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Geometria 3 - Appunti

Appunti di Geometria 3 per l'esame della professoressa Rita Fioresi. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: gli spazi metrici, gli spazi topologici, l'omeomorsmi, la caratterizzazione delle funzioni continue negli spazi metrici e gli spazi metrici.

Esame di Geometria 3 docente Prof. R. Fioresi

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ESTRATTO DOCUMENTO

0.3 Omeomorsmi 27

ha la topologia quoziente è aperto aperto saturo

∀U ⊆

2) Y <=> P (U ) X

Verichiamo che sia ben denita è aperto per

1) => P (U )

Dimostrazione.

aperto saturo. Per denizione è aperto in se è aperto

−1

U P (U ) Y P (P (U ))

in . Ma perché è un aperto saturo.

−1

U P (P (U )) = U U

Se è aperto in , allora è aperto saturo in e

−1 −1

A Y P (A) X P (P (A)) = A

perché è suriettiva.

P

Se ; aperti saturi in

P (U ) = P (V ) U, V X e saturi)

−1 −1

P (P (U )) = P (P (V )) => U = V (U V

La viene dalla

2) => 1)

Se è aperto in aperto in Ovvia per la conti-

−1

(<=) A Y, <=) P (A) X =>)

nuità di P

Se è aperto in aperto perché è

−1 −1 −1

P (A) = B X => A = P (P (A)) P (A)

saturo

PROPOSIZIONE

continua e suriettiva, se è aperta è una mappa

−→

P : X Y P => P

quoziente (dimostrazione della proposizione precedente)

PROPOSIZIONE f g

−→ −→

X Y Z

mappa quoziente è una mappa quoziente

f, g => g f

Devo far vedere che è aperta è

−1

⊆ ◦

U Z <=> (g f ) (U )

Dimostrazione.

aperto

28 INDICE

−1 −1 −1

f (g (U )) aperto <=> g (U ) aperto <=> U aperto

OSSERVAZIONE

suriettiva e continua che non sono mappe quoziente

∃f −→

1) : X Y

Se è una mappa quoziente e è un sottospazio di non è un

|

2) P A X, P A

sottospazio Vediamo:

Dimostrazione. × −→

P : R R R

7−→

(x, y) x

mappa quoziente

P continua e suriettiva ma non è una mappa quoziente,

| −→ {(0,

P : A 0)}

R

A

è aperto in perché se prendo l'intersezione tra l'intorno di e 2

{(0,

A 0)} R

trovo un punto.

E' un aperto saturo ma non è un aperto in

−1

{(0, |

0)} = P (0) 0 => P

R A

non è una mappa quoziente.

RELAZIONI DI EQUIVALENZA (DEFINIZIONE)

spazio topologico, relazione di equivalenza

X X {[x]}

−→ = classidiequivalenza

P : X 7−→

x [x]

con la topologia quoziente ereditata da , si dice spazio quoziente di

X P X

rispetto a

0.3 Omeomorsmi 29

OSSERVAZIONE

mappa quoziente, allora X

−→

P : X Y Y =

x x <=> P (x ) = P (x )

1 2 1 2

GRUPPI TOPOLOGICI

è un gruppo topologico se è un gruppo, uno spazio topologico e le opera-

G

zioni di gruppo sono funzioni continue:

× −→

m : G G G

7−→

x, y xy

−→

G G

−1

7−→

x x

OSSERVAZIONE

Se è un sottogruppo topologico di gruppo topologico

H G

classi laterali, se è normale è un gruppo se no è un insieme

G {xH}

= H

H G

−→

G H

7−→

g gH

Spazio topologico quoziente

DEFINIZIONE (spazio di Hausdor)

spazio topologico, si dice

X T , k = 0, 1, 2, 3, 4

k

∀x, 6 ∃U 3 6∈

T ) y; x = y x, y U

0 x x

30 INDICE

aperti

∀x, 6 ∃ 3 3 6∈ 6∈

T ) y, x = y U x, U y, x U , y U

1 x y y x

Hausdor aperti

∀x, 6 ∃U 3 3 ∩ ∅

T ) y, x = y x, U y U U =

2 x y x y

Spazio regolare è e chiuso aperti

∀F 63 ∃U ⊇ 3

T ) X T x F, U x

3 1 F x

∩ ∅

U U =

x F

Se prendo due chiusi disgiunti, aperti

∃U ⊇ ⊇

T ) F , F F , U F

4 1 2 F 1 F 2

1 2

∩ ∅

U U =

F F

1 2

OSSERVAZIONE

1) T => T => T

2 1 0

spazio metrizzabile è di Hausdor

2) X => X

PROPOSIZIONE

Se è tutti i suoi punti sono chiusi.

