Appunti Idrodinamica 2 (magistrale) - Parte 1

IDRODINAMICA

Il moto dei fluidi è complesso per diversi motivi:

• è tridimensionale

• Le equazioni sono non lineari

• Spesso le interfacce sono mobili, e non conosciamo la forma dell’interfaccia (moto ondoso per esempio)

• Si sviluppa turbolenza e comportamento caotico

Sperimentali

Tra le tecniche di indagine rientrano Simulazioni numeriche

Risultati sperimentali

Spesso per indagare si usano dei modelli per riuscire a risparmiare un minimo.

Il principale problema dei modelli in scala ridotta è che non si riesca a mantenere costante contemporaneamente

numero di Reynolds e di Froude, quindi uno dei due non verrà mantenuto.

Le simulazioni numeriche consistono nel prendere le equazioni che governano il fluido e integrarle numericamente.

Il modo 3D dei fluidi viene affrontato con modelli più sofisticati (e avanzati):

• moto ad alti numeri di Reynolds: schema di moto irrotazionale, schema di strato limite

• moti a bassi numeri di Reynolds: Stoke flow, approssimazione di Oseen

• modelli di turbolenza

Nel corso andremo ad illustrare i modelli semplificati che si usano nello studio dei fluidi caratterizzati da alti valori del

numero di Reynolds. ND

Numero di Reynolds Re ↓

> = D

~

ARGOMENTI DEL CORSO

Cinematica: descrizione del moto dei fluidi

Dinamica: come il fluido risponde alle forze esercitate dall’esterno

Da queste saremo in grado di ricavare le equazioni del moto, che si basano sui principi fisici.

In seguito le equazioni vanno abbinate a delle condizioni al contorno.

Le equazioni che otterremo sono non lineari.

L’unico caso in cui è possibile risolvere le equazioni del moto è nei moti unidirezionali.

Moti irrotazionale: la portanza, la resistenza indotta e la forma massa aggiunta

Lo strato limite: le resistenze viscose e di forma

LA CINEMATICA

Il valore assunto da una qualunque caratteristica del fluido al variare del tempo e dello spazio è descritto da funzioni continue.

Per studiare un fluido in moto si possono usare due diverse descrizioni:

Coordinate euleriane (31 (3) Questa generica grandezza F avrà un valore diverso in funzione

)(2

22

:

Descrizione Euleriana = , ,

Descrizione del moto della posizione che considero nello spazio è del tempo.

t)

(((

F f

: = , ,

Moto stazionario: moto in cui espresso in coordinate Euleriane non compare il tempo.

X3)

Coordinate: Posizione iniziale occupata dalla

(X X2

X = ., ,

Descrizione Lagrangiana particella all’istante iniziale

Descrizione del moto: t)

f2(X

F = ,

In questo caso le variabili non saranno più le coordinate nello spazio ma le particelle.

Domanda si !

Se abbiamo a che fare con un moto stazionario, nella descrizione lagrangiana, comparirà il tempo?

Se fisso il valore di X, considero la particella X che si muove nel tempo, quindi avrò comunque la dipendenza

dal tempo. In un moto Lagrangiano l’unico momento in cui non ho diependenza dal tempo è se non ho

spostamento.

Derivata materiale di F Derivata locale di F

(coordinate Lagrangiane) (coordinate Euleriane)

F f (x t)

F f2(X t) I

= ,

= , =

d f2(X t)

2 ,

- At

Domanda EF

d F

Il risultato di coincide con quello di (ad es se F=ρ)?

St

dt

Se faccio la derivata materiale, sto vedendo come varia F mantenendo fissa X.

Se faccio la derivata locale, fisso la X, vado in quella posizione, per quella posizione passeranno particelle diverse, e

in quella posizione vedo come varia la densità.

Quindi la risposta è no!

VELOCITÀ

La velocita v di una particella è la derivata della sua posizione rispetto al tempo.

La velocita è una quantità vettoriale. (Relazione vettoriale)

Per calcolare v è necessario conoscere t)

y(X

2 = , t)

(X1 X3

Y X2

(C ,

= ,

. ,

Scrivere le componenti di t)

y(X

( =

> 42(X1 t)

X3

X2

, (2 = , ,

, t)

yg(X1 X3

(23 X2

= ,

,

,

Domanda

Se si fissa X e si fa variare t, la relazione sopra a quale linea corrisponde?

