Appunti di Meccanica dei fluidi

Meccanica dei Fluidi

Fluido: corpo materiale che, a causa della mobilità delle particelle che lo compongono, subisce grandi variazioni di forma sotto l'azione di forze, a differenza dei solidi che risultano essere permanenti.

• I fluidi si pongono, quando sottoposti alle azioni di volume, a contatto con l'ambiente, a causa del considerato, occupano tutto il volume del recipiente in cui sono contenuti.
• I fluidi sono composti da molecole per loro natura (in quanto possiedono un numero così ampio di molecole, che si possono considerare continui).

Stati di sforzo interni in una massa fluida

Nello studio di sforzi continui si distinguono :

• Forze esterne che presiedono alla costruzione su tutte le particelle del sistema (proporzionali alle loro masse: peso).
• Forze di contatto che vengono esercitate dalle altre superfici in contatto.
• Sezione dA è riconducibile ad un'unica forza dII.

Si dice sforzo:

Φ = _dII/_dA

In ogni problema di meccanica dei fluidi bisogna determinare:

• Spazi dimensionali: (x,y)
• Sforzi normali: (G)
• Velocità: (v)
• Equazione fondamentale dell'equilibrio.

∆P = ∑f • ∆A, si dice spinta su A

Tetraedro di Cauchy

Dato il tetraedro in figura (che rappresenta un volume di fluido) imponendo l'equilibrio:

• ∑f = 0 ⇒ _∂dAn + ∂dAx - Φ_ydAy +Φ_zdAz + F•dv = 0
• dAn cos _x, dAn cos_y, dAn cos_z, trascorata parte finita, seno di divisione, 3 d ordine
• Φ = kx cos n_x + kc cos n_y + kz cos n_z

Essendo φ = φ₁ φ₂ φ₃, si possono scomporre nelle loro coordinate

Si definisce tensore degli sforzi:

il tensore degli sforzi è rappresentato da una matrice simmetrica.

Infatti si può dire che le forze sono applicate sui baricentri delle varie facce. Calcolando un nuovo sistema

dφ_x d = trascurabile perché infinitesima di ordine G

- φ_y dA₂ non danno momento perché le rette di applicazione passano per G×e_x

φ_xy = φ_yx

Ragionamento analogo per y₁ e z!

Prendo in considerazione una particella infinitesima di fluido come in figura.

Siccome è parte integrante di archi si possono trattare come segmenti:

A → wAB̅ = wr dtωB = ω x AB̅VτB = (w+ω) r

A'B' = (w+dw) r dtB"B' = ωrt dt

Si: I = la flusso tangenziale che mette in moto il cilindro esterno, lo strumento misura la coppia C = μ I → C = r T

Data la legge di Newtonτ = 2 πrL μ w / T

R_B∫_{R_A} dr / r³ = 2πLρ²R_B^2R_A

L'idrostatica

DEFINIZIONE di pressione relativa: p = p" - p₀

NB: essa vale solo con pressioni assolute che variano

Spinte idrostatiche

Sia A una superficie qualsiasi ed A una versione infinitesima di versione normale n. La spinta S su tale area dove vale:

Superficie d'area (cfr. la figura)

nel caso di superficie piana, il vettore n è costante, perciò

nel caso di pressione

nel caso di depressione

dove p₀ è la pressione del baricentro.

Le coordinate ξ e η del centro di spinta risultano individuate quando

x_G A

x_G A

x_G A

Note:

asse y: retta di sponda

asse x: retta di massima pendenza del piano

Siccome x_p, y_p, z_p nel sistema lagrangiano sono uguali a quello euleriano

viene detta accelerazione locale e rappresenta la variazione subita della velocità nel punto. Se il campo non dipende dal tempo, questa è nulla.

viene detta accelerazione convettiva e rappresenta l'accelerazione ottenuta dallo spostamento di velocità subita dalla particella per essersi spostata da un punto all'altro all'interno della traiettoria.