X T <=>

1 sono aperti perché

6 − {x}, − {y}

<= x = y, U = X U = X

Dimostrazione. x y

i punti sono chiusi. S aperto

è chiuso? 63

∈ U x

=> x X, x => c(x) = y

y6 = x

COROLLARIO

Se è di Hausdor, tutti i punti sono chiusi.

X

PROPOSIZIONE

Se è di Hausdor è di Hausdor.

Y X. X => Y

0.3 Omeomorsmi 31

allora aperti in tali che

∈ 6 ∃U ∩

x, y Y, x = y , U X U U =

Dimostrazione. x y x y

∅ ∩ ∩ ∩ ∅

=> (U Y ) (U Y ) =

x y

PROPOSIZIONE

di Hausdor è di Hausdor

×

X, Y <=> X Y , Supponiamo ,

6 6 ∃U 3 3

(x , y ) = (x , y ) x = x x , U

Dimostrazione. 1 1 2 2 1 2 x 1 x

1 2

∩ ∅

x , U U =

2 x x

1 2 × ∩ × ∅

(U Y ) (U Y ) =

x x

1 2

OSSERVAZIONE

è di Hausdor è un sottospazio omeomorfo a allora è

× {x} ×

X Y Y Y

di Hausdor perché gli omeomorsmi presentano la proprietà di Hausdor.

DEFINIZIONE (G- SPAZI)

insieme, gruppo; agisce su se:

X G G X

× −→

G X X

7−→ · ∈ · ∈

(g, x) g X x X e g h G

tale che:

·

1)1 x = x

· · · ·

2)g (h x) = g h x

32 INDICE

OSSERVAZIONE

Se ho un azione di su , ho una relazione di equivalenza su , ∼

G X X X

,

· ∈ ∈

Y <=> x = g y x, y X, g G

DEFINIZIONE

Se è uno spazio topologico e agisce su in modo continuo, cioè:

X G X

−→

X X

7−→ ·

x g x

è continua ∀g ∈ G

Allora si dice spazio e si può indicare anche con

X X

G−

∼ G

G

TEOREMA

è un spazio allora è aperta

X

−→

X G− P : X G

è aperto?

U X, P (U )

Dimostrazione.

aperto aperto

−1

P (U ) <=> P (P (U ))

−1 {x ∈ ∈ {x ∈ ∈ }

P (P (U )) = X|P (x) P (U )} = X|P (x) = P (y), y U

S

allora cioè

∼ · {x ∈ ∈ · } ·

x y x = g y = X|x g U = g U

g∈G

OSSERVAZIONE

T => T => T => T => T

4 3 2 1 0

0.3 Omeomorsmi 33

OSSERVAZIONI SU HAUSDORFF

PROPOSIZIONE

Se esiste il limite di una successione allora tale limite è unico se è di

X

Hausdor.

Dimostrazione. ∀ 3 ∃N ∈

lim x = x <=> aperto U x, > 0, n > N, x U

n n

x→+∞

(supponiamo limite di )

0

∃ x, x x 1 0

3 3 ∩ ∅

U x, U x ; U U =

0 0

x x x x

∃N ∈ ∃N ∈ }

, x U , n > N ; , x U , n > N ma se n > max{N , N

0

1 n x 1 2 n x 2 1 2

Ma questo è assurdo, allora perché

0 ∩ ∅

x = x U U =

0

x x

PROPOSIZIONE

Ogni spazio metrizzabile è normale.

1) (Lemma di Uryson) normale, chiusi, allora esiste

⊆ −→

2) A, B X A, B f : X

continua. 8

[0, 1] >

< ∈

0 x A

>

f (x) = : ∈

1 x B

34 INDICE

ATTENZIONE

La proprietà di Hausdor non passa al quoziente.

SPAZI COMPATTI (DEFINIZIONE)

spazio topologico

X si dice ricoprimento di se:

⊆ {U }

S X; S

j j∈J

1) U X

j S

2) S U j

j∈J

si dice ricoprimento aperto se è aperto

{U } ∀j

U

j j∈J j

Se S = X, X =⊆ U

j∈J j

DEFINIZIONE (SOTTORICOPRIMENTO)

Se è un ricoprimento di , diciamo che è un sottorico-

{U } {V }

X

j j∈J k k∈K

primento se è un ricoprimento di , se tali che

{U } ∀K ∈ ∃j ∈

k, J U = U

j j∈J j k

DEFINIZIONE (COMPATTEZZA)

spazio topologico è compatto se ricoprimento aperto un sottorico-

∀ ∃

X

primento nito.

