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Raggiungibilità e controllabilità

Raggiungibilità

Raggiungibilità descrive le possibilità di azione della funzione di ingresso u(t) così da modificare il movimento dello stato, partendo da uno stato iniziale e andando ad agire sull’ingresso u(t).

Stato raggiungibile

Uno stato x* si dice raggiungibile dallo stato iniziale x(t₀) al tempo t* se esistono:

• Un istante di tempo t* dove t* appartiene a [t₀, +∞)
• Una funzione di ingresso u*(t) con t appartenente a [t₀, t*]

Quindi con x(t) che è il movimento dello stato generato dall’ingresso u*(t) risulta che: x(t*) = x*.

Sistema raggiungibile

In un sistema lineare stazionario, si dice raggiungibile se tutti i suoi stati sono raggiungibili, quindi si può dire anche che il sistema è completamente raggiungibile. L’insieme degli stati raggiungibili rappresenta l’insieme di raggiungibilità che costituisce un sottospazio lineare dello spazio di stato x. Il sottospazio di raggiungibilità è l’insieme di raggiungibilità di dimensione massima. Dipende dal tempo.

Controllabilità

Controllabilità descrive le possibilità di azione della funzione di ingresso u(t) tramite il trasferimento di uno stato del sistema ad uno stato finale agendo su un ingresso u(t).

Stato controllabile

Uno stato x* si dice controllabile dallo stato finale x al tempo t se esistono:

• Un istante di tempo t* dove t* appartiene a [t₀, +∞)
• Una funzione di ingresso u*(t) con t appartenente a [t₀, t*]

Quindi con x(t) che è il movimento dello stato generato dall’ingresso u*(t) risulta che: x(t*) = x_finale.

Sistema controllabile

In un sistema lineare stazionario, si dice controllabile se tutti i suoi stati sono controllabili, quindi si può dire anche che il sistema è completamente controllabile. L’insieme degli stati controllabili rappresenta l’insieme di controllabilità che costituisce un sottospazio lineare dello spazio di stato x. Il sottospazio di controllabilità è l’insieme di controllabilità di dimensione massima. Dipende dal tempo.

Se un sistema è lineare stazionario e rispetta sia le proprietà di raggiungibilità che di controllabilità allora: ogni stato raggiungibile allo stato zero è anche controllabile allo stato zero e viceversa.

Teorema gramiano

• Si può raggiungere un qualunque stato finale da ogni stato x(t₀) di un sistema controllabile introducendo una matrice chiamata Gramiano di controllabilità. Quindi un sistema è lineare stazionario solo se il Gramiano di controllabilità non è singolare per ogni t > t₀. Serve per verificare la controllabilità di un sistema.
• Un sistema lineare stazionario è osservabile solo se il Gramiano di osservabilità non è singolare per ogni t > t₀. Serve per verificare l’osservabilità di un sistema.

Relazione tra raggiungibilità e controllabilità nei sistemi a tempo continuo e a tempo discreto

Raggiungibilità e controllabilità sono complementari: il concetto di raggiungibilità è legato agli stati che è possibile raggiungere mentre, il concetto di controllabilità è legato agli stati a partire dai quali è possibile raggiungere. Gli insiemi di raggiungibilità e di controllabilità dipendono solo dal numero di passi. Se la matrice R o C calcolata con i rispettivi [B AB A²B…] ha determinante diverso da 0 sarà non singolare e quindi avrà rango pieno; l’altra situazione è quella in cui il determinante della matrice sia uguale a zero, per cui la matrice sarà singolare.

Problema del controllo

Dato uno stato iniziale x(t₀), deve esistere una funzione di ingresso u(t) tale che, il sistema a partire da questo stato iniziale e dall’ingresso u(t), può raggiungere un qualunque stato finale x(t_finale) in un intervallo finito di tempo t. (Vedi anche il Gramiano di controllabilità).