Geometria 3 - Appunti

Indice

0.1 Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 Spazi topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.3 Omeomorsmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

2 INDICE

Geometria III

0.1 Spazi metrici

DEFINIZIONE

Sia un insieme. si dice spazio metrico se possiamo denire × −→

A A d : A A

metrica:

R se 6

1) d(x, y) > 0 x = y

se

d(x, y) = 0 x = y

2) d(x, y) = d(y, x)

≤

3) d(x, y) d(x, z) + d(y, z)

DEFINIZIONE

spazio metrico, metrica (distanza). Allora:

X d palla aperta di raggio e centro

{y ∈

B (x) = X|d(x, y) < r} r x

r palla chiusa di raggio e centro

{y ∈ ≤

B (x) = X|d(x, y) r} r x

r sfera di raggio e centro

{y ∈

S (x) = X|d(x, y) = r} r x

r

DEFINIZIONE 3

4 INDICE

spazio metrico, si dice aperto se tale che

⊆ ∀x ∈ ∃

X U X U > 0

x

allora . La palla aperta di centro e raggio

∀y ∈ ∈

X, d(x, y) < y U x

x

è interamente contenuta in .

U

x ⊆

B (x) U

x

OSSERVAZIONE

Se e sono aperti, allora è aperto

∩

1) U V U V

∩V

U Ux Vx }

= min{ ,

x

S

Se aperti allora è ovviamente aperto.

{U }

2) U

i i∈I i

i∈I

sono aperti. Inoltre deniscono una topologia.

∅

3) X, 1), 2), 3)

DEFINIZIONE

Due metriche su si dicono equivalenti se deniscono gli stessi insiemi aperti

X

(cioè le stesse palle aperte)

DEFINIZIONE ( funzione continua)

spazi metrici

(A, d ), (B, d )

A B

continua in

−→ ∈

f : A B x A

∀ > 0∃δ > 0 : se d (x, y) < δ allora d (f (x), f (y)) <

A B

cioè ⊆

f (B ) B (f (x))

δ(x)

OSSERVAZIONE

0.1 Spazi metrici 5

continua in

−→ |x −

f : x (d(x, y) = y|

R R ∀ |y − | |f −

> 0∃δ > 0 : x < δ allora (y) f (x )| <

0 0

cioè f (x) = f (x )

lim 0

x→x 0

TEOREMA (caratterizzazione delle funzioni continue negli spazi metrici)

; spazi metrici

(X, d ) (Y, d )

x y −→

f : X Y

continua è aperto in aperto in

−1 ∀U

f <=> f (U ) X Y

=>

Dimostrazione.

Dire che è aperto signica che deve esistere

−1 −1

∀x ∈ ⊆

f (U ) f (U ) B (x)

δ

Poiché è aperto e contiene (perché sta' nella pre-

−1

f (U ). U f (x) f (x)

immagine) allora Dato che è continua

⊆ ∃δ ⊆

B (f (x)) U. f : f (B (x))

δ

cioè −1

⊆ ⊆

B (f (x)) U B (x) f (U )

δ

<=

Per mostrare che in , è continua allora devo trovare ⊆

x f δ > 0 : f (B (x)

δ

Poiché è aperto, per ipotesi è aperto e dun-

−1

B (f (x)). B (f (x)) f (B (f (x))

que −1

∃δB ⊆ ⊆

(x) f (B (f (x))) => f (B (x)) B (f (x))

δ δ

(in questa denizione non compare la distanza)

DEFINIZIONE (isometria)

6 INDICE

biettiva, e spazi metrici si dice isometria

−→

f : X Y (X, d ) (Y, d ) f

X Y

se conserva la metrica

f => d (x, y) = d (f (x), f (y))

X Y

OSSERVAZIONE

Le isometrie sono funzioni continue.

1) L'isometria è una relazione di equivalenza nell'insieme degli spazi metrici.

2)

0.2 Spazi topologici

DEFINIZIONE

Sia un insieme e una famiglia di sottoinsiemi di , cone le seguenti

X µ X

proprietà:

∅, ∈

1) X µ

∀U, ∈ ∩ ∈

2) V µ, U V µ

S

{U } ⊆ ∈

3) U, U µ

i i∈I i

i∈I

Allora si dice una topologia di

µ X

si dice spazio topologico. Gli elementi di si dicono aperti e gli ele-

(X, µ) µ

menti di si dicono punti.

X

DEFINIZIONE (insieme chiuso)

Sia spazio topologico, un sottoinsieme si dice chiuso se

⊆

(X, µ) C X C =

(complementare di ) quindi è un aperto.

