Appunti Matematica generale

SISTEMA IMPOSSIBILE = INSIEME VUOTO

SISTEMA INDETERMINATO = INFINITE SOLUZIONI (una delle equazioni è ridondante)

Scrittura delle soluzioni per i sistemi indeterminati:

x+y = 2 y = 2 – x



x = x grado di libertà



S: (x; 2 – x) = soluzione generale, poi se x = 0, allora y = 2

se x = – 1, allora y = 3

se x = 2, allora y = 0 ecc… soluzioni particolari



I sistemi lineari possono essere:

compatibili = è possibile trovare almeno 1 soluzione (determinato e indeterminato)

 incompatibili = non è possibile trovare soluzione (impossibile)



MATRICI

Ex: 1 2 3

A = −2 1 5

Matrice 2x3:

righe (i) = 2

colonne (j) = 3

{

−2 x+ y=−3 −2 −3

1 matrice completa del sistema equazione



−7

4 x y=11 −7

4 11

Operazioni consentite nelle matrici:

1) moltiplicare una riga per un numero

2) sommare algebricamente le righe

3) scambiare tra loro 2 equazioni

Per risolvere un sistema di matrice:

a) eliminare le eventuali frazioni

b) pivoting: individuare il pivot (primo numero da sinistra diverso da 0) nella prima riga e

azzerare tutti gli elementi della prima colonna diversi dal pivot

c) individuare il pivot nella seconda riga e azzerare tutti gli elementi della seconda colonna

e così via…

Casi particolari:

1) riga 0 0 0 k sistema impossibile



2) riga 0 0 0 0 sistema indeterminato



Sistema omogeneo: tutti i termini noti sono 0 quindi non può mai essere impossibile ed ha

almeno la soluzione banale (0; 0; 0)

Ax=B A= matrice dei coefficienti

x= vettore delle incognite

B= vettore dei termini noti

Dato che la divisione tra matrici non è definita, si esegue la moltiplicazione dell’inverso:

-1 -1 -1

A *Ax=B*A A = matrice inversa

-1 -1

A *A=A*A =I matrice identità

−2

5 13 1 0 0

Ex: 10 7 3 0 1 0

5 12 1 0 0 1 1 0 0

Eseguire l’operazione di pivoting nella matrice a sinistra fino ad ottenere 0 1 0

0 0 1

e il risultato della matrice inversa a destra.

La matrice inversa è tipica delle matrici quadrate, le matrici quadrate che non la

posseggono sono dette matrici singolari.

Determinante = numero associato a una matrice quadrata

=0 matrice singolare (senza inversa)

det(A) 0 matrice non singolare (con inversa)

≠

a b

A = det(A) = (a*d) – (c*b)

c d

Matrice quadrata = con lo stesso numero di righe e di colonne

Matrici particolari:

- dimensioni 1x4 (vettore riga) 1 4 73

1

- dimensioni 4x1 (vettore colonna) 4

7

3

0 0 0

- matrice nulla 0 = 0 0 0

Algebra matriciale:

- somma tra matrici: solo se le matrici hanno le stesse dimensioni

- moltiplicazione di una matrice per uno scalare

Proprietà delle matrici:

a. proprietà associativa (A+B)+C=A+(B+C)



b. proprietà commutativa A+B=B+A



c. elemento neutro per la somma A+0=0+A=A



d. matrice opposta A+(–A)=0= –A+A



e. 1A=A

f. 0A=0

matrice trasposta rispetto a quella originaria scambia tra loro righe e colonne

 2 4

−3

2 1 T T T

A = A = (A ) =A

1 1

4 1 0 −3 0

MODELLI QUADRATICI

2

f(x)=ax +bx+c a, b, c R (a 0)

ϵ ≠

Rappresentazione grafica: parabola

verso l’alto (convessa) a>0



concavità

 verso il basso (concava) a<0



−b

vertice x =

  v 2 a

−∆

y =

v 4 a

intersezioni con gli assi

 >0 = 2 intersezioni

∆

{ {

2 2

+

y=a x bx+ c +bx +c=0

a x

asse x =0 = 1 intersezione

∆

)

y=0(asse x =0

y <0 = no intersezioni

∆

{ {

2 y=c

+

y=a x bx+ c

asse y P(0; c)

=0(asse )

x y x=0

se c=0, la parabola passa per l’origine degli assi

 se b=0 e quindi x =0, il vertice della parabola si trova sull’asse delle y

 v

se b=c=0, contemporaneamente la parabola passa per l’origine degli assi e il

 vertice si trova sull’asse delle y = il vertice è nell’origine degli assi P(0;0) −b

La parabola è una figura simmetrica rispetto ad una retta verticale di equazione x= 2 a

detta asse di simmetria.

MODELLI ESPONENZIALI

base>1 = andamento della funzione crescente

base=1 = la funzione ha come risultato sempre 1

0<base<1 = andamento della funzione decrescente

Intersezioni con gli assi:

{ {

x x =0

y=b b impossibile

asse x non ci sono intersezioni con l’asse delle x

y=0 y=0

{ { {

x 0 y=1

y=b y=b

asse y P(0;1)

x=0

x=0 x=0

Determinazione di A e b in un modello esponenziale:

x

y=Ab

coordinate fornite dal sistema:

x = 1 x = 3

y = 6 y = 24

sostituire x e y con le coordinate:

3

24=Ab

1

6=Ab 3

24 Ab 2

= 4=b b= 2

±

6 Ab

6=A*2 A = 3



3

24 = A*2 A = 3



MODELLI LOGARITMICI

y

log x = y b =x



b

Formula del cambiamento di base:

log 7 ln 7

log 7= =

2 log 2 ln 2

Proprietà dei logaritmi:

