Appunti Fondamenti di automatica

Fondamenti di Automatica

Leggere "1-Introduzione".

• M = modello (matematico) che descrive come interagiscono le variabili del sistema
• u: variabili in ingresso controllabili
• y: variabili in uscita
• a_m: ingressi che non possiamo controllare ma possiamo misurare
• a_n: ingressi che non possiamo controllare né misurare
• C = controllore, ciò che il sistema può controllare
• y_s: obiettivo per l’uscita del sistema (che non per forza è una costante)

Controllo in catena aperta

Il controllore non sa effettivamente quello che sta succedendo all’impianto. Ciò è utilizzabile praticamente solo quando il modello del sistema è conosciuto perfettamente (ed un modello più accurato è naturalmente più complicato). Esempio: se conoscessi la strada perfettamente, potresti guardare con gli occhi chiusi, se non ci fossero né imprecisioni né ingressi non controllabili.

Controllo in catena chiusa

Il controllo può confrontare l’uscita del sistema effettiva con quella ottimale ed eseguire le dovute correzioni (sistema retroattivo). È però più costoso (dato che sono necessarie più misurazioni) e più difficile da realizzare a causa di un segnale che circola e causa problemi di stabilità.

Il primo passo è quello di creare un modello matematico del sistema che voglio automatizzare, classificare correttamente le variabili e capire se valgono le ipotesi di linearità, tempo invarianza.

Possiamo avere vari modelli di diversa complessità che descrivono un sistema in condizioni diverse (con più equazioni quindi che tengono conto di sempre più variabili).

Un modello semplificato è più pratico se utilizzato con un controllo a catena chiusa perché riesce a "digerire" meglio grosse incertezze presenti sul processo dato che misura l'uscita ed è quindi più conveniente.

Dopo aver progettato il controllo devo passare alla verifica prima di applicarlo alla realtà tramite delle simulazioni.

È meglio prima simulare la progettazione di un controllo verificandolo con un modello complicato per simulare per quanto possibile la realtà prima di provarlo effettivamente sul campo reale (il modello semplificato è invece usato per la progettazione del controllo).

Capire che strumenti usare per studiare il comportamento di sistemi interconnessi se presenti, dopo averli studiati singolarmente.

Sistema per mantenere h costante nel serbatoio

• S_i, A_i, A_u: parametri costanti
• q_i: portata di volume in ingresso
• q_u: portata di volume in uscita

_dV/_dt = q_i - q_u (per la conservazione della massa)

q_u = A_uv_u = A_u√2gh (per la legge di Bernoulli o la conservazione dell'energia)

q_i: ritardo dovuto al fatto che quando chiudo la valvola, la portata q_i non va improvvisamente a 0 ma ci arriva con un ritardo T_d che dipende da d

Serve sapere h(t_d) - y(t_d) + u(t_d) V t> T per ottenere la funzione esplicita y(t_d)

L'uscita è la variabile che voglio controllare (in questo caso h(t_d), ma potrebbe essere la portata A_u oppure il volume, arbitrarimamente

1. Per un sistema meccanico in 3D abbiamo come variabile di stato di ogni massa un vettore a 6 componenti (3 per la posizione (energia potenziale) e 3 per la velocità (energia cinetica))

2. Per un sistema termico per ogni corpo lo stato è la sua temperatura T. Temperatura che dipende però dal tempo e dalla posizione in cui la vado a misurare T(t, z)

Suddivido la sbarra in tanti piccoli elementi in cui la temperatura non dipende più dalla posizione

3. Per un sistema idraulico lo stato contiene la pressione e la portata.

4. Per un sistema elettrico lo stato contiene una tensione V, capacità e una corrente V, induttanza.

Sono sistemi che evolvono in maniera continua del tempo cioè definiti e validi in ogni intervallo di tempo.

Sistemi dinamici:

• Tempo continuo (t ∈ ℝ)
• Tempo discreto (t ∈ ℕ)

Dato che lo stato è scelto arbitrariamente (sia come variabili che come ordine degli elementi), studio uno stato generico dato da una trasformazione lineare dello stato x. Alla fine possiamo affermare che questa trasformazione rappresenta solo un cambiamento di coordinate

x = T x, x = T x

dato che det(T) ≠ 0 JT

x = ẋ = A x(t) + B u(t)

= TAT x + TDuCx + Du = ̅Cx + Du con T T = I _b ^b

TRASFORMATA DI LAPLACE

f(t) → F(s) = ∫ f(t)e dt = F[p]

con s = σ + j ω

Trasformate note:

• δ(t) → F(s) = 1
• 1(t) (gradino unitario,1(t) è l’ingresso) → F(s) = (singolarità in 0)
• ∫1(t) (ramo unitario) → F(s) = 1/ F (t) (parabola unitara) → F(s) = 1/
• e (t) → F(s) = 1/( - σ)
• sin(ωt)1(t) → F(s) = ω/(s + ω)
• cos(t)1(u→ F(s) = s/( (s + ω)

Proprietà:

• (l(t)f(t)+c F(s) = (F{s}+c F(s) (linearità)
• (f(t-t)1(t-l)) = e (Teorema della trasalczione nel dominio del tempo)
• (f(t)e = F(s) -a) (Teorema della trasalazione nel domiino della frequenza)
• (f(t)} = Fs(s) f→e) (Teorema della derivata nel dominio del tempo
• (f(t)dt = F(S)1(s) (Teorema dell’intergazione nel dominio del tempo
• (f(t)} = FS(s)1(-t)Gs(s) con f(t)θ(t-0 =) ∫ g(x)Iθ(t-x)dx = ∫ g(x)[Ξt-t]dx
• Se (f(t)) = _lim (t f(t)) = _lim (t f(t)) = _lim (s F(s) (teorema del valore finale)

E. S

• ( t )
• y(0)=1
• ẏ(0)=0

+ ẏ + 2y = u con u(t)1-l= 3e per t>0 → U(s), L{u(t)}, 3 s+7 1-25 (s+7)/1

-Y(s), L{y(t)}, L{y} + ẏ + 2y=1 - 25+1 / s(s+1)

(s)(Y(s) - y(0) - x(0) -3)/s/1)2X1y = -ish/2 + Y(s)

Se invece λ ∈ C abbiano dei modi naturali, pseudo periodici, ed otteniamo i seguenti comportamenti:

Il modo naturale tⁿ è convergente se e solo se Re[λ]