TEOREMA continua, compatto compatto

−→ ⊆

f : X Y S X => f (S)

0.3 Omeomorsmi 35

Sia un ricoprimento aperto di Vado a vedere

{U } f (S).

Dimostrazione. j j∈J

se esiste un sottoricoprimento nito. è un ricoprimento aperto

−1

{f (U )}

j j∈J

di .

S

Poiché compatto, esiste un sottoricoprimento nito: −1 −1

{f

S (U ), ..., f (U )}

1 k

−1 −1

∪ ∪

S = f (U ) ... f (U )

1 k

⊆ ∪ ∪

f (S) U ... U

1 k

COROLLARIO

compatto, compatto

X

1) X ∼

compatto, omeomorsmo compatto

2) X X Y => Y

=

ATTENZIONE

compatto, non è detto che sia compatto, ad esempio .

⊆ ⊆

S X (0, 1) [0, 1]

Però se è chiuso la proprietà diviene ereditata.

S

PROPOSIZIONE

compatto, chiuso compatto

X S X => S S

Sia ricoprimento aperto di ( )

{U } ⊆

S (U )

Dimostrazione. j j∈J j

j∈J

Osserviamo che è un ricoprimento aperto di

{U −

, X S} X

j

Poiché compatto, sottoricoprimento (aperto) nito .

∃ {U −

X , ..., U ; X S}

1 k

Dunque:

∪ ∪

S = U ... U

1 k

TEOREMA

36 INDICE

Sia di Hausdor, compatto è chiuso.

S X, X S => S

Sia vogliamo mostrare che aperto,

∈ − ∃V ∈

p X S, p

Dimostrazione. p

allora è aperto

⊆ − −

V , V X S X S

p p

Poiché è di Hausdor, se aperti, tali che

∈ ∃U ∈ ∈

X x S, , U x U , p U , x

x p x p

∩ ∅

U U =

x p

Se ripeto il ragionamento, trovo disgiunti da e che ri-

∀x ∈ {U }

S, U

x x∈S p

S

coprono , è un ricoprimento aperto di . Poiché è

{U } ⊆

S S U S

x x∈S x

x∈S

compatto, esiste un sottoricoprimento nito ⊆ ∪ ∪

U , ..., U , S U ... U

1 k 1 k

Scegliamo aperti contenenti tali che ∩ ∅

V , ..., V p V U =

1 k 1 i

∩ ∩

V := V ... V (intersezione f inita di aperti)

1 k

Quindi abbiamo che:

1) p V

è aperto è aperto è chiuso

− −

2) V => X S => c(X S) = S

⊆ −

3) V X S

PROPOSIZIONE

è compatto è chiuso e limitato.

S <=> S

R (=>)

Dimostrazione.

Poiche' è di Hausdor è chiuso (per il teorema precedente, è anche

=> S S

R S

limitato, se non lo fosse )

S (−j, j)

j∈N

Se non è limitato, il ricoprimento aperto non ammetterebbe sot-

{(−j,

S j)}

toricoprimento nito.

(<=)

0.3 Omeomorsmi 37

limitato signica per qualche . Poiché chiuso:

⊆ ⊆

S S (−N, N ) N S S

[−N, N ]

Poiché è chiuso in un compatto (cioè ) è compatto

S [−N, N ] => S

PROPOSIZIONE

compatto, di Hausdor

X Y è continua. Allora:

−→

f : X Y, f

è chiusa;

1) f è biettiva, allora è un omeomorsmo.

2) f f

chiuso in , è chiuso?

1) C X f (C)

Dimostrazione.

chiuso in compatto compatto compatto chiu-

C X => C => f (C) => f (C)

so (per il teorema precedente)

aperta?