• Nelle descrizioni del moto di un fluido si utilizzano diversi tipi di linee
• Linea di corrente (o di flusso): linea tangente in ciascuno dei suoi punti
• Linee di fiume: curva ottenuta dall'insieme delle particelle passate in un punto P

Noti particolari:

• Traslatorio o vario: la velocità varia sia nello spazio che nel tempo
• Uniforme: se le velocità non dipendono né dello spazio né del tempo

Noti la deformazione degli elementi fluidi

Quindi

_∂ρ/_∂t + ∇(ρv) = 0

equazione indefinita

NB: nel caso di un fluido incomprimibile

_∂ρ/_∂t = 0 ⇒ ρ = costante

Quindi ∇v = 0 ⇒ v costante

In questo caso la massa che esita nel volumetto deve uguagliare la massa che esce

Si prende ora di riferimento un generico volume, integrando su questo volume l'equazione indefinita, si ottiene:

3: _∂ρ/_∂t dV = 5: ∇(ρv)dV

per il teorema di Green (considerando n entrante)

1: _∂ρ/_∂t dV = 2: ∫_A ρ(v n)dA

NB: ci si può arrivare anche tramite il significato fisico:

dm = ∫_t ∂(vol)·dVdt - ∫_t ∂ρ/_∂t ·dVdt

L'unica componente della velocità rispetto alle superfici che dà differenza di uscita è quella normale

dm = ∫_t ∂(v0)·dVdt - ∫_t ∂ρ/_∂t dvdt = ∫_A(v·n)·dA dt

• · Si definiscono le seguenti quantità:
• v(ρn)dt = ΔQ portata volumetrica [Δ_m3/_Δs]
• √ _A v(ρn)dt = ∫Q portata volumetrica attraverso la superficie [∫Δ_m3/_Δs]
• ρ(_vn)dt = Δm portata massica [Δ^m{-2}
• √ _A ρ(v·n)dA = ∫Q portata massica [Δm/^{-2]

Δm^m portata massica in entrata

-ml portata massica in uscita

→ La legge può essere scritta nel seguente modo

Δm^m -mn - _A ∂ρ/_∂t dV

NB: un fluido incomprimibile -mn -mn ma anche - mn

• · _∂ρ/_∂t rappresenta la diminuzione nel tempo della massa nel volume
• · ρ(_vn)dA rappresenta il flusso netto di massa sulla superficie di contorno

Nel punto B il fluido si ferma (punto di ristagno)

Per il Teorema di Bernoulli:

Quindi _VB = 0 → _VA = √(2gδ)

Teorema di Bernoulli esteso ad una corrente di sezione finita

DEF: si definisce portata di una corrente in una sezione l'energia posseduta dal fluido che attraversa quella sezione nell’unità di tempo, misurata rispetto ad un piano orizzontale, delineato delle quote.

Si considerano le sezioni in tale caso infinitesime, e quindi in tanti piani di flusso di sezione infinitesima, che rappresentano la traiettoria di una particella di fluido. Nelle ipotesi del teorema di Bernoulli:

H = i + _p + Z (H costante)

Siccome si tratta infinite di un moto stazionario: _{dl - dρ} →

dP = γHdVdA = γHvΔ = costante

H₂ esercita su un solo peso posseduto dall’interno → γH è potenziale *

*per unità di volume > γHv♁ è la potenza per unità di cosa

Siccome H e eda sono costanti, allora anche dρ si conserva

In generale quindi, in tutta la sezione:

γ_HvdA = costante → P - ∫γHvΔdA = ∫₂x {^p/_γ^2 + _v²} γdA =

= ∫x _{^p/γ}γvdA + _∫γv³/_2qvdA = ∫{^{x^2}/_γ}

Premio nel caso di corrente lineare la γata presentata è costante lungo la sezione trasversale (probostatica lunga ní × b)

P - Q(γ + _p/_γ) + _γ/_2qγvdA