Appunti Lezioni Meccanica dei fluidi

15/03/2019

Dinamica

La differenza tra cinematica e dinamica sta nel fatto che nella dinamica considero l'effetto delle forze, mentre nella cinematica no. Il primo concetto che è necessario introdurre è quello di volume materiale, ossia il volume costituito da un certo numero di particelle fluide, cioè elementi costitutivi incomprimibili, la cui natura non varia.

Una volta identificato il numero di particelle fluide, il volume materiale si sposta, quindi si modifica nello spazio e nel tempo, ma continuerà sempre lo stesso numero di particelle.

Es. Immaginiate che al tempo t₀ il volume materiale sia costituito dall'aula e le parti fisse siano gli studenti (il cui numero è 6) e il volume materiale costituito dalla lavagna. Quando le particelle (lo studente) fa risultato sicuramente deformato in quanto gli studenti si saranno spostati.

Il volume materiale è una formulazione lagrangiana, in quanto segue, nello spazio e nel tempo, ogni singolo particella, cosa che si è definitivamente di difficile da definire e seguire, per questo definiamo il volume di controllo che, a differenza del volume materiale, è fisso nello spazio e costante nel tempo. Per quanto appena detto possiamo scrivere che:

Vc ≠ Vm(t)_t≠cost

Ossia che il volume di controllo coincide con il volume materiale iniziale, cioè to e nello stesso istante t₀, se l'allora il volume di controllo fosse una determinata parte dell'aula, già potrebbe allora entrare e uscire, ma una forza della calcolatrice sarebbe entrata e uscire lentamente (ronrona gli studenti) aumentando un volume materiale così deformato il volume di controllo, non un volume fisse abitante dei risultati detto che un dato volume di controllo in una formulazione euleriana, cioè il volume di controllo o che serra una fossa del volume materiale fatta in un certo tempo, agli stessi così che volume materiale in un certo istante, dopodichè il volume materiale continua qua da modificare invece il volume di controllo rimane fisso.

Flusso

Il flusso in generale è l'integrale su superficie del prodotto scalare tra una generica grandezza e la normalizzata alla superficie è:

Flusso: ∮_S b⋅n d_S = ∫∫_S b⋅n d_S

In meccanica dei fluidi il flusso è legato a qualcosa che si muove, quindi utilizzato in una definizione di flusso data da:

Φ_f = b(ū⋅n̅)d_S

ossia l'integrale di una certa grandezza, la quale viene trasportata dalla velocità, per il prodotto scalare della velocità con la normale.

Quindi affinché ci sia un flusso deve essere presente una velocità e questa velocità transiterà da determinate grandezza, come per esempio la massa, la temperaturea e la quantità η(&..ipa).

Il fatto che per essere definito, vada bisogno del prodotto scalare tra la velocità e la normale, cioè a dire che dipenda dalla superficie che abbiamo definito, infatti se

ū⋅n̅ = |ū| |n̅| (cos (90°))

ū̅ _normale a il flusso è nullo ū̅ _{inclinata rispetto a} avremo un flusso minore rispetto a un caso di ū̅ || a ≠ 0

Questo è dovuto al fatto che la definizione di flusso compare un prodotto scalare, per cui all'aumentare dell'angolo si riduce il flusso. Se i due vettori sono paralleli, il che vuol dire che l'angolo è nullo il flusso è massimo. Se l'angolo è parzialmente, il flusso è inferiore. Infatti il volume influenzato sarebbe l'area proiettata del volume che abbiamo al momento della direzione sta nella direzione del fascio di velocità proiettato sulla normale alla superficie, il coseno di θ rappresenta un fattore di riduzione.

Possiamo quindi concludere che il flusso attraverso la superficie dipende dalla direzione reciproca tra la superficie e il vettore velocità o in modo equivalente, tra la normale che definisce la superficie e il vettore velocità.

