Appunti Fondamenti di analisi 2

Formulario dei Fondamenti di Analisi

Matematica II

1. Funzioni di Più Variabili Reali

Sia f:D⊆Rn→R una funzione di n variabili reali x1​,x2​,…,xn​. Nel caso più comune, n=2 o

n=3.

●​ Dominio: L'insieme D dei punti (x1​,…,xn​) per cui la funzione è definita.

●​ Grafico: L'insieme dei punti (x1​,…,xn​,f(x1​,…,xn​)) in Rn+1.

●​ Curve di Livello (per n=2): L'insieme dei punti (x,y) tali che f(x,y)=k per una

costante k∈R.

○​ Spiegazione: Sono le "isolinee" o "isoipse" del grafico della funzione,

proiettate sul piano xy. Aiutano a visualizzare una funzione in 3D sul piano

2D.

●​ Superfici di Livello (per n=3): L'insieme dei punti (x,y,z) tali che f(x,y,z)=k per una

costante k∈R. 2. Calcolo Differenziale per Funzioni di Più Variabili

2.1. Derivate Parziali

Sia f(x,y) una funzione di due variabili.

●​ Derivata Parziale rispetto a x (fx​

o ∂x∂f​):

○​ Definizione: Si deriva la funzione rispetto a x, trattando y come una costante.

○​ Formula: ∂x∂f​(x0​,y0​)=limh→0​hf(x0​+h,y0​)−f(x0​,y0​)​

■​ Spiegazione: Rappresenta il tasso di variazione della funzione lungo

la direzione dell'asse x, mantenendo y fissa. Geometricamente, è la

pendenza della curva ottenuta intersecando il grafico di f con il piano

y=y0​.

●​ Derivata Parziale rispetto a y (fy​

o ∂y∂f​):

○​ Definizione: Si deriva la funzione rispetto a y, trattando x come una costante.

○​ Formula: ∂y∂f​(x0​,y0​)=limk→0​kf(x0​,y0​+k)−f(x0​,y0​)​

■​ Spiegazione: Rappresenta il tasso di variazione della funzione lungo

la direzione dell'asse y, mantenendo x fissa.

2.2. Gradiente

Sia f:D⊆Rn→R.

●​ Vettore Gradiente (∇f o grad f):

○​ Definizione: Vettore le cui componenti sono le derivate parziali prime della

funzione.

○​ Formula (per n=2): ∇f(x,y)=(∂x∂f​(x,y),∂y∂f​(x,y))

○​ Formula (per n=3): ∇f(x,y,z)=(∂x∂f​,∂y∂f​,∂z∂f​)

■​ Spiegazione: Il gradiente punta nella direzione di massima crescita

della funzione in un dato punto. La sua lunghezza (modulo) è la

velocità di crescita in quella direzione. È ortogonale alle curve (o

superfici) di livello.

2.3. Derivata Direzionale

Sia f:D⊆Rn→R e u un vettore unitario (∣∣u∣∣=1).

●​ Derivata Direzionale (Du​f o ∂u∂f​):

○​ Definizione: Tasso di variazione della funzione in una data direzione.

○​ Formula: Du​f(P0​)=∇f(P0​) (prodotto scalare)

⋅u

■​ Spiegazione: Se la funzione è differenziabile, la derivata direzionale è

la componente del gradiente nella direzione u.

2.4. Differenziabilità e Piano Tangente

●​ Differenziabilità: Una funzione è differenziabile in un punto se può essere

approssimata linearmente da una funzione lineare (il suo differenziale) in un intorno

di quel punto.

○​ Condizione sufficiente: Se le derivate parziali prime sono continue in un

intorno di un punto, allora la funzione è differenziabile in quel punto.

○​ Spiegazione: La differenziabilità è una condizione più forte della sola

esistenza delle derivate parziali e implica la continuità.

●​ Piano Tangente (per z=f(x,y) in (x0​,y0​,z0​)):

○​ Formula: z−z0​=∂x∂f​(x0​,y0​)(x−x0​)+∂y∂f​(x0​,y0​)(y−y0​)

■​ Spiegazione: Questo piano è la migliore approssimazione lineare del

grafico della funzione in prossimità del punto (x0​,y0​,z0​).

2.5. Derivate Seconde e Matrice Hessiana

●​ Derivate Parziali Seconde:

○​ fxx​=∂x2∂2f​

○​ fyy​=∂y2∂2f​

○​ fxy​=∂x∂y∂2f​

(derivata mista)

○​ fyx​=∂y∂x∂2f​

(derivata mista)

●​ Teorema di Schwarz: Se fxy​

e fyx​

sono continue, allora fxy​=fyx​.

