Appunti Idrodinamica 2 (magistrale) - Parte 2

MOTI IRROTAZIONALI PIANI Finalizzata allo studio di portanza e resistenza

La condizione di irrotazionalota ci da un legame

scritta in termini di tra la velocità e il potenziale della velocità.

coordinate cartesiane Ricordiamo qua il legame tra la funzione di

corrente e le due componenti della velocità,

in coordinate cartesiane.

È importante ricordare che se studiamo

un moto irrotazionale piano con densità

costante possiamo usare sia il potenziale

di velocità che la funzione di corrente.

Stessa cosa ma in coordinate cilindriche: Condizioni che legano il potenziale di

velocità ai due componenti della velocità.

Condizioni che legano la funzione di

corrente ai due componenti della velocità.

il potenziale complesso

Nello studio dei moti irrotazionali piani è utile usare il potenziale complesso che è una funzione (analitica) della variabile

complessa z unità immaginaria

Mi da un risultato che è una quantità nel piano dei numeri complessi.

yz iy dW ad

+

X +

= d

w if

dX

condz

- ivy

ux- +

= =

= =

da a

Pdza

⑧ d

da2 iY i

condz dy

-i t

+ =

=

O ↳ coniugato

il

è complesso

UX i Vy con

v +

= -

Moti irrotazionali piani elementari

• grazie al principio di sovrapposizione è possibile costruire moti irrotazionali

sovrapponendo moti irrotazionali elementari (es. moto uniforme, vortice....)

• il principio di sovrapposizione vale anche per il potenziale complesso

Quando abbiamo visto che i moti irrotazionali si studiano con l’equazione di Laplace, la combinazione lineare dei

due potenziali di velocità è anch’essa una soluzione. Questo principio vale anche per il potenziale complesso.

(

(

Moto uniforme con d

E = = =

componente lungo x e y. Gb(x f(y)

u Ux

y) +

= =

,

of

O

c" -d

F Vy

quindi Ux Vy

+ +

= =

c

E

G F

+

P(X y(

e VX

calcol A Vy

V VX

v Uy )

y) y)

+ +

-

= =

> =

= =

= -

-

, ,

d vx)

i(uy (

u(x

iP Vy

w(z) iV)z

)

Ux (U

y) +

+ +

+ +

= = =

=

- -

iy)

iV(x +

-

Le linee di corrente sono quelle su cui le linee sono tangenti al vettore velocità. Io ho rette con pendenza U e V.

Le linee equipotenziali sono quelle in cui il potenziale è costante.

& equipotenziali

Linee

cost

= . Linee

Y di Corrente

cost

=

E .

Vortice puntuale ir)

(0

(Ur va)

E = = ,

,

-v =

Or =

Cominciamo a calcolare il potenziale di velocità:

= --

=

f f

p

Tr f()

0 =

=>

= = = r

=

d Funzione potenziale di velocità

0

Ora calcoliamo la funzione di corrente: Vor -

-G

GU f' f

f(r) enr

ci

v

Ur per

o =

=

,

= =

= = -

- e

4 =

Ora mettiamo insieme tutto e scriviamo il potenziale complesso

Io voglio scrivere in termini di z. Io z la posso scrivere come: Quando si fanno i logaritmi di numeri complessi ci

ier =-

=

d

w i

+ sono delle difficoltà, perché come risultato non si

= ottiene un singolo valore. A noi questa è una cosa

che non interessa, però è da tenere presente.

in Questo è un vortice che gira in senso antiorario.

W(z) enz

= -

TRASFORMAZIONI CONFORMI

PARTE REALE Posso costruire delle funzioni analitiche che sono

~ potenziale complesso di qualche moto irrotazionale

PARTE IMMAGINARIA

↳ nel piano, componendo funzioni analitiche.

Le trasformazioni conformi Mette in relazione un punto nel piano ξ nel

piano z. Entrambi sono piani complessi. Perche

questa sia una trasformazione conforme, f deve

essere una funzione analitica.

La trasformazione conforme consente di

calcolare W (ζ) noto W (z)

Punti critici della trasformazione conforme I punti critici di una trasformazione sono quelli

in cui la derivata si annulla.

