Appunti di Meccanica dei Fluidi

Meccanica dei fluidi

Il fluido si può distinguere in

• Liquidi: hanno volume proprio ma forma propria
• Gas: non hanno volume proprio ma hanno forma propria.

Le proprietà del continuo fluido sono

• Densità: _lim ΔM/ΔV [kg/m³]

La densità quindi è una funzione che dipende dalla posizione e dal tempo.

• _H2O = 1000 kg/m³
• Aria = 1,2 kg/m³
• Olio = 916 kg/m³

Peso specifico: _lim P/ΔV [N/m³]

Sappiamo che per i fluidi: ρ = ρ(P,Π) pressione e temperatura.

Per l'acqua a Π=4^oC si ha il massimo della densità.

Si considera ρ = ρ(P,T)

Si esegue il differenziale dρ = (∂ρ/∂P)_T dP + (∂ρ/∂T)_P dT

Si introduce ε = (1/ρ) (∂ρ/∂P)_T [1/m²] coeff. di comprimibilità isoterma

Si introduce α = (1/ρ) (∂ρ/∂T)_P [1/m²] coeff. di dilatabilità isobara

allora dρ/ρ = (dP/ε) - α dT EQ. DI STATO DELLA DENSITÀ

=> ε = ε(T,P) => ε₀ = 2,2 · 10⁹ 1/m²

=> α = α(T,P) => α₀ = 20,66 · 10^-5 K^-1

- Viscosità può essere

- Dinamica µ µ_H2O = 10^-3 kg/ms µ_Aria = 1,8·10^-5 kg/ms

- Cinematica ν | µ = ρν => ν = µ/ρ ν_H2O = 10^-6 m²/s ν_Aria = 1,5 · 10^-5 m²/s

È una misura dell'attrito interno, si oppone all'azione delle tensioni tangenziali.

La lastra superiore muovendosi come trasferisce il moto al fluido?

Claudio Spremulli

CAPILLARITÀ

Aggisce come se tirasse verso l'alto l'acqua

L'altezza h è determinata bilanciando la Tensione σ col peso della colonna di liquido.

σ_{cos Θ} 2πR = ρ πR²h

ρgh

⇒ σ_{cos Θ} 2πR = ρ g πR²h

⇒ h = 2σ_{cos Θ} / ρ g R

= 4σ_{cos Θ} / ρ g d

→ Legge di Jurin-Borelli.

L'altezza risulta inversamente proporzionale al diametro (quindi ha un senso fisico).

Esercizio

Sia Θ=0° d=0,6 mm σ=0,073 N/mm

⇒ h = 4 0,0073 N/mm * 1 / 1000 kg/m³ 9,81 m/s² 0,6 mm

= 54,1 mm.

Esempio di azione per capillarità: IDROCORIA → Dispersione semi nell'acqua

I semi sono estratti dalle piante a causa della tensione superficiale che bagna la Pianta attraendo quindi i semi.

- CHEERIOS EFFECT

In un succo deformante correzioni del liquido.

Il cheerios ha σ < ρ σ quindi. Tende a

salir risentendo della Tensione superficiale che bagna i cheerios vicini facendo sì

quindi che questi si uniscano.

Claudio Sporemulli

Meccanica dei fluidi: 09/03/17

• Per passare da un sist di rif euleriano a lagrangiano
  1. dF/dt = ∂F/∂t + ∇F · ⃗v

Accelerazione

• d⃗v/dt = ∂⃗v/∂t + ⃗v · ∇⃗v
• Inerzia Convettiva = riferimento non lineare
• Inerzia locale

Analisi locale del moto

Nota la velocità in P₀, quanto vale la velocità nel punto P appartenente all'intorno di P₀ distante dx da esso?

