Appunti orale Analisi matematica I

Sia: >

|() |

∃ > 0: | − | < → − <

1 0 1 1 3

∈

≠

0

|() |

∃ > 0: | − | < → − <

2 0 2 2 3

∈

≠

0

Pongo | |

= −

1 2

) | | | |() |

= min( , ⇒ = − = 1 − () + () − ≤ − ()| + −

1 2 1 2 1 2 1 2

2

|() | |() |

= − + − < + =

1 2 3 3 3

Quindi: 2 2

| | |() | |() |

= − = − + − < ⇒<

1 2 1 2 3 3

Teorema del confronto o dei carabinieri (Funzione)

Ipotesi: è un punto di accumulazione di E

: → ℝ

0

() = ℎ() =

→ →

0 0

Tesi:

() =

→ 0

Dimostrazione:

Sia: > |()

∃ > 0: | − | < → − | < ⇒ − < () < 1 +

1 0 1 ∈

≠

0

|() |

∃ > 0: | − | < → − < ⇒ − < ℎ() < 1 +

2 0 2 2

∈

≠

0

)

= min( , , ⇒ − < () ≤ () < + ⇒ − < () < +

0 1 2

Teorema Ponte

Tesi: è un punto di accumulazione di E

: → ℝ

0 } { } )

() = ⇔ ∀{ ⊆ ∖ ∶ → ⇒ ( =

0 0

→ →

0

Dimostrazione 1 :

Dimostro l’implicazione da sinistra verso destra:

)

|| = ⇒ ( =

( )

→

0

Sia: > 0

| | |()

∃ > 0: − < ⇒ − | <

0

∈

≠

0

Sia > 0

2 | | )

∃ : ≥ ⇒ − < ⇒ ( <

0 2

∈

≠

0

Dimostrazione 2 :

Dimostro l’implicazione da destra verso sinistra:

)

|| = ⇒ ( =

( )

→

0

Per assurdo suppongo () ≠

→ 0

| | |()

∃ > 0: ∀ > 0 ∃: − < ∧ − | <

0

x ∈ E

x≠x0

1 1 1

Sia | | |()

= ∈ ℕ ⇒ = ∃ : − < ∧ − | >

0

Teorema dei limiti delle funzioni composte

Tesi:

Siano (X,dx)(Y,dy)(z,dz) tre spazi simmetrici:

Sia : → ⅇ : →

⊆ dom()

: →

= (())∀ ∈

Enunciato:

Se il e

() = () =

→ →

0

E una delle 2 condizioni:

1) () =

2) ( )

∃ > 0 0 < < ⇒ () ≠

0 1 0 0

: → (()) =

→ 0

Dimostrazione:

Sia poiché

> 0 () =

→ }

2

(, ((),

∃ > 0: 0 < ) < ⇒ ) <

≠0 (, )

0 < < ⇒ ((()), ) <

0

In corrispondenza di > 0

(, ) ((),

∃ > 0: 0 < < ⇒ ) <

0

((), ) < ⅇ () ≠

1) (,

() = ⇒ (()) = () = ) = 0

2) 2 ((),

⇒ () ≠ ⇒ ) > 0

0

Principio di sostituzione degli infiniti

Tesi:

Sia () = () = () = () = +∞

→ →0 → →

0 0 0

()

Sia = 0

()

→ 0 ()

ⅇ ⇒ () ⅇ () ⅇ ⅇⅇ () ⅇ ()

()

→ 0

() + () ()

⇒ =

() + () ()

→ →

0 0

Dimostrazione: (analoga agli infinitesimi)

) ()

( + () ⋅ ℎ() () 1 + ℎ

0 1

()+()

⬚ = = ⋅

̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ () ) ()

()+ ( + () ⋅ ℎ() () 1 + ℎ

→ →

0 0 0 2 ℎ → 0

1

ⅇ → ⇒1

0 ℎ → 0

2

Per definizione F è di infinitesimo maggiore di → () = () ⋅ ℎ()

()+() ()

Quindi: =

()+() ()

→ →

0 0

Il limite esiste se e solo se:

()

ⅇ ⅇⅇⅇ

()

→ 0

Teorema Degli Zeri 2

0 0 1 2 3 4 5

Tesi: -2

-4

-6

[,

: ] → ℝ -8

0

continua in =

[, [,

] ∈ ] -10

()() < 0 ⇒ ∃ < < ∶ () = 0 -12

Dimostrazione:

Supponiamo () < 0 ⅇ () > 0

(Metodo di bisezione)

+

Pongo = = =

1 1 2

se Trovo lo 0

)

( = 0 →

1 +

se Cambio estremo 1

)

( > 0 → = = =

1 2 2 1 2 2

+

se Cambio estremo 1

)

( < 0 → = = =

1 2 1 2 2 2

+

Quindi avrò:

=

2

Se (potrei non trovare lo zero se è orizzontale)

)

( ≠ 0 ∀ ∈ ℕ

Quindi:

{ } { }

↗ ↘ ≤ ≤ ≤

)

= sup( ) = = sup( =

1 2

−

Per La distanza tra e tende a

→ +∞ − =

−1

2

−

− − − = → 0 = = =

1 2 1 2

−1

2

Teorema Di Weistrass

Lemma: continua

(, )(, ): →

è compatta (l’immagine di un compatto è un compatto)

()

Dimostrazione:

{ } ) )

⊆ ( ∀ ∈ ℕ ∃ ∈ ∶ ( =

{ } }

⊆ ⇒ ∃{ , ∶ = ⇒ ( ) = () ⇔

̇

⇔ = () = ∈ ()

Enunciato:

Compatto

(, ) ⊆ ) )

: → ℝ ⇒ ∃ , ∈ ∶ ( ≤ () ≤ ( ∀ ∈

1 2 1 2

Dimostrazione:

è chiuso e limitato in (k è compatto)

() ℝ

(1)=

siano

= min(()) = inf (()) , ≤

1 )=

( 2

= max(()) = sup(())

Teorema Dei Valori Intermedi

Corollario:

0 assume in valori compresi tra

[, [,

∈ ] ⇒ ] () ⅇ ()

Dimostrazione:

Per semplicità sia () < < ()

0

Poniamo [,

() = () − ∈ ]

() = () − < 0 ⇒ ∃ < < : () = () − = 0 ⇔ () =

() = () − > 0

Teoremi Algebrici Derivate

Ipotesi:

Siano , : → ℝ ⅇ , ∈

0 0

′ ′

( ), ( )

∃

0 0

′

() ( ) )

⇒ = (

0 0

′ ′ ′

( ( ) ( ) ( )

⇒ + ) = +

0 0 0

′ ′ 1

() ( ) ( )( ) ) ( )

⇒ = + (

0 0 0 0 0

′ ′ ′

( )( ) ) ( )

− (

0 0 0 0

) ( )

⇒ ⅇ ( ≠ 0 → =

0 2 ( )

0

Dimostrazione:

()() ()( ) )

− () − (

0 0

′ ′

()( ) ( )

⇒ = =

0 0

− −

→ 0 0 0

(+)( )−(+)( ) )−( )

( ()−()

=

′ 0 0 0 0

( ( )

⇒ + ) = + =

0 − − −

→ → →

0 0 0

0 0 0 ′ ′

( ) ( )

= +

0 0

()( )−()( ) )( )+( )( ) )( )+( )( )

( (

-

′ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

( ( )

⇒ ⋅ ) = =