- logaritmo di un prodotto: log (xy) = log x + log y

b b b

- logaritmo di un quoziente: log (x/y) = log x – log y

b b b

k

- logaritmo di una potenza: log x = klog x

b b

PROPRIETÀ DELLE POTENZE n k n+k

1) prodotto tra potenze che hanno la stessa base a * a = a

 n k n–k

2) quoziente tra potenze che hanno la stessa base a /a = a



n k n*k

3) potenza di potenza (a ) = a



k k k

4) a * b = (a*b)

k k k

5) a /b = (a/b)

DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

a. che passa per un punto ed ha una certa pendenza

b. passante per due punti dati

c. passante per un punto e parallela ad un’altra retta di cui si conosce l’equazione

(d. parallela ad un’altra)

a. Tipo punto-pendenza

Ex:

P(2; 4) m= –2 fascio di rette: y – y = m(x – x )

P P

y – 4 = –2(x – 2)

y – 4 = –2x + 4

r: y= –2x + 8

b. Tipo punto-punto

1- i due punti hanno la stessa ascissa non bisogna fare calcoli



P(2; –5) Q(2; 1) retta verticale // asse y r: x = k = 2

 

2- i due punti hanno la stessa ordinata non bisogna fare calcoli



P(1; –4) Q(–3; –4) retta orizzontale // asse x r: y = k = –4

 

3- i due punti hanno diversa ascissa e diversa ordinata

P(x ; y ) Q(x ; y )

P P Q Q −

y y

P Q

y – y = m(x – x ) m =

P P −x

x P Q

ANALISI MATEMATICA

LIMITI

Limite derivata integrale

 

Limite: agisce sull’oggetto funzione studiandone il comportamento quando x si avvicina

ad un particolare valore ( )=l

lim f x

x → x 0

N.B. se i due limiti destro e sinistro sono diversi tra loro, allora il limite NON ESISTE

CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE ( )=f ( )

lim f x x

f è continua in un valore x quando 0

0 x → x 0

- Discontinuità di I specie

−¿ +¿

( ) ( )

=l =l

x → x f x x → x f x l l = salto di



0 1 0 2 | |

−l

l

≠

1 2

¿ ¿

lim lim 1 2

¿ ¿

discontinuità

- Discontinuità di II specie

( )=±∞

lim f x

±

x → x 0

- Discontinuità di III specie (o eliminabile)

( )= ¿

f x lim

+¿ ( ) =l

x→ x f x

0 con f(x) l

−¿ ≠

¿

x→ x 0

¿

lim

¿

DERIVATE

Tasso di variazione medio di una grandezza rispetto ad un’altra tasso di variazione



istantaneo funzione derivata: misura quanto rapidamente avviene la variazione di una



grandezza rispetto ad un’altra

[ ]

( ) −f (

f a+h a)

Rapporto incrementale: h: tasso di variazione istantaneo

=f (

lim ' a)

h

h→ 0

Derivata di una funzione in un punto: valore che si ottiene dal limite del rapporto

incrementale quando alla variabile indipendente viene dato un incremento infinitesimo,

ovvero tendente a zero.

La derivata studia i punti stazionari (punti di massimo, minimo, flesso a tangente

orizzontale) e l’andamento della funzione (crescente o decrescente).

Regole generali di derivazione:

- f(x)=x f’(x)=1

n n–1

- f(x)=x f’(x)=nx

- f(x)=k f’(x)=0

- [f(x) g(x)]’ = f’(x) g’(x)

± ±

- [c*f(x)]’ = c*f’(x)

- y=f(x)*g(x) y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

' '

( ) ( )−f ( ) ( )

f x g x x g x

( )

f x

- y= y’= 2

[ ]

( )

g x ( )

g x

- f(x)=lnx f’(x)=1/x

1

- f(x)=log x f’(x)

b xlnb

x x

- f(x)=e f’(x)=e

x x

- f(x)=a f’(x)=a lna

N.B. una funzione in un punto può essere continua ma non derivabile.

Derivata applicata in ambito economico: C(x) C’(x) costo marginale



R(x) R’(x) ricavo marginale



P(x) P’(x) profitto marginale



Costo medio: costo che mediamente sostiene un’azienda per produrre un’unità di bene

(x)=C (x)/x

Ć T

PUNTI DA MONITORARE

Stazionari: con retta tangente al grafico orizzontale (max, min e flesso a tan orizzontale)

Singolari: di cui non esiste la derivata (flesso a tan verticale, cuspide, punto angoloso)

Terminali: agli estremi del dominio della funzione (max relativo, min relativo)

Derivata seconda: derivata della derivata prima, indica se la funzione è concava (f’’<0) o

convessa (f’’>0)

Estremi relativi: detti anche locali perché la loro validità si avverte solo in un intervallo del

grafico (intorno) massimo e minimo relativi



Estremi assoluti: detti anche globali perché la loro validità si esplica su tutto il grafico (in

tutto il dominio) massimo e minimo assoluti



ELASTICITÀ DELLA DOMANDA

−∆ Q ×100 variazione percentuale della domanda conseguente a un aumento di

Q

prezzo −∆

∆p Q

×100> × 100 domanda inelastica

p Q

∆p ∆Q

×100← × 100 domanda elastica

p Q

−∆ Q p

×

E = oppure E = –Q’*p/Q

∆p Q

Se E>1 domanda elastica

Se E<1 domanda inelastica

Se E=1 domanda unitaria

GRAFICO DELLA FUNZIONE

1) individuazione tipologia di funzione

2) determinazione del dominio

3) eventuali