Quelle in cui ς è uguale a 0.

etz 3 F()

= =

Of 1

nzn -

=

03

L’origine degli assi è il punto

critico della trasformazione

Proprietà delle trasformazioni conformi:

• una trasformazione conforme conserva gli angoli tra elementi infinitesimi (tranne che nei punti critici

della trasformazione)

• le linee di corrente e le linee equipotenziali nel piano ζ vengono trasformate in linee di corrente e linee

equipotenziali nel piano z

• I punti singolari del campo di moto nel piano ζ (vortici,sorgenti,.. etc) sono trasformati in punti

singolari corrispondenti nel piano z e l’intensità delle singolarità si conserva.

Se io ho due elementini infinitesimi, questi si trasformeranno in elementini

con verso e direzioni diversi, pero l’angolo tra di loro rimane uguale. I punti critici della

trasformazione erano df/dξ =0.

M

La trasformazione conforme ζ= z 3

C

Bz2 3

= .

· 2 iy

X +

= re

Ta del corrispondente

ZA punto

C TA

· = - =

int/2 B

rB2 ei

/2 A

>

ZB Ve

A =

= 8

· i

B 1 1, /

reit1

rceiTT/4 3

Ec = =

= 24/11/2025

semipiano

positivo

Noi usiamo la trasformazione conforme per ottenere il moto irrotazione della geometria piu complessa sul quale non siamo

capaci di calcolare il moto. Se siamo sul piano ξ, un potenziale complesso lo conosciamo. Se abbiamo moto di velocità u,v

abbiamo visto che il potenziale di velocità del moto uniforme e unidirezionale è: 3

( u

iV)z

w(z)

(V V) u4

E z y

x + ->

= -

=

= , w(l =

Qua al posto di U è stata indicata

una generica quantità A.

reind

Az"

W(z) A

= = isenchos]

Ar[Coscros +

=

↑ (funzione

velocità

di di

potenziale corrente

A noi interessa la velocità nel piano z. tende a zero

L tende a infinito

L

V ·

↳ Critico)

[punto

velocità deve essere o

=

T

Il comportamento del moto irrotazionale vicino a z = 0 consente di

predire quello dello strato limite nel caso di moto di fluido reale.

Questo per quanto riguarda il moto irrotazionale. Noi abbiamo pero una viscosità che mi genera una viscosità e si crea

uno strato limite. Lo strato limite mal sopporta le decelerazioni. b Tende a staccarsi quando ci

⑨

N D sono delle decelerazioni

&

·

La trasformazione di Joukowsky È una trasformazione conforme

Ci consente di studiare le superfici portanti, disegnare una superficie su cui poter studiare diversi fenomeni e di calcolare la

circolazione attorno un profilo portante. Quest'ultimo è utile per calcolare la portanza.

trasformazione del tipo ξ = f(z)

o =

0z

· = 3

PIANO

· DIANOZ To

·

·

-

·

* ·

⑳ -

To

- r

it

5

2 iro +

z +

= iro

Z Tr

+

io 0)

e

(e

7 ro +

=

0 , ,

acoso

La circonferenza viene trasformata in un segmento.

2 potentmplesso

Una delle proprietà è che la trasformazione conforme conserva gli angoli infinitesimi. Qua sembrerebbe non essere

conservato. La trasformazione conforme conserva gli angoli tranne che nei punti critici della trasformazione.

Possiamo usare questa trasformazione ad esempio per calcolare il moto attorno al cilindro.