∈

c(U ) U = X U, U µ U

0.2 Spazi topologici 7

TEOREMA

spazio topologico

(X, µ) sono chiusi (e aperti)

∅

1) X,

Se sono chiusi allora è chiuso

∪ ∪ ∪

2) A, B A B [c(A B) = c(A) c(B)]

T T S

famiglia di chiusi allora è chiuso

{C }

3) C [c( C ) = c(C )]

i i∈I i i i

i∈I i∈I i∈I

DEFINIZIONE ALTERNATIVA DI SPAZIO TOPOLOGICO

famiglia di sottoinsiemi detti chiusi che soddisfano . La

(X, C) C 1, 2, 3

topologia di si ritrova:

X {c(x)|∀x ∈

µ = C}

PROPOSIZIONE

Sia aperto in (spazio topologico) chiuso in

A X B X

aperto

1) A B chiuso

2) B A è chiuso aperto

∪

1) c(A B) = c(A) B => => A B

Dimostrazione. è chiuso

∪

2) c(B A) = c(B) A => B A

DEFINIZIONE

spazio metrico è limitato se tale che

⊆ ∃M ∀x, ∈

A X > 0 d(x, y) < M y A

8 INDICE

OSSERVAZIONE

In uno spazio metrico presi punti ,

∈ 6 ∃U 3 3

(X, d) 2 x, y X (x = y) x, U y

x y

aperti ( aperto se )

∀x ∈ ∃B ⊆

U U (x) U

OSSERVAZIONE

Se è uno spazio topologico con la topologia banale (gli unici aperti so-

X

no ) non possiamo mettere alcuna metrica su che induce la topologia

∅, X X

banale non è mai uno spazio metrico con quella topologia.

=>

DEFINIZIONE (metrica discreta)

Sia un insieme è sempre uno spazio metrico con metrica discreta

X (X, d ) d

0 0

denita: 8

>

<

0 se x = y

>

d (x, y) = :

0 6

1 se x = y

DEFINIZIONE

Uno spazio topologico è metrizzabile se i suoi aperti coincidono con gli aperti

deniti usando una metrica su .

X

DEFINIZIONE

spazio topologico

(X, µ) è una base per la topologia se ogni aperto di è unione di elementi

B B

⊆ µ. X

di B

PROPOSIZIONE

0.2 Spazi topologici 9

S

Sia insieme delle parti di se:

B

6 ∅, ⊆

X = P (X) X 1) X = B

T B∈B

allora topologia di cui è base.

B

∩ ∩ ∃µ

2) B ... B = B

1 n j

j∈J S Verichiamo che è una

{A ∈ }

µ = P (x)|A = B µ

Dimostrazione. j

∈B

B j

topologia su X S

per l'ipotesi

∅ ∈ ∈

1) µ, X µ (X = B) S

S B∈B

allora 2

1 ∩

∈ ∩ )

) ( B

2) A , A µ A A = ( B

1 2 1 2 l∈L

j∈J l

j

allora

Inoltre B

1

1 ∈

, B

B j

j !

[ [ [

1 2 jl

∩ ∈

(B B ) = B µ

j l r

r∈R

j∈J,l∈L j∈J,l∈L

S i

∈

3) A µ A = B

i i j∈J j „ Ž

[ [ [ i ∈

A = B µ

i j

i∈I i∈I j∈J

Per la denizione di base.

PROPOSIZIONE

insieme diverso dal vuoto, B ⊆

X P (X) S

, è come dire che

B

∀x ∈ ∃B ∈ ∈ B

a) X, : x B X =

x x B∈B

Se allora tale che allora topologia

∈ ∩ ∃B 3 ⊆ ∩ ∃µ

b) x B B x B B B

1 2 x x 1 2

di cui è una base.

B Basta dimostrare che implicano

1), 2) a), b)

Dimostrazione.

è vera,

a) S

è suciente vericare che allora:

∩

b) B B = B

1 2 i

i∈I

[

∩ 3

B B = B x

1 2 x

∩B

x∈B 1 2

10 INDICE

Ma è ovvia e viene dalla

⊆ ⊇ b)

OSSERVAZIONE

Se è una base per topologia di

B µ X

[ B}

∈

{ B , B

µ = j j

j∈J

Allora siano e topologie su , è più ne di se

0 0 0

⊂

µ µ X µ µ µ µ

PROPOSIZIONE

basi per

B, B

0 0

µ, µ con B

B 0

0 0

0 0 ⊂ ∈

∈

⊂ ∈ ∀B ∈ ∈ ∃B B : x B

, B

1) µ µ <=> 2)∀x X, x B, x

x

x

=>

Dimostrazione. per l'ipotesi .

