Geometria 3 - Appunti

Definizione

Se X è uno spazio topologico e G agisce su X in modo continuo, cioè:

X × G → X

(x, g) ↦ x · g è continua ∀ g ∈ G

Allora si dice spazio X G e si può indicare anche con X × G.

Teorema

Se X è uno spazio X G, allora l'applicazione

X → X G

x ↦ x · g è aperta ∀ g ∈ G

Dimostrazione

Sia U un aperto in X G.

U è aperto ⇔ P^-1(U) è aperto

{x ∈ X | x · g ∈ U} = {x ∈ X | P(x) ∈ U} = P^-1(U)

Quindi P^-1(U) è aperto ⇔ U è aperto.

Osservazione

T → T → T → T → T

4 3 2 1 0

Omeomorfismi

Osservazioni su Hausdorff

Proposizione

Se esiste il limite di una successione, allora tale limite è unico se X è di Hausdorff.

Dimostrazione

∀ ε > 0, ∃ N ∈ ℕ tale che lim x = x ⇔ aperto U ⊂ X, x ∈ U, ∀ n > N, x_n ∈ U

DEFINIZIONE (COMPATTEZZA)
spazio topologico è compatto se ogni ricoprimento aperto ha un sottoricoprimento finito.

TEOREMA continua, compatto compatto→ ⊆f : X Y S X => f (S)0.3 Omeomorsmi 35
Sia un ricoprimento aperto di Vado a vedere{U } f (S).
Dimostrazione. j j∈Jse esiste un sottoricoprimento finito. è un ricoprimento aperto−1{f (U )}j j∈Jdi .
Poiché compatto, esiste un sottoricoprimento finito: −1 −1{fS (U ), ..., f (U )}1 k−1 −1∪ ∪S = f (U ) ... f (U )1 k⊆ ∪ ∪f (S) U ... U1 k

COROLLARIO
compatto, compattoX1) X ∼compatto, omeomorsmo compatto∼2) X X Y => Y=

ATTENZIONE
compatto, non è detto che sia compatto, ad esempio .⊆ ⊆S X (0, 1) [0, 1]
Però se è chiuso la proprietà diviene ereditata.

SPROPOSIZIONE
compatto, chiuso compatto⊆X S X => S S
Sia ricoprimento aperto di ( ){U }

⊆S (U )Dimostrazione. j j∈J jj∈JOsserviamo che è un ricoprimento aperto di{U −, X S} XjPoiché compatto, sottoricoprimento (aperto) nito .∃ {U −X , ..., U ; X S}1 kDunque:∪ ∪S = U ... U1 kTEOREMA36 INDICESia di Hausdor, compatto è chiuso.⊆S X, X S => SSia vogliamo mostrare che aperto,∈ − ∃V ∈p X S, pDimostrazione. pallora è aperto⊆ − −V , V X S X Sp pPoiché è di Hausdor, se aperti, tali che∈ ∃U ∈ ∈X x S, , U x U , p U , xx p x p∩ ∅U U =x pSe ripeto il ragionamento, trovo disgiunti da e che ri-∀x ∈ {U }S, Ux x∈S pScoprono , è un ricoprimento aperto di . Poiché è{U } ⊆S S U Sx x∈S xx∈Scompatto, esiste un sottoricoprimento nito ⊆ ∪ ∪U , ..., U , S U ... U1 k 1 kScegliamo aperti contenenti tali che ∩ ∅V , ..., V p V U =1 k 1 i∩ ∩V := V ... V

(intersezione f inita di aperti)

1) kQuindi abbiamo che:∈1) p Vè aperto è aperto è chiuso− −

2) V => X S => c(X S) = S⊆ −

3) V X SPROPOSIZIONEè compatto è chiuso e limitato.⊆S <=> SR (=>)Dimostrazione.

Poiche' è di Hausdor è chiuso (per il teorema precedente, è anche=> S SR Slimitato, se non lo fosse )⊆S (−j, j)j∈NSe non è limitato, il ricoprimento aperto non ammetterebbe sot-{(−j,S j)}toricoprimento nito.

(<=)0.3 Omeomorsmi 37limitato signica per qualche . Poiché chiuso:⊆ ⊆S S (−N, N ) N S S[−N, N ]Poiché è chiuso in un compatto (cioè ) è compattoS [−N, N ] => SPROPOSIZIONEcompatto, di HausdorX Y è continua. Allora:−→f : X Y, fè chiusa;

1) f è biettiva, allora è un omeomorsmo.