2) f = chiuso aperto

− − −

f (U ) = f (X C) = f (X) f (C) Y =

PROPOSIZIONE

compatti compatto

×

X, Y => X Y

ricoprimento aperto di

{W } ×

X Y

Dimostrazione. j [ ×

W = (U V )

j j,k j,k

k∈K

38 INDICE

Osservo che è un ricoprimento aperto di ∼

{U × } {x} ×

V y Y

=

j,k j,k

Dunque poiché sono compatti allora sottoricoprimento nito

∼ {x} × ∃

Y y

= [ ×

{x} × ⊆ U V => I(X) sono f initi

y j,k j,k

(j,k)∈I(X)

Allora sono niti

{V }, {U }, ∈

(j, k) I(X)

j,k j,k

[ 0

U := U aperto perche unione di aperti f inita

x j,k

(j,k)∈I(X) [ ∪ ∪

U = U ... U

X = x x x n

x∈X

Perché è compatto unione nita di sottoricoprimenti

X =>

∪ ∪

I := I(x ) ... I(x ) => I unione di indici f inita

1 n

S

Allora × ×

X Y = (U V )

j,k j,k

(j,k)∈I

OSSERVAZIONE

compatti compatti

× ×

X , ..., X => X ... X

1 n 1 n

TEOREMA

è compatto

[0, 1] S

Sia ricoprimento aperto di cioè

{U } ⊆

[0, 1] [0, 1] U

Dimostrazione. j j∈J j

j∈J

Per assurdo non esiste un sottoricoprimento nito.

=>

Almeno uno dei intervalli e non ha sottoricoprimento nito.

1 12

2 [0, ] [ , 1]

2

Supponiamo sia Allora è o non ha sottoricoprimento nito.

12 1 14 12

[0, ]. [0, ] [ , ]

4

0.3 Omeomorsmi 39

Ottengo una successione di intervalli:

[a , b ] = [0, 1]

0 0 12

[a , b ] = [0, ]

1 1 12

1 , ]

[a , b ] = [

2 2 4

..

.

Osservo che inoltre noto che

1

− ≤ ≤

b a = , a a < b b

n n n n+1 n+1 n

n

2

≤ ≤

a a := sup a b = inf b < b (∗)

n n n n

1 ∀n → ∈

− ≤ => se n +∞ b = a U per un certo J

b a J 0

0

n

2

Poiché è aperto ∃ − ⊆

U > 0 : (a + , a ) U

J J

0 0

Allora 1 1

∃N −

> 0 : > , b a = <

N N

N N

2 2

Da si vede che e

1 1

− − − −

(∗) a a < b a = b b(= a) < b a <

N N N N N N

N N

2 2

ma allora il ricoprimento sarebbe chiuso, ma

⊆ − ⊆

[a , b ] (a , a + ) U

N N J 0

questo è assurdo.

TEOREMA

compatto è chiuso e limitato

N

S <=> S

R <=

Dimostrazione.

chiuso e limitato, n

S S [−N, N ]

compatto (dal fatto che è compatto ed è omeomorfo a

[−N, N ] [0, 1] [0, 1]

qualsiasi altro insieme)

compatto per

n

[−N, N ] S

compatto perché è chiuso e è compatto.

N

S S R

=> 40 INDICE

compatto in di Hausdor è chiuso

N

S => S

R

limitato perché se non lo fosse:

S [

⊆ B (0)

S n

n∈N

non ammetterebbe sottoricoprimento nito.

{B (0)}

n

DEFINIZIONE

spazio metrico

X è compatto al limite se ogni insieme con inniti elementi in am-

1) X X

mette punti di accumulazione.

è compatto per successioni se per successione una sottosuccessione

∀ ∃

2) X

convergente.

TEOREMA

spazio topologico metrizzabile, sono equivalenti:

X è compatto.

1) X è compatto al limite.

2) X è compatto per successioni.

3) X

DEFINIZIONE (compattezza locale e compatticazione)

è localmente compatto in se compatto,

∈ ∃C 3 ⊇ 3

X x X x C U x

x

localmente compatto se localmente compatto ∀x ∈

X X

TEOREMA

0.3 Omeomorsmi 41

è localmente compatto e di Hausdor tale che:

∃Y

X <=>

sottospazio

1) X Y

− {punto}

2) Y X =

compatto e di Hausdor

3) Y

Se e soddisfano ∼

0 0

∃Y

Y Y 1), 2), 3) Y , φ(X) = id

= φ

si dice la compatticazione di Alexandro di o compatticazione a un

Y X

punto. =>

Dimostrazione.

Vogliamo costruire con le proprietà

Y 1), 2), 3)

Prendiamo un punto e lo chiamiamo

6∈ ∞

X

∪ {∞}

Y := X

aperto in aperto in oppure con compatto in

U Y <=> U X U = Y C C

allora questa è una topologia.

X aperto di è un compatto (chiuso e limitato).

∪ {∞} ∞

Y = R R−

Per esempio:

è un sottospazio di

1) X Y

Vera per costruzione.