B 0

∈ ∈ ∈ ⊆ ⊆

x X, x B, B µ µ 1) S

Poiché è una base per la topologia in

B 0

0 0 B

µ , B = 0 0

∈µ

B j

j

Poiché tale che 0

∈ ∃j 3

x B, B x

j

<=

Sia un aperto in ( )

∈

A µ A µ

Vogliamo mostrare che 0

∈

A µ [ B

∈

A = B B

j j

j∈J €S Š

S S S

Sappiamo per che allora

0 0

3B ∈

(2) = B A = B = B

j

x∈B j∈J j∈J x∈B

x j x

j 1

0

µ

OSSERVAZIONE

0.2 Spazi topologici 11

Il concetto di base di una topologia mi serve per:

Denire in modo semplice una topologia (non devo scrivere tutti gli aperti)

1) Data topologia se ne conosco delle basi è più facile confrontarle.

2) 2

DEFINIZIONE

Chiusura e interno di un sottoinsieme di uno spazio topologico.

spazio topologico, ⊆

(X, µ) Y X

T chiusura di

Y c Y

j

⊇Y

c S

j

◦ interno di

Y = A Y

A⊆Y

PROPOSIZIONE

è chiuso.

Y <=> Y

Y = ◦ è aperto

Y = Y <=> Y

OSSERVAZIONE

è chiuso

1) Y ⊆

2) Y Y

chiuso ovvia

3) Y <=> Y = Y <=

perché ⊃ ⊃

=> Y Y (c Y )

j

PROPOSIZIONE

spazio topologico, ⊆

X Y X

ogni aperto

∈ 3 ∩ 6 ∅

x Y <=> U x, U Y =

12 INDICE

( )

=>

Dimostrazione.

Per assurdo supponiamo che esista con

∈ ∩ ∅ ∈

x U, U Y = x Y

dovrebbe ap-

Allora è chiuso, ma è assurdo perché

⊇ ∈ Y

c(U ) c(U ) Y x

partenere a tutti i chiusi contenuti in ma ch'è chiuso e contiene

6∈

Y x c(U ) Y

( )

<=

Supponiamo per assurdo che che è chiuso (aperto).

6∈ ∈

x Y => x c()

allora ma è assurdo perché ogni aperto in cui

Dato che ∩ ∅

⊆ Y c(Y ) Y =

Y

è contenuto (dall'ipotesi)

∩ 6 ∅

x, c(Y ) Y =

PROPRIETA'

⊆

A, B X

∪ ∪

A B = A B

1) ∩ ⊆ ∩

2) A B A B

allora

⊂ ⊂

3) A B A B

OSSERVAZIONE

Se chiuso, allora (per la denizione di è uno dei

⊆ ⊆

Y F Y F Y, F c j

in cui è contenuto) allora per l'osservazione precedente

⊂ −→ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂

3) A B A B A B B A B

DEFINIZIONE

spazio topologico

⊆

Y X

S

◦ interno di (parte interna di )

Y = A Y Y

j

⊆Y

A j

0.2 Spazi topologici 13

OSSERVAZIONE ◦

aperto

Y <=> Y = Y

PROPOSIZIONE

spazio topologico

⊆

Y X

◦

∈ ∃U 3 ⊆

x Y <=> x, U Y

PROPRIETA'

◦ ◦ ◦

∩ ∩

A B = A B

1) ◦ ◦ ◦

∪ ⊇ ∪

2) A B A B

◦ ◦

allora

⊂ ⊂

3) A B A B

OSSERVAZIONE ◦

Se aperto allora

⊇ ⊇

A F A F

◦ ◦ ◦

Quindi: ⊆ ⊆ ⊆

A A B => A B

TERMINOLOGIA ◦

interno ad se ∈

x A x A

aderente ad se ∈

x A x A

è esterno se 6∈

x x A

punto di accumulazione per se ∈ − {x},

x A x A D(A)

◦

punto di frontiera per se ∈ −

x A x A A = ∂A

è denso se

x A = X

◦

è raro se ∅

A =

x 14 INDICE

OSSERVAZIONE SUI PUNTI DI ACCUMULAZIONE

è di accumulazione per ogni aperto contiene un

∈ 3

x X A <=> U x

punto di cioè

6 ∩ − {x} 6 ∅

= x A U A =

PROPOSIZIONE

∪

A = A D(A) ⊃

Dimostrazione. ∈ ∪

x A D(A)

Se sono a posto. Se allora allora

∈ ∈ ∈ − {x} ⊂ ∈

x A x D(A) x A A x A

⊂

Se allora se sono a posto.

∈ ∈

x A x A

Se invece ma allora

∈ 6∈ ∀U 3 ∩ 6 ∅ ∩ − {x} 6 ∅

x A x A, x, U A = => U A =

allora è di accumulazione.

∈ − {x}

x A

COROLLARIO ⊇

A <=> A D(A)

DEFINIZIONE (intorni)

0.2 Spazi topologici 15

Se spazio topologico, è un intorno di se:

∈

x X N x

∈

1) x N

∃U 3 ⊆

2) x, U N

OSSERVAZIONE

Un insieme aperto è intorno di ogni suo punto.