Novor-) seno

R

3

La trasformata di Joukowsky : moto attorno a un profilo alare

2 +

= 3

La trasformata di Joukowsky può essere utilizzata anche per calcolare il campo di moto attorno a un profilo alare

12/2

2

z +

: =

=>>

Immaginiamo di spostare l'origine degli assi, ad esempio lo mettiamo sull'asse immaginario

na x 1

+ 3 facciamolo per il punto C

2 +

geometria

per =

a os asen

'

&c B

i(a asenB) +

+

=

- (

3 2 acos

asenB

& senB)

↑ 2 +

+

+

-

asenB)

i(a

2c + + -

= sens)

(a

i a

+ asenB)

i(a +

i2

GaatsenB(1 +

nB) al crescere di β il punto che viene

sen

i2a

= =

osen)

y(a trasformato si sposta sempre di piu in alto

+

X COSB

a

= 12

2a x 2x

1 za

- +

= = = Lo spessore dipende da quanto è spostato

della figura lungo x, piu lo sposto piu è spesso il profilo

trasformata

↓ ↳ trasformazione

raggio parametro

Circonferenza

La corda è il segmento che collega la cuspide al punto di attacco. L'ipotesi sotto il quale è stata ricavare lo spessore, è

per profili sottili!! vale zero (paradosso di d'alambert)

D ?

goor

La portanza di un profilo alare

Per determinare la portanza è necessario conoscere il valore della circolazione Γ attorno al profilo

La generazione della circolaIone è legata alla vorticità

(legata agli effetti viscosi). Come posso calcolare gli

effetti viscosi? Uso la condizione di Kutta.

La condizione di Kutta

La condizione di Kutta quantifica gli effetti della viscosità in uno schema irrotazionale

Tre ipotetiche linee di corrente attorno al profilo alare. Qual è quella che si puo realizzare dal punto di vista

fisico? Il punto b, è l'unico in cui non abbiamo una circolazione attorno al bordo di uscita.

La condizione di Kutta è una regola empirica ma ci consente di quantificare la circolazione per un moto irrotazionale.

· ·

La portanza attorno a un profilo di Joukowsky - Zuevocitos

↓ -

investe

che

raggio cilindro

il

In questo caso la portanza che si genera è verso il basso. Come

possiamo sfruttare questo fatto insieme a Kutta per calcolare la

circolazione che si genera attorno al profilo?

Kutta mi dice che la situazione che mi si realizza nella realtà è quella in cui il punto di ristagno va a finire con la cuspide. Qua

ho la posizione dei punti di ristagno che dipendono da Γ . Andiamo a cercare Γ per cui il punto di ristagno va sulla cuspide.

I punti di ristagno devono essere quei punti che mi vengono trasformati nella cuspide.

In questo disegno abbiamo cambiato la direzione della U. Succede che i

punti si sono spostati verso il basso e la relazione di prima cambia quindi

il segno Secondo la condizione di Kutta, il

punto di ristagno posteriore deve

coincidere con il punto critico della

trasformazione di Joukowsky

Consideriamo il fluido che investe il profilo con un certo angolo di attacco α. Abbiamo un sistema di assi orientato

come la velocità e poi un sistema di assi che è quello del nostro piano di partenza perche noi abbiamo che la

circonferenza, il cui centro nel primo quadrante, viene trasformata in un profilo alare (ha curvatura e spessore).

Cilindro con centro

nel primo quadrante

rispetto al sistema xy.

Q

B

S2 é punto di

ristagno

posteriore. GSz Quindi questa è la circolazione che si sviluppa attorno ad un profilo alare.

B

x +

n +

= 25/11/25

Una volta che abbiamo la circolazione,

possiamo calcolare la portanza.

Previsione

~> Questa espressione ci fa capire come possiamo

&

TORICA aumentare la portanza di un certo profilo:

↳ MISURE

Sperimen • una possibilità è aumentare la velocità

TAC IN • Possiamo aumentare 4a, ossia il raggio. Quindi più

LABORATORIO la corda è lunga maggiore sarà la portanza.

• Posso inoltre aumentare α+β. Al crescere di β, il

centro della circolazione si trova sempre più in alto,

quindi all’aumentare di β aumenta la curvatura, e

conseguentemente anche la portanza. α è invece

angolo di attacco, e aumentandolo si avrà una

portanza maggiore.

de

Coeff. Di portanza che viene Queste misure sperimentali sono state ottenute per un valore di Re di 0,5*β*10^5

misurato sperimentalmente

Siccome α e β sono angoli generalmente piccoli, posso anche approssimarla in questo modo.

Al crescere di α il CL aumenta, quindi cresce la portanza.