2) S

compatto,

3) Y Y = U

j

j∈J [

∃U − − ∪

= Y C => Y = (Y C) U

1 U j

1 j=i

S ricopre allora un sottoricoprimento nito perché è compatto.

U C C

j

j∈J

di Hausdor ∈

Y x, y Y

L'unico caso interessante è ∈ ∞

x X, y =

aperto, , considero aperto di allora sia (

− ∞ ∞ 3 ⊆

y C y = V U x, U C X

localmente compatto) ∩ ∅

=> U V =

UNICITA' (A MENO DI OMEOMORFISMI)

42 INDICE

0

−→

h : Y Y

7−→ ∀x ∈

x x X

0

∞ 7−→ ∞

è biettivo, è di Hausdor. Dobbiamo far vedere che è continua (oppure

h Y h

per )

−1

h aperto aperto?

=> U h(U )

aperto.

∞ 6∈ U, h(u) = U compatto in

∞ ∈ − − −

U = Y C => h(Y C) = h(Y ) h(C) X, h(C) = C

0

=Y

compatto

<=

di Hausdor vero perché sottospazio di di Hausdor.

X Y

localmente compatto in . Sia aperto e aperto tali che

∈ 3 3 ∞

X x X U x V

di Hausdor)

∪ ∅

U V = (Y

chiuso perché è aperto.

C = Y V V

compatto è compatto ⊇ 3

Y => C (C U x)

DEFINIZIONE

Sia spazio di Hausdor ⊆ x = y

Y X Y,

Allora si dice compatticazione di (non sono uniche)

Y X

(Se è localmente compatto e di Hausdor la compatticazione a

X => 1

punto esiste ed è unica)

QUOZIENTI DI SPAZI COMPATTI E DI HAUSDORFF

TEOREMA

0.3 Omeomorsmi 43

mappa quoziente (continua, suriettiva, topologia quozien-

−→

f : X Y Y

te). Supponiamo:

compatto e di Hausdor.

1) X chiusa

2) f

Allora è compatto e di Hausdor.

Y Voglio trovare per in

6

y = y Y

Dimostrazione. 1 2

aperti tali che

3 3 ∩ ∅

W y , W y W W =

1 1 2 2 1 2

Considero Se sono punti allora sono chiusi

−1 −1

3 3

f (y ) x , f (y ) x . x , x

1 1 2 2 1 2

perché punti in di Hausdor, per ipotesi. Poiché è chiusa (per ipotesi)

X f

allora sono chiusi: y = f (x ), y = f (x )

1 1 2 2

Allora dato che è continua, allora sono chiusi e compatti.

−1 −1

f f (y ), f (y )

1 2

Voglio trovare due aperti disgiunti e

−1 −1

⊇ ⊇

U f (y ) V f (y )

1 2

S

Sia −1 −1

∈ ⊆ ⊆ V

x f (y ) X, f (y −1 x,y

1 2 x∈f (y )

2

aperto (ssato)

−1

∀x ∈ ∃V ∈ ∩ ∅, ∃U 3

f (y ), y V , V U = x

2 x,y x,y x,y x,y x,y

S aperto

ni=1

−1 ⊆

f (y ) V := V

2 x,y x

T aperto (intersezione nita)

ni=1

U = U

x x,y S

(ripetendo il ragionamento), allora −1

∩ ∅ ⊆

U V = f (y ) U

−1 x

x x 1

S x∈f (y )

1

m

−1 ⊆

f (y ) U

1 x,y

j=1 \

m −1

V := V f (y )

i,j 2

i=1

[

m −1

U := U f (y )

x,y 1

j=1

∩ ∅

U V =

∈ − −

y W := Y f (X U )

1 1 allora sono aperti.

∈ − −

y W := Y f (X V )

2 2 −1

∈ − − 6∈ − ⊆

y Y f (X U ) <=> y f (X U ) <=> f (y ) U

1 1 1

Dobbiamo vericare ∩ ∅

W W =

1 2

44 INDICE

Se −1

∈ − − ⊆

Y W = Y f (X U ) => f (Y ) U

1 allora perché

−1

∈ − − ⊆ 6∈ ∩

Y W = Y f (X V ) => f (Y ) V Y W W

2 1 2

∩ ∅

U V =

COROLLARIO

gruppo nito

G spazio di Hausdor compatto

X è compatto e di Hausdor

X

− −→

X, G spazio G

Usiamo il teorema precedente

Dimostrazione. X

−→

P : X G

Verichiamo chiusa

P

chiuso, è chiuso? Cioè è chiuso?