Questi mi da la traiettoria, quindi la posizione di X al variare del tempo.

t)

(X

api

Velocità di una particella fluida 3)

(i (modo

, Breve)

Vi 2

1

=

> +

= ,

At ,

descrizione

L Lagrangiana moto

del

Domanda

Cosa rappresenta dal punto di vista fisico la relazione: 33t)

(x1

Vk >(2

Vi = ,

= ,

,

Rappresenta la kesima componente di velocità nella posizione individuata da x1, x2, x3 e al tempo t.

ACCELERAZIONE

Accelerazione di una particella fluida (descrizione Lagrangiana del moto)

t)

dVk 52 X3

X2

(X (k 3)

an 2

1

, ,

,

= =

= , ,

dt at2

Problema:

Come è possibile calcolare l’accelerazione se si ha a disposizione solo la descrizione euleriana della velocità?

Utilizziamo la trasformazione di coordinate che abbiamo visto precedentemente:

p(X Ci consente di trasformare le coordinate lagrangiane in coordinate Euleriane

t)

x = , Ci permette di trasformare coordinate Euleriane in Lagrangiane

t)

(x

P

X = , 3)

t)(j

X3 2

1

Yj(X1 Xz

xi =

= ,

,

= , ,

, 3)

¢ (j

j(x 2

1

Xi t)

(2) (3

= = =

, ,

,

,

Affinche una funzione sia invertibile una funzione deve essere iniettiva e suriettiva. Quindi vuol dire che ad ogni punto

del dominio deve appartenere un punto del codominio. Questo nel caso di fluido in un moto è sempre verificato.

Problema: dE

fi(X t) calcolare

F = , dt

Afz

dF

dt 1

G +

(X t)

(1 y

= , ,

42(X

xz t)

= ,

43(X t)

x3 = , t)

(X2

(X

(U (13 t)

fi t)

t)

# f 43

t)

((( Ye

)(3

32 =

i . , , ,

, ,

, ,

, ,

, ATG

Si ottiene dunque > Fa(q

F

Ricaviamo la relazione. Abbiamo y(X

t) t)

2

= ; = i

,

Possiamo allora scrivere che F1(y(X

Fa(c t) Fz(X derivata

t)

t) locale

t)

( = ~

= ,

, , , A

EFG

G CT2

FGXp GEs Efe

noi vogliamo calcolare +

= +

Golt toatt

"Un Il v

V2

è

P

ricordiamo che

Lungo componenti di

3 s,

tempo

dipendenti dal

anche Escalare ! ci consente di calcolare la derivata materiale

Ge

(

(af G OFF

Ricordiamo che di una grandezza che conosciamo in termini

per cui

F = di coordinate euleriane

~ !

gradiente = (scritto come somma di indici ripetuti) es

più

di modo

in

Consente scrivere indice

+- c'è

dice se

che un

Compatto Ci

GF .

FU Uguale

ripetuto Segno

Solo

Ad Un Lato

V3 del ,

sui

2x3 valas

intendere somma

Si deve una

-

ripetal

che vengono

A questo punto, come possiamo scrivere l'accelerazione? Sappiamo essere una quantità vettoriale! Conoscendo la velocità

in termini di coordinate euleriane, applichiamo l'espressione componente per componente

Gustuz

d .

as =

= Es vitu

G +.

az =

=... G +

az =

=... 3 riga"

tVz "Letore

tVa

tu es

Jach

tan

-xn G vvv

dunque

V GVz a

GVa

GU1 +

= =

doca

doca

doca GV3

Gu

EU 2 663

663

763 f l'ordine è indifferente

è prodotto

del

scalare

nota se

:

↑

OFF

Torniamo all'espressione un

↳

L s

DERIVATA DERIVATA DERIA termine che ha influenza se il fluido si muove e se la sua

MATERIALE LOCALE > densità varia nello spazio. Descrive la variazione di densità.

traiettoria

D

-

~ Sp

questo

In ANNULLA

caso Si SE ·

g . U = G u

org

la

analizziamo 0

0

= =

> -

densità S S

5

Vg 2

> =

0

= .

Esercizio guidato: positiva)

Cost 1

c

[C] =

>

- 29

:

relazione

la

usando Vi = At

aXnect Ct

X1ce

vi =

= At

Il moto stazionario non è funzione del tempo, deve essere in

coordinazione euleriane. Non abbiamo dipendenza dal tempo quindi si aXzect -

Xzce

V2 =

= -

at

Scriviamo espressioni

le con o

Ct

- cX1e

Un Ca

=

= C

CXqe

Va C62

= = -

-

t)

bu(X == e

X

, per

a au an (Xzet)

= ((Xet

&

Gt (Xit)

E

X = -

,

D

= (Cs C((2)

(2) t)

&

Xet

Gu = -

, ,

az = =

Re

(et

a

=> = , =

(2x1 per calcolarla usiamo la relazione

cax)

Mentre in coordinate euleriane a a

= , (

Tr =C

=

>

tur G VEV Gu =

Un

91 +

+

= .

