Appunti Matematica 2

LIMITI DI SUCCESSIONI

Limiti di successioni notevoli:

• Se a > 1, allora lim a = +∞
• Se a = 1, allora lim a = 1
• Se 0 < a < 1, allora lim a = -10
• Non esiste il limite se a ≤ -1

Per ogni a > 0, si ha lim a = 1

Limiti di successioni notevoli:

• Se b > 0, allora lim n = 0
• Se b < 0, allora lim n = +∞

Per ogni b, si ha lim n = 1

Limiti coinvolgenti funzioni trigonometriche:

Per ogni successione x > 0, si ha lim sin(x) = 0, lim cos(x) = 1, lim sin(x)/x = 1, lim cos(x)/x = 0

Limiti coinvolgenti funzioni esponenziali e logaritmiche:

Per ogni a > 1, si ha lim a^x = +∞ se x → +∞, lim a^x = 0 se x → -∞

Per ogni a > 0, si ha lim log(x) = 0 se x → 1, lim log(x) = +∞ se x → +∞

+−∞ →se x 0n→Per ogni succesione x +∞ si han 1 x nlim (1 + ) = exn→+∞ n→Per ogni x 0 risultan x − 1e log(1 + x )n n=1lim =1e limx xn→+∞ n→+∞n n∈ \ {0} →dove log x = log x. Inoltre, per ogni α ed ogni x 0 si haR ne α −(1 + x ) 1nlim = αxn→+∞ nInfiniti di ordine crescenteOsservato che per ogni b > 0 e a > 1 risultab n nlim log n = lim n = lim a = lim n! = lim n = +∞n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞valgono b nn a n!log n = lim = lim = lim =0lim b n nn a n! nn→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞2La relazione di asintotico → ∼ →Due successioni (a ) e (b ) sono dette asintotiche per n +∞, e si scrive a b per n +∞,n n n nse a n = 1.lim bn→+∞ n∈ \ {0} ∼In particolare, se lim a = ` allora a `.Rn nn→+∞Sono immediate le seguenti

proprietà:∼ ∈ ∪ {±∞}a) Se a b e lim b = ` allora lim a = ` .Rn n n nn→+∞ n→+∞∼ ∼ ∼Se a b e b c allora a c .b) n n n n n n b c ca n n nn ∼ ∼∼ ∼c) ,Se a b allora per ogni successione (c ) si ha a c b c , .n n n n n n n c c a bn n n nAlcune osservazioni. Esistono successioni che ammettono lo stesso limite ma che non sono2 4asintotiche (si pensi ad esempio alle successioni a = n e b = n ).n nLa proprietà a) afferma che due successioni asintotiche (a ) e (b ) ammettono lo stesso limiten n 2− →(purchè regolari) ma non necessariamente che a b 0 (si pensi alle successioni a = n + nn n n2e b = n + 1).nLa proprietà c), anche chiamata Principio di sostituzione, vale per prodotti e rapporti disuccessioni ma non vale in generale per somme e differenze di successioni. Si considerino ad√√ 2 2n + n + 1, b = n e c = n + 1. Abbiamoesempio le successioni a = n nn r 1 1 ∼1 + + n = b .a = n nn 2n

nmentre √ √ 1 1n√ √2 2− − →a c = =n + n + 1 n + 1 =n n q q 22 2n + n + 1 + n + 1 1 1 1+ +1+ 1+2 2n n ne √ −1√2− − →n + 1 =b c = n 0n n 2n + n + 1− 6∼ −Dunque a c b c (se cosı̀ fosse per a) i due limiti dovrebbero essere uguali).n n n n 3

Qualche esempio(1) Calcolare n−n log(n + e ) .lim n−n log(2n + e )n→+∞ ∞−∞Osserviamo che il limite si presenta nella forma indeterminata abbiamo però∞−∞n nnn −n log(e ( + 1)) log( + 1)−n log(n + e ) n ne elim = lim = lim2n 2nn− n−n log(2n + e ) n log(e ( + 1)) log( + 1)n→+∞ n→+∞ n→+∞n ne en ∞ed essendo lim . Ora,= 0, ci siamo ricondotti ad una forma indeterminata del tipo ∞nen→∞ log(1 + x )n →ricordando che lim = 1 per ogni x 0, possiamo procedere nel seguente modonxn→+∞ n n +1)log( ne nnlog( + 1) 1nn nene

elim = lim = .2n 2n2n 2log( + 1) +1)n→+∞ n→∞ enlog(n ne e2nen

Il risultato si poteva ottenere utilizzando la relazione di asintotico ed i limiti notevoli sopra nelseguente modo n nn log( + 1)−n log(n + e ) 1n ne e∼= =2n 2nn−n log(2n + e ) 2log( + 1)n ne e(2)