Sviluppo in serie troncato di 1° ordine

• V_P = V_P₀ + ∇⃗v|_P dx + o(|dx|²)
• F(x) + F'(x)(x - x_₀) + infinitesimi di ordine superiore (trascurabili)

Si oss. ∇⃗v = grad ⃗v = D + Ω (6 grandezze + 3 grandezze)

• D = Simmetrico
  1. ⃗v_x,x ½(⃗v_y,x + ⃗v_x,y)
  2. ½(⃗v_y,x + ⃗v_x,y) ⃗v_y,y
• Ω = Anti-simmetrico
  1. 0 ½(⃗v_x,y - ⃗v_y,x)
  2. -½(⃗v_x,y - ⃗v_y,x) 0

Per moti Piani

(Figure di diagrammi)

Claudio Spremulli

Principio conservazione della massa in forma locale

I° Principio per definizione

d/dt ∫_v(t) ρ dV = ∂/∂t ∫_V ρ dV + ∫_S ρ v._m dS =

Per il THM della divergenza

∂/∂t ∫_V ρ dV + ∫_∂V (ρ v .v) dV =

= ∫_V ( ∂ρ/∂t + ∇.(ρv) ) dv = 0

{} _{∂ρ/∂t + ∇.(ρv) = 0 → Eq. di Continuità}

Sviluppando i calcoli:

∫_V ( ∂ρ/∂t + ∇.(ρv) + v∇.ρ ) dv = ∫_V ( ∂ρ/∂t + ∇.ρv ) dV = 0

⇒ ∂ρ/∂t + ρ∇.v = 0 _{→ Altra forma di Eq. di Continuità}

Esplicitando la divergenza

∂ρ/∂t + ρ ( ∂v_x/∂x + ∂v_y/∂y + ∂v_z/∂z ) = 0

= ∂ρ/∂t + ∂ρ/∂t + v_x ∂ρ/∂x + v_y ∂ρ/∂y + v_z ∂ρ/∂z

=> In forma locale esplicita:

∂ρ/∂t + v_x ∂ρ/∂x + v_y ∂ρ/∂y + v_z ∂ρ/∂z + ρ ( ∂v_x/∂x + ∂v_y/∂y + ∂v_z/∂z ) = 0

Si scrive la componente dell’eq di Cauchy proiettata lungo la

direzione dundarale

→ g _l f ^l dV _l + Φ ₁ = 0

f = f (x _l )

→ x ^l = χ _i φ x ⁱ

P _rincipio M _omento d _ella q _uantita d _i M _oto ↔ T _i (Tensore degli sforzi) sommato.

Per una porzione interna al continuo

• ∫ g ( ^ζ ξ ʲ F ) dV + ∫ ( ³ζ^ξ ξ ) dS

dF_ζ = ^d dF^l ( ^{ζξ ξ ) dV}

V _ariazione m _omento q _uantita di moto

somma forza di massoa Variazione momento

Preso un m_assora s ^{forza di superficie}

Il bilancio della quantita di moto si riduce a

• ∫ ( ζξ x ξ )

Esercizio contenitore con due fluidi

Si hanno due fluidi diversi, logicamente con s₁ < s₂

• Disegnare la distribuzione delle Pressioni

P: sgz + cost

P(z=0) = cost = P_ATM = P(A)

P(3z=α) = s₁g α + cost = P(E)

P(3+α+b) = P(E) + s₂gb = s₁g α + s₂g b + P_ATM = P(C)

Oss: Fra i due fluidi, si impone la continuità delle Pressioni

Dim = La discontinuità dipende delle Tensioni superficiali: σ.

ΔP = 2σ/R - Re: linee orizzontali: R = ∞ quindi: ΔP = 0

allora si ha continuità delle Pressioni.

Poiché tutto il contenitore è circondato della Pressione atmosferica

• Si ottiene P_RELTIVA - P_ASSOLUTA - P_ATM ⇒ P_ass = 993 + P_ATM = P_°
• P_rel = 993 - P

⇒ Distribuzione delle Pressioni Relative

Claudio Sposmelli

Meccanica dei fluidi - 17/03/17

NB: usando il piezometro si ottengono colonne di liquido molto alte => si usa il manometro basandoci sulla misura del Δ_h, dando la differenza di pressione per minimizzare la differenza di Pressioni

Si osserva un fluido in movimento

In genere per un fluido in movimento il carico piezometrico h_i diminuisce seme il senso di moto del fluido.

h_a = ℧_c + P_c / δ   →   P_c = δ h_a - P₀

P₀ = δ (h_B - Δ) + δ_M Δ = δ (h_a - δ - Δ) + δ_M Δ

⇒ δ h_a = δ (h_a - δ - Δ) + δ_M Δ   →   - δ δ - δ Δ + δ_M Δ = ∅

⇒ δ δ = (δ_M - δ / δ) Δ