G At

G

Gu V

UnGV Voce

A2 +

+ =

= . &

. (2) o

Vz =

=

LE TRAIETTORIE La traiettoria di una particella che all'istante iniziale occupa

la posizione X: è l'insieme delle posizioni che la particella

occupa al variare del tempo.

y(X

eq. traiettoria: t)

2) = ,

descrive la traiettoria della particella P che all'istante iniziale

occupava la posizione X (si fissa X e si lascia variare t)

fi t)

a (X

Relazione alternativa per il calcolo della traiettoria: , 3)

(i

Vi 1 2

=

= ,

,

2t

Le linee di corrente sono linee che, al tempo assegnato, sono tangenti al vettore velocità.

Equazione: condizione di tangenza tra velocità e elemento infinitesimo della linea di corrente Xd

U 0

=

Linea

Di

v CORRENTE

-

FISSATO

t da · da(s)

- loan

(Un da

Va

UX9 daca

V3)

U

0

= =

= , , , ,

,

.

Esercizio: scrivere le tre relazioni scalari a cui porta la condizione VXda 0

=

ij

-

in generale bras) braz)

i(azb3- b2as) ((a1b2

=(arbz

anazas

axb +

= - - -

be by

ba

attenzione che bxa

+

axb danVz) ((v1da2

j(unday

nel nostro caso i (v2dx3 dava)

dx2V)

da

↓ +

x = -

-

- -

Unda3-dxUz 0

= U

Vadaz-dxU3 O >

-

= 2

danVa

Under 0

=

-

se il moto è stazionario traiettorie e linee di corrente coincidono

Esercizio guidato Le espressioni scritte corrispondono a

conoscere:

f(X t)

2 = ,

Xe C

1 = -

X1 e

= - cE

app M M

X2e

X2e

X2 X2

= - =

Le sostituisco in quelle di partenza

E)

* eC(t

(x2 -

x1 = E)

Yzect -

=

E)

ect G

-

osservo che - Sxx =X

>

-

E)

c(t G &

-

-

e =

Cx2)

((x

X = -

,

= Tegroeno-enx

↓ in

carda E)

c(t

co

=

= = -

x1

= -(2- -cot-enca-en -c

= =

en-

c(-E)

en Iperbole equilatera

=

= particelle si

Le

Ka in

mudono Questo è quello che succede quando un fluido investe ad

traiettorie direzione

Questa

Linee di esempio una parete. Questo campo di moto localmente

corrente descrive il moto attorno al punto di ristagno. Tutto cio

descrive quello che si chiama moto di ristagno

· x1 2 =

,

Per il secondo punto fisso t. Le relazioni sono che nel nostro caso diventa 2

e

da

P x1 x

x2 , e

enoa-endea ende-ende

enx2 enx1

= > =

- ,

- 1

x2 Ka

Ottengo una iperbole equilatera si

che passa per il punto x1,x2.

M

M · 5 x1

,

Questo se il moto è stazionario. Se il moto non fosse stazionario, in generale le linee di corrente non coincidono. Andiamo a

vedere un campo di velocità: u)

(e

V = , &

periodo dell'onda

>

- Moto non stazionario che si realizza in

cos(Wt)

do W

u -

= prossimità dell'interfaccia di un'onda -

(ut)

Sen

as w

v /200

= Frequenza

↳ 2π/t angolare

a = l

domande:

quali sono le dimensioni della costante ω?

quali sono le dimensioni della costante a0?

calcolare: t

a) la linea di corrente che passa per il punto (0,0) al tempo t = t′ linea +

di corrente

> =

b) la traiettoria della particella fluida che per t = t′ passa per il punto (0,0) (WE')

dow COS

M = (wt)

V Sen

No W

=

X2 V

dx

Linea di aX(x2

corrente =

- "U

X1

⑨ Sencut')

coscut) cut'

tan

- =

w t

-- Saowco(wt)dt

da ausen(wt))

dowcos(wt) ausen(wt)

-x(t)

M

= =

=

= -

ot e fowsen(wt(dt

daz aocs(wt)

apcs(wt)

Rosen(wt)

v ecz(t) +

x2

= = = = -

at E asSen(wt))2 sent

98

Rosen(urt) Assen(ut) -(a t

+

(1 + =

=

riscrivo come as

(t))2 costit

-(52-a0

COS(Wt)

6C2-10COS(WE) Cos

No

= =

-

Rosen(wE)) arCOS(Wt))2 a

Co (02

+ + =

-

Analisi locale del moto

L’analisi locale del moto consiste nello studio del campo della velocità nell’intorno di un punto dato (traslazione, rotazione

e deformazione).

