Appunti Meccanica razionale

Meccanica razionale

Disciplina che nasce in ambito matematico che si propone di introdurre metodologie logico-deduttive rigorose proprie della matematica nello studio della dinamica di corpi.

Un corpo fisico viene modellato con vari gradi di precisione:

• PUNTO MATERIALE
• RIGIDO
• CORPO COMPLESSO (ROBOT): insieme di rigidi fra loro connessi attraverso meccanismi che ne limitano parzialmente il moto (vincoli).

In Meccanica Razionale si pone l’attenzione sul modello matematico che descrive il corpo o l’insieme di corpi in movimento.

Razionale → Si cerca la soluzione a problemi meccanici attraverso metodi matematici.

FORMALISMI

Vettore: freccia orientata (2 punti orientati)

IR³ coord. cart.

O = punto di applicazione

Notazioni

Punto: P: (_Xp, _Yp, _Zp) in IR³ → In generale (X_i) X_i: i = 1...n

Vettore: OP = (P - O)

testa ↔ pt applicaz

OPERAZIONI

→ OA + AB = (A - O) + (B - A) = B - O

Vettori:

• LIBERI : 2 punti (orientati) che possono muoversi paralleli a te termi
• APPLICATI: fissi

Regola del parallelogramma

Modulo

|_↔^v| = |P - O| è la lunghezza euclidea del vettore

|_↔^v| = √(x_P - x_O)² + (y_P - y_O)² in ℝ²

In generale |_↔^v| = √∑_i=1ⁿ (x_iP - x_iO)² ℝⁿ

• Sia α ∈ ℝ , α · _↔^u è un vettore allineato a _↔^v con modulo |_↔^v|

Versore: vetore con modulo unitario

• _↔^û |_↔^û| = 1 rispetto a prefissate unità di misura
• _↔^u → ? → _↔^û = _↔^û/^|û|

m, cm, Kg, N, ...

Prodotto scalare

_↔^u · _↔^v = |_↔^u| |_↔^v| CosΘ_(u,v)

CosΘ = _↔^û · _↔^v / |_↔^u| |_↔^v|

• Per componenti: u · v = x_ux_v + y_uy_v = ∑ⁿ_i=1 x_i,u · x_i,v

Vettori e spazi vettoriali

V spazio vettoriale → _↔^u, _↔^v ∈ V → αu + βv ∈ V

In uno spazio a dim. finita _↔^v = ∑ x_u ê_i

es. _↔^v = αê₁ + βê₂ in ℝ²

Integrazione IR²

In coordinate cartesiane:

I = ∫∫ f(x, y) dx dy

I = ∫_Ω f(x, y) dA

I ≃ ∑_{i j} f(x_i, y_j) ΔX ΔY → volume

∫_Ω f(x, y) dx dy = ∫_x0^R₂-x₂ ∫_y0^{g(x, y)} f(x, y) dy dx

Coord. polari = ∫₀^R dr ∫₀^π/2 f(r, φ) |J| dφ

dx dy = dr dφ |J|

dA = dx dy ≠ dr dφ

dA = dr dφ = r dr dφ

Calcolo volume di una sfera

p: x² + y² + z²

_n: IP→O

r = r sin θ

(r, φ, θ) → (x, y, z)

J = ∂(x, y, z)/∂(r, φ, θ)

|J| = r² sin θ

[cart.] = ∫∫∫ f dx dy dz = [sfer.] = ∫∫∫ f(r² sin θ) dθ dφ dr

Velocità assoluta e relativa

(P - Ω) = x'ê₁ + y'ê₂ + z'ê₃ (P - O) = x î + y ĵ + z k̂

Calcolo della velocità del punto

^V̅_P-O∣_S = d/dt (P - O)∣_S = ẋ î + ẏ ĵ + ż k̂

nota: ^V̅_P-Ω∣_Σ ≠ ^V̅_P-O∣_S

es: P punto fisso rispetto a Σ → ^V̅_P-Ω∣_Σ = 0 ma ^V̅_P-O∣_S ≠ 0

Formula di Poisson

Dato un vettore ̅ generico, ∃ un vettore ω̅ t.c. vale la seguente rel.:

[d/dt (̅)∣_Σ] = [d/dt (̅)∣_S] + ω̅ ∧ ̅

Da intendersi come la definizione dell'esistenza di un vettore ω̅(t) che lega le derivate. ω̅ è unico ed è indipendente da ̅

ω̅ → velocità angolare (del sistema di rif.)