−1

C X P (C) P (P (C))

S allora è chiusa perché unione nita di chiusi

−1 ·

P (P (C)) = g C

g∈G

contiene tutti i punti in relazione con cioè tutti

−1

y P (C), P (Y ) Y X = g·Y,

è chiuso perché omeomorsmo.

· −→ 7→ ·

g C θ : X X, x g x

g

COROLLARIO

compatto di Hausdor

X compatto di Hausdor

chiuso X

A X => A

Dimostrazione. X

−→

P : X A

Dobbiamo solo vericare che sia chiusa.

P

chiusa, chiusa?

C X P (C)

0.3 Omeomorsmi 45

chiusa?

−1

P (P (C))

Se ∩ ∅

1) C A = chiusa

−1

P (P (C)) = C

Se ∩ 6 ∅

2) C A = chiusa

−1 ∪

P (P (C)) = A C =>

CONNESSIONE

DEFINIZIONE (SPAZI CONNESSI)

è spazio topologico connesso se i soli sottoinsiemi aperti e chiusi in

X X

sono e

∅ X

PROPOSIZIONE

è connesso non è unione di due aperti (chiusi) disgiunti.

X <=> X

=>

Dimostrazione.

aperti disgiunti

X = U V

aperto per ipotesi, ma anche chiuso (contraddizione)

U c(V )

<=

Per contraddizione aperto e chiuso tale che . Allora

∃U ⊂ ∪

X, X = U c(U )

aperto e chiuso aperto e chiuso contraddizione.

U => c(U ) =>

PROPOSIZIONE

Se è compatto è chiusa

× −→

Y => f : X X Y

46 INDICE

Se non è compatto è falso.

Y

TEOREMA (compatto di Hausdor)

−→

f : X Y graco di

{(x,

Γ = f (x)} f

chiusa è continua

Γ <=> f

<=

Dimostrazione.

continua in aperto aperto

∀V 3 3 ⊆

f x <=> f (x)∃U x f (U ) V

x x

Mostro che, sia cioè Devo mostrare che

6∈ 6 ∃U 3

(x, y) Γ, y = f (x). (x, y)

(x,y)

aperto, ∩ ∅

U Γ =

(x,y)

di Hausdor e aperti disgiunti

∃V

Y => V

Y f (x)

continua, ∃U 3

f x

x

f (U ) V

x f (x) × ∩ ∅

U := U V => U Γ =

x y

(x,y) (x,y)

perché ⊆

f (U ) V

x f (x)

∩ ∅

V V =

y

f (x)

=>

chiuso allora sia aperto 3

Γ V f (x)

Voglio trovare tale che

3 ⊆

U x f (U ) V

allora ottengo un chiuso

∩ × −

Γ X Y V

Allora chiuso

P

∩ × − 7−→

Γ X Y V C

U = c(C) sono tali che sono le in con

∩ × − 6∈ ×

Γ X Y V (x, f (x)) f (x) V, C x X Y

6∈

f (x) V

0.3 Omeomorsmi 47

con ∈

U = c(C) : X f (x) V

NOTA SPAZI CONNESSI

Se e e è aperto e chiuso allora

⊆ 6 ∅

Y X Y = Y Y = X

SPAZI CONNESSI IN R

PROPOSIZIONE

è connesso in

[a, b] R ˙

∪V

[a, b] = U

Dimostrazione.

aperti e chiusi disgiunti 6 ∅

U, V U =

chiusi in chiusi in

7−→

U, V [a, b] R

∈ |u ∀v ∈ }

h = sup{u U < v V

− ∩ 6 ∅

(h , h + ) U = allora per la proprietà di densità dei numeri reali

− ∩ 6 ∅ ∀

(h , h + ) V =

∈ ∈

h U, h V

PROPOSIZIONE

Ogni insieme connesso di è un intervallo ( è connesso è un

Y <=>

R R

intervallo) Supponiamo che non sia un intervallo, cioè ∃a, ∈ 6∈

Y b Y, c

Dimostrazione.

Y ˙

∩ ∪(c, ∩

(−∞, c) Y +∞) Y

48 INDICE

TEOREMA continua connesso

−→

f : X Y => f (X)

Possiamo supporre suriettiva, se aperto e chiuso,

f U Y

Dimostrazione.

allora è aperto e chiuso, cioè allora o

−1 −1 ∅, ∅

f (U ) f (U ) = X U = U = Y

COROLLARIO

connesso connesso.

'

1) X Y, X <=> Y

connesso, è connesso.

