

(P'-O') = (P=O) + 𝕮(P=O)

X_o X

(P′ - O) =

0 O O

X =

X₂ (1 + ⟒u/x)ᵐ = f₂(1 + 2εx)X

dv/dy

⋮0 = ⟒

X

a = dv/d⟒

(P_f) ²(P_f | O′) − (P_f | O′) ² −

(P_f) = (P′ - O)

(P₁ ² | P ′ | 0′ | . | ²)

(1dx|2) = ¹(P′)

1 + ⟒u/x

* Piccole sono solo le ampie su

spostamenti e piccole rotazioni ho una

studio da osservare nello stesso piego e per semplicità qui nello coincidente

di dire superior ⟒

* Ex =

(a + 2Ex)

(1 + 2 ⟒u/x) | ^2/x

eguale alle

Ed eper gusto tesše

di osservare picco ⟒

(Ex)

trásco come prima per taykinei termini ⟒

⟒

εx dv = dv/dx

all'equazione

appendice del precedere

Sono 3 vettori relativi a 3 tagli mutuamente ortogonali che non sono in grado di definire l'intero stato tensionale così come l'intero stato definisce allo stesso modo lo stato tensionale. (le incognite sono x, y, z)

Equazioni indefinite di equilibrio per il corpo deformabile

Le equazioni indefinite di equilibrio mi permettono di vedere come rilassare dello risulto dipende dal risoluzione di un posto. Prendiamo quindi in considerazione un cubetto balance le cui immersioni sono infinitesime all'interno di un corpo. Evideremo proprio le tensioni effetti su oggetto sia tangenziali di raziole e le forza per unità di volume.

A questo punto facciamo l'equilibrio della tastatore lunghe 3 tensioni x, y, z del nostro cubo. Pes fis preso meno va forza del cubo ad esempio esempio si mettiamo sul piano (x y):

Faccimo l'equilibrio lungo x quindi considero le forza oggia lungo x:

x: dσ_z + dσ_y - dσ_z + dσ_y = 0 (come x lungo y e z)

y: dσ_xy dσ_z + dσ_x dσ_y + δz_z = 0

z: dσ_xy + δz_y + dσ_x + σ = 0

Quindi la divergenza al tessello dell'informazione più le forze per unità di volume somma è uguale a zero. div I + b = 0

Considero θ e θ ottenqo V'(z) = N(z) (E(z)A(z))

Si effettuano anche la 3° agg ottenqo N(z) - (V'(z)C(z)A(z) = q(z). e'd A sono costanti non le derivo quindi V'(z) = N(z) E(z)A(z)

La prima mi permette di risolvere due strutture isostatiche bon condizioni a contorno sso su V(z); mentre la seconda mi permette di risolvere strutture isostatiche ed iperstidiche bond entrambi le condizioni a contorno (forze o spostamenti).

Linea Elastica Flessionale Incavata a partire dall’asse deformato della trave

Siamo nel 2° caso del de SAINT VENANT, immaginiamo la nostra trave deformabile sottopoa ad un momento Felilente. In questo caso si definisca piano dell'eaviezione il piano ortogonale al momento flettente e far fessini una sezione traversale della trave. Il piano diventa un asse di sldruztore ortogonale al verticimento.

Durante la franchia la trave assume la forma di un arco di circonferenza le cui sezioni trasversali convergono in un unico centro di distanza e rtesta sempre agosto al centro all'asse della trave.

L’espressione della deformata si ricava imposno che la distanza tra il centro di curvatura C(R) e un generico punto P(V(z),z) dell'arco sia pari ad R R^2 = g^2 (C(0) = (V(z)+z)^2 + z^2 invalidità a) sistemo punto punto da cui:

per la ad ipotesi di piccoli spostamenti V(z), ed trascurabile quindi si puo spostamenti tassoviale dell'asse è paria V(z) = - (z^2) / 2R - (z) / EIx dove Kx = z / 2 − z^2 / 2 - (z) / EIx

Derivando nel nostro kubeo l'angolo di curvatura Φ(z) = Mx / 2 Ei x

Derivando in alfa lato si ottiene l'espressione da legge di curvatura 0.8 i spostamenti V(z) = lKx dove Kx = R / 2 e il raggio di curvatura.

V(m,z) = - lX (t'ongenmin) M = P(k)

N'(m,z) = lX (et congruente) M' = EItKx (legame costituitivo) ⇒

M" = -P(-C)

EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA FLESSIONALE DEL 2° ORDINE

Torsione su sezione generica

Il risultato, ottenuto nella torsione su settore circolare è valido se, appunto, nelle sez. circolari, questo perché le condizioni al contorno non sono più verificate, ovvero: T_z non è più tangente al bordo. Come nel caso della sez. circolare il punto P = (x,y,z) avrà gli spostamenti:

• U(p) = -Θ(z)y
• V(p) = Θ(z)x

quindi possiamo direttamente Θ(z) = Θ_z di un generica si torsione e:

Al contrario della sez. generica non ci possono essere più considerazioni di simmetria banale perciò:

• W(p) = Ω(z) Ψ(xy) dove Ψ(xy) descrive lo spostamento fuori dal Ψsii piano della sezione ed è detta funzione di ingobbamento.

Ψss è una funzione lineare e quindi anche nella torsione la sez. non rimane più piana. Per dimostrare che le eq. proposte descrivono lo spostabile è sufficiente le equazioni di congruenza:

Ex = Ey - Ez = δxy = 0, δzx = 0

ηyz = Θ_y * ∂Ψ/∂x

ηzx = Θx + 0 ∂Ψ/∂y

ηxy = 0

le equazioni di legame (fissiamo lo stato tensionale)

σx = σy = σz = 0 τ_xy = 0, τ_zx = G ( ∂Ψ/∂x - y ) τ_zy = G ( ∂Ψ/∂y + x )

e inserendo queste eq. nelle eq. di equilibrio si ricava:

G ( ∂₂Ψ/∂x₂ + ∂₂Ψ/∂y₂ ) = G Θ ΔΨ - Θ = 0

Per quanto riguarda le condizioni al contorno si ha:

dΩ = perpendicolarmenteσz = Σz × m = σz

quindi il bordo Ψ deve soddisfare le condizioni di NeumanndΨ

dΨ/dn = ∂Ψ/∂x + ∂Ψ/∂x = yx - xy + zyyx - tΨt = (P - G) × tassociare in questo il contornola forma della soluzione dell' eq. di campo ΔΨ = 0 mi permette di affermare che quella proposta è la soluzione

Dobbiamo tenere a mente che Ψ dipende sia dalla sezione e non dal momentotacente Mt 0 pari a

Mt = G Θ ∫ ( x² + y² + ∂Ψ/∂y -∂Ψ/∂x ) dA = G Θ Itdove