Appunti Morfologia e concezione delle strutture - Argomento: Elementi di statica

DETERMINAZIONE DELLE REAZIONI DEI VINCOLI ESTERNI DI UNA STRUTTURA

1) Controllo della condizione di isostaticità della struttura. Valutazione dei gradi di libertà e dei gradi di vincolo; controllo della efficacia dei vincoli e della eventuale condizione di vincolo anomala.

2) Definizione di un sistema di riferimento ortogonale, con i relativi versi positivi per le forze ed i momenti.

3) Connotazione, con lettere (A, B, ...), delle sezioni di vincolo della struttura e di tutte le altre sezioni singolari (cerniere interne, sezioni di deviazione d'asse, sezioni di applicazione di forze o coppie ecc. ...).

Procedimento solutorio (2)

4) Determinazione della risultante delle forze distribuite sulle parti della struttura che non contengono elementi di articolazione.

5) Scomposizione di tutte le forze applicate alla struttura secondo gli assi coordinati.

Eliminazione di tutti i vincoli esterni e loro sostituzione con le rispettive reazioni vincolari (H , V , M ; H , V , M , ….). Il numero delle reazioni incognite risulta pari al numero dei gradi di libertà della struttura svincolata, (GdL 3).≥ Un nuovo disegno rappresenta ora la struttura priva dei vincoli esterni e soggetta alle reazioni vincolari oltre che alle forze e coppie date. Il verso delle reazioni vincolari è scelto liberamente (più spesso concorde col sistema di riferimento).

Procedimento solutorio (3)

1. Scrittura delle equazioni di equilibrio.

Ad ogni grado di libertà della struttura svincolata corrisponde una equazione di equilibrio. Si scrivono pertanto:

• 3 equazioni corrispondenti ai 3 gradi di libertà della struttura complessiva (equazioni generali)
• H = 0 (spostamento secondo x)
• Σ V = 0 (spostamento secondo Y)
• Σ M = 0 (rotazione di tutta la struttura intorno ad un punto qualsiasi del piano)
• Σ - (GdL

• 3) equazioni corrispondenti ai gradi di libertà delle articolazioni interne della struttura (equazioni ausiliarie).
• Per le cerniere interne si ha: M = 0 (rotazione di una qualsiasi delle due parti della struttura confluenti sulla cerniera, Σ intorno ad essa).
• Procedimento solutorio (4)
• 8) Risoluzione del sistema delle equazioni e determinazione delle reazioni incognite.
• L'eventuale segno negativo di una reazione vincolare (forza o momento) indica che essa è di verso opposto a quello assunto all'atto della eliminazione dei vincoli.
• 9) Un nuovo disegno rappresenta ora la struttura con le forze e le coppie date e con le reazioni vincolari indicate con il verso effettivo coerentemente al segno dei risultati. Le forze sono possibilmente rappresentate in scala; i valori numerici delle forze e delle coppie sono riportati a fianco dei simboli che le rappresentano, tutti col segno positivo.
• Procedimento solutorio (5)
• 10) Si cerca conferma, per quanto possibile,

del segno e del valore delle reazioni vincolari(di quelle risultate nulle, in particolare) interpretando la funzione dei vincoli in rapporto alla condizione di carico data. Si cerca di riconoscere, ad esempio, quale spostamento produrrebbero i carichi se la struttura acquisisse un grado di libertà per la soppressione di un vincolo e si verifica se il verso della reazione di quel vincolo è tale da opporsi a quello spostamento.

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (1.1)

La trave vincolata da una cerniera e un carrello viene definita trave in semplice appoggio (trave in figura).

Per prima cosa si tolgono i vincoli e si sostituiscono le reazioni vincolari.

- Il carrello impedisce lo spostamento verticale, quindi la mia reazione vincolare (che chiamo V) sarà diretta in verticale. La freccia diretta verso l'alto è concorde con l'asse y.

- La cerniera impedisce le due traslazioni, quindi avrò una reazione vincolare (che chiamo V e H)

Diretta in verticale e un in orizzontale.

Procedimento:

1. Sommatoria delle forze orizzontali = 0 Quindi H = 0
2. Sommatoria delle forze verticali = 0 Quindi V + V – P = 0
3. Scegliere il polo con cui calcolare il momento
4. Sommatoria dei momenti in A = 0 Quindi –P x a + V (a + b) = 0

V (a + b) = P x a Quindi V = Pxa/a+b Perciò V = Pxb/a+bb b a

Possiamo, dopo aver terminato i calcoli, eventualmente provare a porre il polo in un posto differente per controllare se i miei calcoli sono giusti.