X

2) X ∼

TEOREMA T

spazio topologico, sottospazi connessi tali che

{Y } 6 ∅

X Y =

j j∈J j

S j∈J

Allora è connesso.

Y = Y

j

j∈J

Sia aperto e chiuso. Supponiamo tale che

⊆ 6 ∅, ∃Y

U Y U =

Dimostrazione. i

∩ 6 ∅

U Y =

è aperto in dunque poiché è connesso o

∩ ∩ ∅

U Y Y Y U Y =

i i i i non vera

T

perché

→ ⊆ ∩ 6 ∅ ∀j 6 ∅

Y Y U, U Y = Y =

i i j j

S

j∈J

aperto

∩ ⊆ ∀j

U Y => Y U => U = Y = Y

j j j

OSSERVAZIONE S

Ogni intervallo in è connesso b−a

− ]

=> [a, b) = [a, b

R n≥1 n

2

0.3 Omeomorsmi 49

Dunque sono connessi.

(a, b), [a, b), (−∞, a), (a, +∞), R

TEOREMA

connessi connesso

×

X, Y => X Y

Osserviamo che ssati ∈ ∈ ' × {y}, '

x X, y Y X X Y

Dimostrazione.

connessi

{x} × Y × {y} ∪ {x} ×

A = X Y

{x,y}

(connesso per il teorema precedente)

[ 0

×

X Y = A (Y e f issato)

{x,y}

x∈X

\ × {y} 6 ∅

A = X =

{x,y}

x∈X

allora è connesso.

×

X Y

DEFINIZIONE (CONNESSIONE PER ARCHI)

Un arco o cammino in uno spazio topologico è semplicemente una funzione

X

continua. −→

f : [0, 1] X

punto iniziale

f (0) punto nale

f (1) curva su

f ([0, 1]) X

connesso per archi se arco tale che

∀P 6 ∈

X = Q X∃f f (0) = P, f (1) = Q

RELAZIONE TRA CONNESSIONE E CONNESSIONE PER ARCHI

50 INDICE

PROPOSIZIONE

Se è un connesso per archi allora è connesso (ma non è vero il viceversa)

X X

X = U V

Dimostrazione.

aperti non vuoti

U, V

Sia ∈ ∈

u U, v V

Poiché connesso per archi, un arco

∃ −→

X f : [0, 1] X

f (0) = u, f (1) = v

Poiché connesso e continua; connesso

[0, 1] f f ([0, 1])

aperto in

f ([0, 1]) U = f ([0, 1])

aperto in allora non possono essere disgiunti,

∩ ∃P ∈

f ([0, 1]) V = f ([0, 1])

∩ ∈ ∩

A B, P U V

OSSERVAZIONE

Se è connesso connesso per archi

6

X =

> X

PROPOSIZIONE

Se aperto e connesso è connesso per archi

n

∅ 6 ⊆

= E => E

R Sia ssato punti collegati a tramite

P E => F = P

Dimostrazione.

qualche arco.

{Q ∈ −→ ⊆

F = E|∃ arco f : [0, 1] E, f (0) = P, f (1) = Q} E

0.3 Omeomorsmi 51

Devo mostrare che F = E

Poiché è connesso basta mostrare che (perché ) e aperto e

6 ∅ ∈

E F = P F F

chiuso.

aperto perché mostriamo che aperto contenuto in

∈ 3

F q F, E q F

Poiché aperto, ∃ {x ∈ ⊆

E > 0 : B (Q) = E|d(x, q) < } E

Ma B (Q) = F

è connesso per archi (sfera in ). Dunque ogni punto in è

n

B (Q) B (Q)

R

collegato a e pertanto a .

Q P

chiuso allora sia Vogliamo mostrare che è aperto. Sia

− ∈

F G = E F. G Q G

considero {x ∈ ⊆

B (Q) = E|d(x, Q) < } E

altrimenti se anche perché posso

∩ ∅ ∈ ∩ ∈

B (Q) F = Y B (Q) F, Q F

collegarlo a ∈

Y F

TEOREMA continua, connesso per archi allora connesso per archi.

−→

f : X Y X f (X)

suriettiva (non perdo in generalità )

−→

f : X Y Y = f (X)

Dimostrazione.

Se vogliamo mostrare che l' arco

∈ ∃

a, b Y g, g(0) = a, g(1) = b

poiché connesso per archi tale che

0 0

∃a ∈ ∃h −→

, b X, X : [0, 1] X

0

h(0) = a

0

h(1) = b

g = f h 0

g(0) = f (h(0)) = f (a ) = a

0

g(1) = f (h(1)) = f (b ) = b

52 INDICE

COROLLARIO

Se e connesso per archi allora è connesso per archi.