L’analisi locale del moto è importante per lo studio della dinamica perchè il fluido risponde a un gradiente di velocità

imposto generando una tensione vogliamo legare lo stato di tensione all’interno del fluido alle variazioni della velocità

(gradiente) nel punto di interesse Questa parte ci serve perché piu avanti vedremo come il fluido risponde ad un

I gradiente di velocità imposto dall'esterno generando una tensione. Immaginiamo

regie se due piastre piane e parallele, mettiamo in moto il fluido facendo scorrere la

d piastra superiore. Succede che in corrispondenza della piastra superiore, il

movimento della piastra genera un gradiente di velocità e il fluido genera una

er

w tensione, il cui effetto è quello di smorzare questo gradiente di velocità.

All'istante t=0 ho distanza d e fluido fermo, nel punto a contatto con la piastra la velocità sarà U0.

Alla fine, arrivati ad una situazione di regime, abbiamo tutto il fluido tra le due piastre in moto.

Vogliamo legare lo stato di tensione all'interno del fluido alle variazioni della velocità (gradiente) nel punto di interesse.

I

vP) G

) (somma e

Vi dx +

j

= +

= Se

v

X

notazione

(P) ripetuti !

indici A Supponiamo Sapere

di

(da da(3)

daca

d del

= punto

~ tutto

, , di

è sviluppo

uno dimensioni

più

Taylor su quantità

infinitesima

fisso

riferimento

Descrive com'è fatto

il gradiente di v La somma di questi tre termini sono uguali

alla i-esima componente del prodotto scalare

(riga-colonna) tra la matrice ottenuta come

trasposta del gradiente velocità e dx.

Faccio prodotto

&

colonna

Linea

v puo essere vista come la somma di due matrici:

• D: tensore delle velocità di deformazione Nota: i nomi non sono casuali ma ricordano il significato

• Ω: tensore delle velocità di rotazione fisico delle componenti di questi matrici, che sono dati da

particolari moti del fluido nell'intorno del punto dato

T v = D + Ω

∇

=>

GUIDA

2 4)

+

E( 2) 12

+ E +E Matrice simmetrica rispetto la diagonale

D = GV3

2x3

8

08 La

V E

o I

-

E-) o - Matrice con diagonale zero e antisimmetrica

r = fav3 G

- O

Esercizio guidato:

• moto è stazionario? Si perche non dipende dal tempo

• calcolare le linee di corrente

• calcolare du

• calcolare dv /riferita X)

velocità lungo

de alla

calcolare :

9y

X

a v

u =

= 2πx2 yz X2 y2

2π

+ +

u(P) a

u(9) +

au = - P

y 2x2qy2 x2

zuax2 + -

-

= = yz2

2πT

a y2)2 2i(X2

(x2 +

+

Ou

+y22

= dxzd [inmodo se

e a

au analogo si sele

=>

Il tensore delle velocità di deformazione 24SX1)dt

(M

d(fx1) at

u

+

= -

, ,

Es 19(SX un

-

SX1 2X1

Il rettangolo AB è una porzione infinitesima di fluido all'istante iniziale. In A la velocità la indichiamo con u1 e

sappiamo, da quello appena visto, che la componente orizzontale di velocità in B avrà una velocità che è uguale a 54 SXI

u +

,

+

Sx1 Rappresenta quanto si è allungato l'elementino δx1

(4 tud -

+ .

- SX

relativa dell'allungamento

Velocità di ,

-

d(SX1) d(8Xi]

& 1

Ul Gui

all SXI

Sx dt

d(fXi) 8

8 = =

= , SX

-XI AXI

ot GXI Ot

,

-

variazione - ↳ componente

della D

lunghezza di

11

Velocità è

cui

rappresenta la si

Lingo direzione con

1

la

rettangolino

del allungato/accorciato SX

l'elementino

Questo ragionamento ci mostra come la componente 11 del versore della velocità di deformazione indica la velocità relativa

di allungamento dell'elementino di materiale di fluido nella direzione 1. Analogo discorso lo posso fare nelle altre direzioni.

I termini sulla diagonale del tensore D rappresentano la velocità, per unità di lunghezza, con cui si allungano (o contraggono)

gli elementi fluidi, lungo le corrispondenti direzioni coordinate.

Per capire a cosa sono legati gli elementi fuori dalla diagonale principale, dobbiamo definire la velocità di deform