Teorema di Gauss-Green

Il teorema di Gauss-Green nasce come teorema della divergenza, definito per la prima volta nell'idraulica dell'Ottocento, che afferma che l'integrale di volume della divergenza di una certa grandezza in v è uguale all'integrale di superficie, della medesima grandezza moltiplicata scalarmente per n, in dS.

Il teorema della divergenza ci dice che il flusso causa variazioni di volume.

Quindi in realtà il teorema della divergenza nasce con lo scopo di spiegare una cosa fisica molto chiara, ossia che le variazioni di volumi sono causate da flussi, in particolare poiché variazioni di volume sono causate da equilibri tra flusso entrante e flusso uscente.

Se il fluido considerato è incomprimibile la divergenza di v è nulla, quindi l'integrale di tutti i flussi entranti è uscente in un volume, ossia il flusso entrante è uguale a quello uscente (se il segno di entrambi è opposto): se il fluido incompibile, tanta ne spingo dentro e tanta me ne esce fuori.

Ad un certo punto i matematici si rendono conto che questo integrale ci permette di passare da forti formulazioni (cioè integrali su volumi) a formulazioni più deboli e calcolabili (grandi integrali su superfici) allora, tra tutto questo, il teorema di Gauss-Green. Noi uscendo questo teorema per passare da integrali su superfici a integrali su volumi.

Vedremo che, per passare da integrali di volume a integrali di superficie, oppure, per variare, dobbiamo fare i conti dei flussi e per concludere dobbiamo osservare che quanto esce dai volumi può essere scritto come la differenza tra l'integrale e integrale di superficie.

Infatti, dal senso fisico ci appare chiaro che il flusso è causa delle variazioni di volume.

La formulazione precedente, scritta in forma indicare è data da:

Equazioni di bilancio Globali e Locali

Fare dei bilanci significa scrivere delle equazioni che mettono in luce come varia una certa quantità per via di determinati cause. Ma prima di tutto bisogna chiarire cosa vuol dire formulare una equazione di bilancio:

In base al principio di conservazione (per esempio massa, energia) la variazione di una quantità in un dominio tridimensionale deve essere uguale a quante lascio in un certo tempo. Parlando di equilibrio tra flussi. Lo zero significa che tanto entra tanto esce: possiamo esemplificare che ciò che entra rimane all'interno del dominio.

Bilanci globali: Prendo un volume e vedo cosa avviene sull'ingresso e sull'uscita di tale volume, senza interessarsi a ciò che avviene al suo interno.

Ridisegnando:

Se voglio calcolare il volume di questa figura geometrica devo fare il prodotto tra base e altezza, dove la base è

dS e h = u · Δt · cosα.

dV = h · dS = u · Δt · cosα · dS

dV = dS · h = dS · u · Δt · cosα

Δt_e ∫_Sc A(t_e) A(t_e + Δt)

∫_Sc A(t_e + Δt)

Facendo un cambio di variabile nel secondo termine otteniamo:

lim_{Δt → 0} ∫_Sc (A(t_e + Δt) - A(t_e)) / Δt dS = dV · dS

Allora A(t_e + Δt) diventa A(t_e), in particolare siccome stiamo integrando su S_c sparisce la dipendenza dal tempo.

Unendo il primo e il secondo termine, otteniamo la I formulazione del teorema di Reynolds

forma vettoriale

forma indiciale

Se voglio tener conto della variazione della quantità A e, non uso più una derivata totale e un volume materiale, ma voglio usare una derivata locale e un volume di controllo separato. Questo volume di controllo è fisso nello spazio nel tempo, quindi quantità A nel volume di controllo può variare. È infatti possibile che ci siano flussi nei volumi di controllo.

Si può ottenere anche la II formulazione usando il flusso uscente (u · o) rispetto al flusso uscente (u · o) che esce dalla superficie

teorema della divergenza in forma indiciale e dioce che:

∫_V b_ii dV = ∫_S b_nj n_j dS