'

1) X Y X Y

è connesso per archi.

Se è connesso per archi X

2) X ∼

TEOREMA (ANALOGO AL TEOREMA SULLA CONNESSIONE)

S spazio topologico

Y = Y , Y, Y X

j j

j∈J

connesso per archi.

Y j

T allora è connesso per archi.

6 ∅,

Y = Y

j

j∈J Devo mostrare che se ∈ ∃f −→

a, b Y, : [0, 1] X, f (0) =

Dimostrazione.

∃j ∈ ∈

a, f (1) = b , j , a Y , b Y

0 1 j j

T 0 1

Sia ∈

c Y j

j∈J

Poiché connessi per archi, ∃f −→

Y , Y : [0, 1] X, f (0) = a, f (1) = c

j j 0 0 0

0 1 un arco da a

−→ ∃

f : [0, 1] X, f (0) = c, f (1) = b => a b

1 1 1 8

−→

f : [0, 1] X >

< 12

≤ ≤

f (2t) 0 t

0

>

f (t) = : 1

− ≤ ≤

f (2t 1) t 1

1 2

TEOREMA

connessi per archi connessi per archi

×

X, Y => X Y

(DIMOSTRAZIONE COME PER LA CONNESSIONE)

DEFINIZIONE(OMOTOPIA E GRUPPO FONDAMENTALE)

−→

f : X Y

0

0.3 Omeomorsmi 53

−→

f : X Y

1

funzione continua tra spazi topologici

e si dicono omotope se una omotopia

f f

0 1 × −→

F : X I Y (I = [0, 1])

7−→

(x, t) F (x, t)

continua tale che: F (x, 0) = f (x)

0

F (X, 1) = f (x)

1

e si dicono omotope rispetto ad se un omotopia (come

⊆ ∃

f f A X F

0 1

prima) tale che ∀a ∈

F (a, t) = f (a) = f (a) A

0 1

PROPOSIZIONE

La relazione di omotopia è una relazione di equivalenza ∼

f f

0 A 1

è riessiva

∼ ∼

1) f f ?

Dimostrazione. A A

tale che e

F (x, t) F (x, 0) = f (x) F (x, 1) = f (x)

∀t

F (x, t) = f (x)

è simmetrica:

∼ ∼ ∼

2) f g, g f ?

A A A

signica che tale che

∼ ∃F

f g F (x, 0) = f (x); F (x, 1) = g(x)

A ∀a ∈ ⊆

F (a, t) = f (a) = g(a) A X

Devo trovare l'omotopia tale che:

G G(x, 0) = g(x) = F (x, 1)

G(x, 1) = f (x) = F (x, 0)

G(a, t) = f (a) = g(a)

G(x, t) := F (x, 1 t)

è transitiva: , ,

∼ ∼

3) f g F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g(x) F (a, t) = f (a) =

A A

g(a) 54 INDICE

g h G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x), G(a, t) = g(a) = h(a)

A

Dobbiamo trovare cioè omotopia

f h H

A

H(x, 0) = f (x) = F (x, 0), H(x, 1) = h(x) = G(x, 1) H(a, t) = f (a) = h(a)

8

>

< 12

≤ ≤

F (x, 2t) 0 t

>

H(x, t) = : 1

− ≤ ≤

G(x, 2t 1) t 1

2

Vero perché attacchiamo due funzioni su un chiuso.

DEFINIZIONE

Due spazi topologici sono omotopicamente equivalenti, −→

X, Y f : X Y, g :

allora

−→ ◦ ∼ ◦ ∼

Y X f g id , g f id

Y X

OSSERVAZIONE

(omeomorfo) omotopicamente equivalenti ad

' −→ (6←−)X

X Y Y

OSSERVAZIONE

(omotopicamente equivalenti) è una relazione di equivalenza

X Y

DEFINIZIONE (GROPPO FONDAMENTALE)

gruppo fondamentale (invariante topologico) o pri-

∈ −→

X, x X Π(X, x )

0 0

mo gruppo di omotopia (omologia)

8

>

< −→

f : [0, 1] X (laccio o cappio)

> ∼

Π(X, x ) := /

:

0 f (0) = f (1) = x 0

omotopia rispetto a {0, 1}


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kimiko88

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DETTAGLI
Esame: Geometria 3
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kimiko88 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria 3 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Fioresi Rita.

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