Arriviamo in un punto in cui è massima e poi diminuisce. La diminuzione è dovuta allo stallo, che è legato al fatto che c’è

un angolo di attacco molto grande o il profilo è molto inclinato. Lo strato limite è appiccicato alla superficie del corpo ma

aumentando l’inclinazione si genera una decelerazione spaziale sempre più forte. Succede allora che lo strato limite

supporta poco le decelerazioni, e quindi si stacca dalla superficie. In questa zona si ha una vorticità e una sotto pressione.

Quindi questa è una situazione legata ad una resistenza di forma. Questo lo possiamo capire con un semplice

ragionamento: ricordandoci come funziona il principio della quantità di moto in forma integrale.

-j

3 π: risultare forze di superficie che

S l’esterno esercita sul volume di fluido.

Y (ARIA)

DI FLIDO

PESO TRASCURO

STAZIONARIO lo

/-

contenuto

MOTO Piccolo

7 ,

-

E NO

* Mi

Mu G

=

1 +

+ -

· Mu-Mi -F

=

Lungo x: resistenza

Mue-Miy

Lungo y Ey May

Fy

< = -

Per avere portanza il profilo alare dovrà essere inclinato.

Cosa succede quando il profilo stalla?

*

Come si genera la circolazione attorno a un profilo alare ?

Si consideri un profilo portante che parte da fermo e raggiunge la velocità U in un intervallo temporale piccolo

Il processo di generazione della vorticità attorno al profilo può essere suddiviso in tre fasi temporali

• moto irrotazionale

• emissione di vorticità dal bordo di uscita

• trascinamento a valle della vorticità generata

Il punto di ristagno posteriore non

coincide con il bordo di uscita >

Nella prima fase il profilo si è appena messo in moto, il moto del fluido è uguale a zero e non c’è portanza. Mancanza di

portanza vuol dire che punto gira intorno alla cuspide del profilo. Il punto di ristagno posteriore non coincide quindi con il

bordo di iscritta. S2 "

8

⑨

-

Segue una seconda fase, in cui entrano in effetto gli effetti

viscosi. Localmente in corrispondenza del punto terminale della

cuspide, la vorticità tende a infinito, e quindi lo strato limite si

stacca dalla superficie, quindi si genera un “vortice”, questo

vortice al passare del tempo cresce, quindi il campo di moto è

disturbato, l’effetto di questo disturbo è trasportare il punto di

ristagno posteriore verso il bordo di uscita.

Nella terza fase il profilo parte, e questo vortice

rimane nella posizione iniziale e il profilo si muove.

Quindi la vorticità emessa dal bordo di uscita nei

primi istanti rimane nella posizione iniziale.

> Questo profilo si è appena messo in moto e sta

andando da sinistra verso destra. Intorno al profilo

c’è un vortice, ed è quello che da portanza.

teorema della circolazione di Kelvin

In un moto di fluido ideale, la circolazione attorno a qualsiasi curva materiale chiusa non varia nel tempo

La circolazione attorno a ABFE (attorno al profilo) deve

essere uguale e contraria a quella attorno a EFCD

Ho scelto una curva materiale (ABCD) molto grande, così grande da contenere il profilo nell’istante iniziale e al tempo che

sto considerando. All’inizio tutto è fermo, circolazione pari a 0. Utilizzo il teorema di Kelvin e uno schema di fluido ideale e

quindi la circolazione deve rimanere uguale a 0. Quindi la circolazione in questo rettangolo è 0 in tutti gli istanti.

perchè Dice

lo

o

=

F B -

C il KELVin

fax Di

(2 fax Teorema

dx 0

+

= =

.

A I ABCD ABEF FCDE ↳ circolazione del

A

D E Arcolazione VORTICE INIZIALE

PROFICO

ATORNO AL

Linee di corrente del campo di moto attorno a un profilo alare, rispetto al fluido in quiete.

• Sinistra: in un istante immediatamente successivo all’inizio del moto del profilo (da sinistra verso destra),

• Destra: dopo che il profilo si è spostato a una distanza pari alla sua lunghezza. La vorticità emessa è concentrata in un

vortice.

Per ora abbiamo considerando profili che erano cilindrici, adess