DIM.: ̇ = ẋ î + ẏ ĵ + ż k̂ lo scrivo in S

d̅/dt∣_S = du_x/dt î + du_y/dt ĵ + du_z/dt k̂

Ora lo guardo da Σ:

du/dt∣_Σ = d/dt (u_x î) + d/dt (u_y ĵ) + d/dt (u_z k̂) = û̇ î + ux dî/dt∣_Σ + ẏ ĵ + uy dĵ/dt∣_Σ + ż k̂ + uz dk̂/dt∣_Σ

Formula fondamentale del moto dei rigidi

Caso di studio: disco che striscia su piano orizzontale

• Rotolamento puro

So che v_c = 0

v_p = ω ∧ (P - C)

Trucco ω(^κ

quando ψ cresce, il sistema solidale ruota in senso antiorario

ω̅ = ω(^κ

ω̅ = -ψ̅ ĵ + ωk̂

ω̅ = -β̇ x̂ + ψ̇ ĵ

v̅_p = ψ̅ ĵ ∧ (P - C)

|v̅_p| = ψ|P - C| la velocità cresce linearmente con la distanza da C

v_p ⊥ alla congiungente (P C)

Geometria delle masse

Solido V_i con volume Δi in posizione R_i

ΔM_i = porzione di massa contenuta in V_i

M = Σ_iΔM_i = Σ_iΣ_i

M_s,ev

volume → 0

Δi << 1

ρ(R_i) = ρ fun_t continua

∫ ρ(R_i)dr

dm (massettina intorno a x)

μ̅ = ρ∫ ρ(R_i) dr

Fambitz dx

Sono a 2 a 2 termini del tipo

tutte coppie a braccio nullo

Quantità di moto

punto: _{Q̇ = Miv̅̇i}

Sistema materiale: _{Q̇ = ∑ miv̅i}

Riprendo def. di c.d.m:

Derivo rispetto al tempo:

Per il calcolo della quantità di moto di un sistema, posso sostituire l'insieme di punti materiali con 1 unico punto con massa M che si muove come il centro di massa del sistema.

Derivo la:

I equazione cardinale della dinamica

Equazioni di moto del c.d.m di un sistema Il c.d.m si muove come un punto materiale di massa M a cui sta applicata la risultante delle forze esterne

Def. Momento angolare della quantità di moto di P_{i rispetto al polo o}

Ricorda la def. di mom. angol della quant. di moto

Calcolo rispetto a _P0 e uso

Quindi

Energia Cinetica

• Punto

Oltrego

Energia Cinetica di un Rigido

Consideriamo il moto di solidi piani che si muovono sul piano

• Semiplificazioni
• Matrice d'inerzia:

dalla def

Infatti

Un pt. e IR³ ha 2 g.d.l. → significa che è possibile esprimere le sue coordinate utilizzando 2 soli parametri. In generale si hanno 2 soluzioni.

1. Esprimo 1 coord. in funzione delle altre 2.
2. Trovo una trasformazione del tipo:

   (p - o) = x(ϑ₁, ϑ₂)î + y(ϑ₁, ϑ₂)ĵ + z(ϑ₁, ϑ₂)k̂ in cui le 3 coordinate sono espresse tramite 2 nuovi parametri "liberi". Trasformazione di coordinate da IR² → IR³ (ϑ₁, ϑ₂) → (x, y, z)

es. Punto su sup. sferica x² + y² + z² = R²

Approccio ₁: Posso facilmente esprimere z in funzione di x, y: z = ±sqrt(R² - x² - y²) con x² + y² ≤ R² ± scelgo segno + In generale, quando posso farlo!

Teorema della funzione implicita (del Dini)

Detto il vincolo f(x,y,z) = 0. Con f ∈ C¹, condizione sufficiente affinché si possa esprimere (localmente) una coord. in funzione delle altre 2, è la seguente: ∇f(P) ≠ 0 con f(P) = 0 (P pt. del vincolo) - Caso della sfera.

f = x² + y² + z² - R² → ∇f = 2 (x î + y ĵ + z k̂) ≠ 0 se P ≠ 0 ⎡ ∂ ∂x î + ∂ ∂y ĵ + ∂ ∂z k̂ ⎤ ma l'origine non sta sulla sup. OK!

Approccio ₂: Posso descrivere la superficie sferica in maniera più conveniente attraverso le coord. sferiche (mappa IR² → IR³)

• ϕ:

  x = R sinϑ cosϕ y = R sinϑ sinϕ z = R cosϑ

Mi riporto al formalismo generale con ϑ₁ = ϑ, ϑ₂ = ϕ

- Interpretazione geometrica:

ϑ IR² π 2π ϕ x R³