Calcolare 2sin( )n−1lim .qn→∞ 1 − 24 + n 1 −sin(x ) (1 + x ) 1 12n n →

Essendo noto che lim = 1 e che lim = per ogni x 0, otteniamonx x 2n→+∞ n→+∞n n2 2 2 2 11sin( sin( sin() ) )n−1 n−1 n−1 n−1 n−14n = 8.lim = lim = lim2 2 1q q qn→∞ n→∞ n→∞1 1 1− − −4+ 2 2( 1 + 1) 1 + 1n−1 n−1 4nn 4n 4nUtilizzando la relazione di asintotico, dai limiti notevoli ricordati sopra si ottiene2 2 2sin( ) sin( ) 8nn−1 n−1 n−1∼= =11q q −n 121 1− −4 + 2( 1 +2 1) 2 4nn 4nda cui 2sin( ) 8nn−1lim = lim = 8.q −n 1n→∞

n→∞1 −4 + 2n 4(3) Calcolare al variare di α > 0 il limite 2 α 2 α−lim log(1 + (n + 2) (n + 1) ).n→+∞ α −(1 + x ) 1n →Osserviamo innanzitutto che dal limite notevole lim = α per ogni x 0 sinxn→+∞ nottiene 2n + 22 α 2 α 2 α α− −(n + 2) (n + 1) = (n + 1) [( ) 1] =2n + 11 12 α α 2 α− ∼(n + 1) [(1 + ) 1] (n + 1) α =2 2n +1 n +12 α−1= α(n + 1)2 α 2 α− →Quindi, se α > 1 si ha (n + 2) (n + 1) +∞ e dunque2 α 2 α− →log(1 + (n + 2) (n + 1) ) +∞2 α 2 α− →Se α = 1 allora (n + 2) (n + 1) α = 1 da cui2 α 2 α− →log(1 + (n + 2) (n + 1) ) log 2 log(1 + x )n2 α 2 α− →Infine, se α < 1 allora (n + 2) (n + 1) 0 e dal limite notevole lim =1xn→+∞ n→per ogni x 0 si

ottienen 2 α 2 α 2 α 2 α− ∼ −log(1 + (n + 2) (n + 1) ) (n + 2) (n + 1)e quindi 2 α 2 α− →log(1 + (n + 2) (n + 1) ) 0

Riunendo i risultati sopra otteniamo +∞ se α > 1(2 α 2 α−lim log(1 + (n + 2) (n + 1) ) = log 2 se α = 1n→+∞ 0 se α < 1

Esercizi √ √3 32 2− −n + n + 1 n 1

Calcolare i seguenti limiti:

1. lim [0]nn→+∞n −n 4 −3
2. lim [e ] ∈

Calcolare al variare di α i seguenti limiti:

1. lim −n 1 Rn→+∞ n 2 4−(2 n ) 1α[1]
2. lim −1. lim n (1 cos( )) [0 per ogni α]n 4 2− n(4 n ) 2n→+∞ n→+∞ α−n2 n n−
3. lim n log(1 2 ) [0] −2. lim (n e )n→+∞ n→+∞ ≥[−∞ se α < 1 e +∞ se α 1]sin n√
4. lim [0]4 3 2−n→+∞ n + n n 1sin( )3n
5. lim2 2−log(n + n) log(n ) 1

1. qn→+∞
2. 13 −1+ 15
3. lim ][ αn² 2n→+∞
4. sin [0 se α < 3, 3 se α = 3 e +∞ se α > 3]n1 α−e 1 log(n + 1)n
5. lim [1] 4
6. lim−log(n + 1) log n log nn→+∞
7. n→+∞ ≤[0 se α 0 e α se α > 0]n n+1−7
8. lim [(n + 1) n ] [−∞]n→+∞
9. nlog(e + 1)5. limn nlog[3 + cos(3 )] αnn→+∞[log 3]
10. lim nn→+∞ [+∞ se α < 1, 1 se α = 1 e 0 se α > 1]1 √ √
11. lim [+∞] 4 3 4 3− −n + n n n−n4log(n ) sin(2 )n→+∞
12. lim αn + nn→+∞n+3 )n log( 1n√ [1 se α < 1, se α = 1 e 0 se α > 1][0]
13. lim 2n n2n→+∞ 2√ nsin(α )n n n
14. lim 2 + 3 [3] 7. lim con α > 0α−1nn→+∞ n→+∞ 6[0 se α = 1, sin 1 se α = 1]nlog(1 + e )√
15. lim [1]2n→+∞ 1 + n p p5

5α 2 2−8. lim n ( n + n n + 2n + 1)n→+∞n n log n−e 213. lim [0] 35 1 3 3[+∞ se α > , se α = e 0 se α <nn 5 5 5n→+∞ 6

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