Appunti Meccanica dei fluidi

Meccanica dei fluidi

Libri di riferimento

• "Idraulica" Ciarni Noseda (2/3 corso)
• "Meccanica dei fluidi" Munson (Traduzione Lacon, Escobar)
• "Esercizi di meccanica dei fluidi" Cis eds.

Solido

• Caratterizzato da molecole molto ravvicinate
• Legami intermolecolari molto forti
• Distanza tra molecole rimane invariata
• Volume proprio
• Forma propria
• Si deformano e tornano allo stato iniziale

Fluido

• Molecole più distanti
• Forze intermolecolari più deboli
• Libertà di muoversi

Dividiamo i fluidi

• Liquidi:
  • Forze più intense che nei gas
  • Distanza tra particelle fissa
  • Volume proprio
• Gas:
  • Forze meno intense che nei liquidi
  • Distanza variabile
  • No volume/forma propria
  • Si deformano in maniera continua

Analisi tensoriale

Campo scalare: ∂(x,y,z,t) → ∂: numero

Campo vettoriale: δ = δ(x,y,z,t) → δ: vettore

δ = δ_x i + δ_y j + δ_z k

i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)

Modulo

W = W(ghezza)|δ| = √(δ_x² + δ_y² + δ_z²)

Direzione

Retta su cui giace il vettore

α = arccos δ_y / |δ|

Verso

δ_x > 0 (esempio) vettore concorde A i

Campo tensoriale

δ = δ(4,8,2,t) → δ funzione (mat 3x3)

δ_x δ_xy δ_xz | δ_x δ_yx δ_yy δ_yz | δ_y δ_zx δ_zy δ_zz | δ_z

Operazioni

Prodotto scalare tra vettori δ = (δ_x, δ_y, δ_z) Proprietà: Simmetrico δ.b = b.δ b = (b₁, b₂, b₃)

El Nullo: δ.b.c = δ.(b.c) = (δ_x b₁ + δ_y b₂ + δ_z b₃) δ.b = |δ||b| cos(δb)

∇_i = ∂_i∇.δ = δ.∇

Prodotto scalare tra vettore e tensore

δ = (δ_x, δ_y, δ_z)

b: (b_x4 b_y4 b_z4) (b_x6 b_y6 b_z6) (b_xy b_z6 b₂₂)

δ.b = (δ_x b_x4 + δ_y b_y6 + δ_z b_z) i + (δ_x b_y4 + δ_y b_y6 + δ_z g_z) j + (δ_x b_z4 δ_y g_zz δ_z b_z2) k

Prodotto vettoriale tra due vettori

a × b = | i j k || ∂_x ∂_y ∂_z | | bₓ bᵧ b₂ | = (∂_yb₂ - ∂_zbᵧ)i - (∂_xb₂- ∂_zbₓ)j + (∂_xbᵧ-∂_ybₓ)k

Prodotto tensoriale tra due vettori

a ⊗ b = | ∂_xbₓ ∂_xbᵧ ∂_xb₂ || ∂_ybₓ ∂_ybᵧ ∂_yb₂ || ∂_zbₓ ∂_zbᵧ ∂_zb₂ |

Operatore nabla

∇ = | ∂ ∂ ∂ || ─ i ─ j ─ k || ∂_x ∂_y ∂_z |

Gradiente di un unico scalare

∇Φ = (∂Φ/∂_x)i + (∂Φ/∂_y)j + (∂Φ/∂_z)k

Gradiente di un unico vettoriale

∇Φ = | ∂Φₓ/∂_x ∂Φᵧ/∂_x ∂Φ_z/∂_x || ∂Φₓ/∂_y ∂Φᵧ/∂_y ∂Φ_z/∂_y || ∂Φₓ/∂_z ∂Φᵧ/∂_z ∂Φ_z/∂_z |

Divergenza di un unico vettoriale

∇•Φ = (∂Φₓ/∂_x) + (∂Φᵧ/∂_y) + (∂Φ_z/∂_z)

Divergenza di un unico tensoriale

∇•Φ = | ∂ ∂ ∂ || ─ ─ ─ || ∂_x ∂_y ∂_z || aᵢ∂ bᵢ∂ cᵢ∂ | | ∂ ∂ ∂ || ─ ─ ─ | | ∂_x ∂_y ∂_z | ∇•Φ = (∂Φₓ/∂_x) + (∂Φᵧ/∂_y) + (∂Φ_z/∂_z)

Teorema della divergenza e del gradiente

• W= generico volume
• ∂A= superficie

Definiamo campo scalare Φ e restringe Φ in vettore risultante nella superficie ci permette di passare da un sistema a volume ad uno a superficie

∫_W ∇·Φ dω = ∫_A n̂ · Φ dA

∫_W ∇Φ dω = ∫_A ∂n Φ dA

Introduzione

Non considerando il singolo punto > sono le varie du che lo circondano per considerarlo il fluido come comportamento. Posso definire dunque una e