PROPRIETA'

Ogni punto ha almeno un intorno.

1) Se è intorno di , allora è intorno di .

⊇

2) N x M N M x

intorni di allora intorno di

∩

3) M, N x M N x

DEFINIZIONE

si dice base di intorni o sistema fondamentale di intorni se

B(x)

∈

x X,

è una famiglia di intorni e intorno di

B(x) B(x)

∀N ∈ ⊆

x∃B : B N

N N

DEFINIZIONE

Sia spazio metrico.

X soddisfa il primo assioma di numerabilità se ogni punto ammette una

1) X

base di intorni numerabile.

soddisfa il secondo assioma di numerabilità (second countable) se

2) X X

ammette una base numerabile.

OSSERVAZIONE S

Se base di intorni aperti è una base di

B(x) B B(x)

∀x ∈

1) X, => = x∈X

16 INDICE

.

X Esistono spazi topologici che soddisfano il primo assioma ma non il secon-

2)

do assioma di numerabilità.

DEFINIZIONE (limite)

spazio topologico

X + −→

f : X

N

7−→

n x n

lim x = x

n

n→+∞

∀M 6 ∅ ∃n ∈

= intorno di x > 0 se n > n allora x M

M M n

OSSERVAZIONE

Negli spazi metrici questa è la solita denizione.

1) Per uno spazio topologico generico il limite non è unico!

2) spazio topologico banale allora successione

∀ ∀x

X lim x = x

n→+∞ n

FUNZIONI CONTINUE NEGLI SPAZI TOPOLOGICI

spazi topologici

X, Y 0

−→

f : X Y e continua

Ogni aperto è aperto o chiuso ; è chiuso

−1 −1

⊆ ∀F ⊆

U Y, f (U ) F Y f (F )

0.2 Spazi topologici 17

OSSERVAZIONE

con la topologia euclidea, la nozione usuale di funzione con-

−→

f : R R

tinua coincide.

TEOREMA spazi topologici

−→

f : X Y

è continua è chiuso chiuso

−1 ∀

f <=> f (C) C

=>

Dimostrazione. ma è continua

−1 −1 −1 −1 −1

− − −

f (C) = f (Y U ) = f (Y ) f (U ) = X f (U ) f

allora aperto è chiuso

−1 −

f (U ) = A => X A

<=

−1 0 −1 −1 −1 −1 0

−C)

f (C) e chiuso => f (U ) = f (Y = X−f (C) = f (U ) e aperto

TEOREMA (caratterizzazione delle funzioni continue)

spazi topologici

−→

f : X Y X, Y

continua e intorno aperto di in intorno

∀x ∈ ∀V ∃U 3

f <=> X f (x) Y, x

aperto di ⊆

x : f (U ) V

=>

Dimostrazione.

Sia e intorno aperto di −1

∈ ⊆ ⊆

x X V Y f (x) => U (per def inzione)f (V )

è aperto perché è continua ⊆

f => f (U ) V

<= 18 INDICE

Sia aperto in , è aperto?

−1

V Y f (V ) −1 0

∀x ∈ ∈

f (V ) cioe f (x) V

Per ipotesi −1

∃U 3 ⊆

x : f (U ) V => U f (V )

x x x

S è aperto ( aperto)

−1 ∀U

f (V ) = U =>

−1 x x

x∈f (U )

DEFINIZIONE

funzione tra spazi topologici

−→

f : X Y

è aperta se manda aperti in aperti

f è chiusa se manda chiusi in chiusi

f

DEFINIZIONE

−→

f : X Y

spazio topologico con la topologia insieme

Y µ , X

Y

∗ −1

{f }

f (µ ) = (U )|U aperto di Y

Y

E' il pull-back della topologia µ Y

OSSERVAZIONE

è una topologia di

∗

f (µ ) X

Y

Ricordiamo che: S S

−1 −1 −1 −1

{∅};

f (∅) = f (Y ) = X f ( A ) = f (A )

i i

T T i∈I i∈I

allora si verica subito che:

−1 −1

f ( A ) = f (A )

i i

- L'unione di aperti è aperta

- è aperto

∩

A B

0.2 Spazi topologici 19

OSSERVAZIONE

Se è una base per allora:

B µ Y B}

∗ −1 0 ∗ −1

{f ∈ {f ∈ }

f (B) = (B)|B e una base per f (µ ) = (X)|X µ

Y Y

perché allora

B∃f B

−1 ∗ ∗ ∗

∀B ∈ ∈ ⊆ ∀x ∈ ∈

(B) f (µ ) f (B) f (µ ) X∃B :

Y Y X

(perché è una base)

B

∈

x B

X

Allora: −1 ∗ −1 ∗ −1