Se venisse fuori una reazione con segno positivo, ciò signfica che avevo ipotizzato il verso giusto della forza, mentre se invece venisse fuori una reazione con segno negativo, ciò signfica che avevo ipotizzato il verso sbagliato della forza. Quindi: –V (a + b) + P x b = 0

-Pxb/a+b = VaV = Pxb/a+ba

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (1.2)

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (2)

Caso della trave in semplice appoggio con carico

Quella in alto indicata con “l” è la lunghezza.

Procedimento:

1. Sommatoria delle forze orizzontali = 0 Quindi H = 0
2. Sommatoria delle forze verticali = 0 Quindi V + V – ql = 0
3. Scegliere il polo con cui calcolare il momento
4. Sommatoria dei momenti in A = 0V x l – ql x l/2 = 0

V = ql/2 = Vb a

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (3.1)

Procedimento su quaderno:

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (3.1)

In entrambi i casi (1 e 3), V è sempre positivo e verso l’alto, mentre V cambia di verso.

La disposizione dei vincoli condiziona le forze e i relativi moduli.

RICORDA: Non è importante per l’esame cambiare il verso della forza quando il risultato ènegativo, l’importante è che ci sia scritto nei calcoli!

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (4)

Caso della trave rappresentata solo sulla sua linea d’asse.

Rispetto a quelli visti precedentemente,

Abbiamo un vincolo diverso, ossia un incastro. L'incastro impedisce tutti i tipi di spostamento.

Procedimento:

1. Sommatoria delle forze orizzontali = 0 Quindi H = 0
2. Sommatoria delle forze verticali = 0 Quindi V - P = 0 Perciò V = Pa
3. Scegliere il polo con cui calcolare il momento
4. Sommatoria dei momenti in A = 0 M - Pxl = 0a M = Pxla

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (5)

Procedimento sul quaderno:

Il corpo in figura ricorda un arco. Dell'arco sappiamo che più la monta è alta più la spinta è minore (in questo caso "h" è la monta).

Un sistema d'azione può essere in equilibrio quando la retta d'azione che collega le tre forze è in equilibrio.

Risoluzione per via grafica:

Sono, in realtà, presenti due coppie, ossia P e V, e H e H.

Esempi di determinazione delle reazioni vincolari (6)

Caso di corpi rigidi vincolati tra di loro da cerniere

 Dalla struttura reale al modello trave (1)
La teoria della trave permette di risolvere in maniera semplificata problemi reali complessi; l'errore commesso con la semplificazione è tanto maggiore quanto più il problema si distacca dalle ipotesi del modello.

 Dalla struttura reale al modello trave (2)
Singolarità della linea d'asse in corrispondenza di un raccordo di collegamento tridimensionale. Il complesso può essere trattato come insieme di travi; modellazione a trave non consentita per il pezzo speciale.

 Dalla struttura reale al modello trave (3)
Condizione di gradualità per la legge di variazione delle sezioni.

La trave in figura è detta trave parete: trave molto alta, di all'incirca 3 metri. Questa trave non può essere modellata attraverso la teoria di

De Saint-Venant. Non può, inoltre, essere definita "trave" perché vi è, ad un certo punto, un cambio di direzione. Potremmo leggerlo come un incastro tra due travi.

Dalla struttura reale al modello trave (4)

Sezioni non ortogonali alla linea d'asse. Dimensione longitudinale confrontabile con una dimensione della sezione.

L'equilibrio di un tratto di trave

Se una trave soggetta a n carichi applicati (concentrati o distribuiti, agenti o reagenti) è in equilibrio, perché lo sia pure qualsiasi suo tratto (compreso in un'ideale linea di distacco LD passante per la generica sezione Si), nella sezione devono essere applicati una forza e un momento risultanti delle forze applicate nel restante tratto.

Dividiamo quindi il corpo preso in considerazione in due parti: isolando la parte in alto il mio corpo non è in equilibrio. Su di esso dovrò quindi applicare due forze, ossia una forza R e un momento M (sono forze interne).

perché applicate direttamente sulla facciata della mia trave), per andare ad equilibrare la parte isolata. In questo modo quella porzione di corpo ritorna all'equilibrio.

Come faccio a determinare le forze interne R e M? Applicando le equazioni di equilibrio. Il momento sarà dato dalla somma dei momenti per le forze applicate alla trave.

Le caratteristiche di sollecitazione: Le forze interne R ed M si scompongono rispetto al sistema che viene detto "locale" (mentre il sistema di riferimento globale è vero ovunque nel piano). Sono dette Caratteristiche di Sollecitazione (CdS) le componenti di R e di M.