2) f fchiuso in , è chiuso?

1) C X f (C)Dimostrazione.chiuso in

1. Se X è compatto e C è un sottoinsieme chiuso di X, allora f(C) è un sottoinsieme chiuso di Y (per il teorema precedente).
2. Se f è un'applicazione continua, U è un sottoinsieme aperto di X e V è un sottoinsieme aperto di Y, allora f(U) è un sottoinsieme aperto di Y.

PROPOSIZIONE

Se X e Y sono spazi compatti, allora X × Y è compatto.

Dimostrazione.

Sia {W} un ricoprimento aperto di X × Y.

Osservo che {U × V} è un ricoprimento aperto di X × Y.

Poiché X e Y sono compatti, allora esiste un sottoricoprimento finito {U × V} di {W}.

Quindi, {U × V} è un ricoprimento finito di X × Y.

Perché X × Y è compatto, allora esiste un sottoricoprimento finito {U × V} di {W}.

Quindi, X × Y è compatto.

OSSERVAZIONE

Se X e Y sono spazi compatti, allora X × Y è compatto.

...

X => X ... X1 n 1 n

TEOREMA è compatto[0, 1] S

Sia ricoprimento aperto di cioè{U } ⊆[0, 1] [0, 1] U

Dimostrazione. j j∈J jj∈J

Per assurdo non esiste un sottoricoprimento nito.=>Almeno uno dei intervalli e non ha sottoricoprimento nito.1 122 [0, ] [ , 1]2

Supponiamo sia Allora è o non ha sottoricoprimento nito.12 1 14 12[0, ]. [0, ] [ , ]40.3 Omeomorsmi 39

Ottengo una successione di intervalli:[a , b ] = [0, 1]0 0 12[a , b ] = [0, ]1 1 121 , ][a , b ] = [2 2 4...

Osservo che inoltre noto che1− ≤ ≤b a = , a a < b bn n n n+1 n+1 nn2≤ ≤a a := sup a b = inf b < b (∗)n n n n1 ∀n → ∈− ≤ => se n +∞ b = a U per un certo Jb a J 00n2

Poiché è aperto ∃ − ⊆U > 0 : (a + , a ) UJ J0 0

Allora 1 1∃N −> 0 : > , b a = < N NN N2 2

Da si vede che e1 1− − − −(∗) a a < b a = b b(= a) < b a <N N N N N NN N2 2ma allora

Il ricoprimento sarebbe chiuso, ma è ⊆ [a, b] (a, a + ∞) UN N J 0 questo è assurdo.

TEOREMA compatto è chiuso e limitato N⊆S ⇔ SR⊆

Dimostrazione.

chiuso e limitato, n⊆S S [−N, N] compatto (dal fatto che è compatto ed è omeomorfo a [−N, N] [0, 1] [0, 1] qualsiasi altro insieme) compatto per n[−N, N] S compatto perché è chiuso e è compatto.

NS S R⇒ 40 INDICE compatto in di Hausdor è chiuso NS ⇒ SR limitato perché se non lo fosse: S ⊆ B(0) S nn∈N non ammetterebbe sottoricoprimento finito. {B(0)}n

DEFINIZIONE spazio metrico X è compatto al limite se ogni insieme con infiniti elementi ammette punti di accumulazione. è compatto per successioni se per ogni successione una sottosuccessione converge.

TEOREMA spazio topologico metrizzabile, sono equivalenti: X è compatto.

1) X è compatto al limite.

2) X è compatto per successioni.

successioni.

DEFINIZIONE (compattezza locale e compatticazione)

X è localmente compatto se è compatto in se stesso.

Sia C³ la topologia su X x X x C U x x localmente compatto se localmente compatto per ogni x in X.

TEOREMA 0.3 Omeomorfismi

X è localmente compatto e di Hausdorff se e solo se esiste Y in X tale che:

1. X Y - {punto}
2. Y X compatto e di Hausdorff
3. Y è sottospazio di X

Se X e Y soddisfano le proprietà 1), 2), 3) allora Y, φ(X) = id = φ si dice la compatticazione di Alexandro di X a un punto.

Dimostrazione.

Vogliamo costruire Y con le proprietà 1), 2), 3).

Prendiamo un punto e lo chiamiamo 6 in X U {∞}.

Y := X aperto in ap