●​ Matrice Hessiana (Hf​

o Matrice simmetrica delle derivate seconde.

∇2f):

○​ Formula (per n=2): Hf​(x,y)=(fxx​fyx​​fxy​fyy​​)

■​ Spiegazione: Utilizzata per classificare i punti critici (massimi, minimi,

selle).

2.6. Massimi e Minimi Relativi (o Locali)

●​ Punto Critico (o Stazionario): Un punto (x0​,y0​) dove ∇f(x0​,y0​)=0.

○​ Spiegazione: Sono i "candidati" a essere punti di massimo o minimo.

●​ Test della Derivata Seconda (Criterio dell'Hessiano): Sia (x0​,y0​) un punto critico.

○​ Calcolare D=det(Hf​(x0​,y0​))=fxx​(x0​,y0​)fyy​(x0​,y0​)−(fxy​(x0​,y0​))2.

■​ Se D>0 e fxx​(x0​,y0​)>0: (x0​,y0​) è un punto di minimo relativo.

■​ Se D>0 e fxx​(x0​,y0​)<0: (x0​,y0​) è un punto di massimo relativo.

■​ Se D<0: (x0​,y0​) è un punto di sella.

■​ Se D=0: Il test è inconclusivo.

2.7. Massimi e Minimi su Domini Chiusi e Limitati

●​ Teorema di Weierstrass: Una funzione continua su un insieme chiuso e limitato

(compatto) ammette sempre massimo e minimo assoluti su quell'insieme.

●​ Procedura per trovare max/min assoluti:

1.​ Trovare i punti critici interni al dominio.

2.​ Studiare il comportamento della funzione sul bordo del dominio (riducendosi a

un problema di Analisi 1 o utilizzando i Moltiplicatori di Lagrange).

3.​ Confrontare i valori della funzione in tutti i punti candidati (critici interni e punti

sul bordo). 2.8. Moltiplicatori di Lagrange

●​ Problema: Trovare i massimi/minimi di f(x,y,z) soggetti al vincolo g(x,y,z)=c.

●​ Funzione Lagrangiana: L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)−λ(g(x,y,z)−c)

●​ Sistema da risolvere: {∇f(x,y,z)=λ∇g(x,y,z)g(x,y,z)=c​

o equivalentemente: ⎩

⎧​∂x∂L​=0∂y∂L​=0∂z∂L​=0∂λ∂L​=0​

⎨

○​ Spiegazione: In un punto di estremo vincolato, i vettori gradiente di f e g

devono essere paralleli (o uno nullo), perché in quel punto le curve/superfici

di livello di f e g sono tangenti. λ è il moltiplicatore di Lagrange.

3. Calcolo Integrale per Funzioni di Più Variabili

3.1. Integrali Doppi

●​ Integrale Doppio su un Rettangolo R=[a,b]×[c,d]:

○​ Formula: ∬R​f(x,y)dA=∫ab​∫cd​f(x,y)dydx=∫cd​∫ab​f(x,y)dxdy

■​ Spiegazione: Calcola il volume del solido compreso tra la superficie

z=f(x,y) e il piano xy sul rettangolo R. L'ordine di integrazione può

essere scambiato (Teorema di Fubini) se la funzione è continua.

●​ Integrale Doppio su una Regione Generica D:

○​ Regione di Tipo 1 (verticalmente semplice): D={(x,y):a≤x≤b,g1​(x)≤y≤g2​(x)}

■​ ∬D​f(x,y)dA=∫ab​∫g1​(x)g2​(x)​f(x,y)dydx

○​ Regione di Tipo 2 (orizzontalmente semplice):

D={(x,y):c≤y≤d,h1​(y)≤x≤h2​(y)}

■​ ∬D​f(x,y)dA=∫cd​∫h1​(y)h2​(y)​f(x,y)dxdy

■​ Spiegazione: Si definiscono gli estremi di integrazione in base alla

forma della regione.

3.2. Cambi di Variabile negli Integrali Doppi

●​ Coordinate Polari (da (x,y) a (r,θ)):

○​ x=rcosθ

○​ y=rsinθ

○​ Jacobiano: J= ​det(∂r∂x​∂r∂y​​∂θ∂x​∂θ∂y​​) ​=r

○​ Formula: ∬D​f(x,y)dA=∬D′​f(rcosθ,rsinθ)⋅rdrdθ

■​ Spiegazione: Utile per regioni circolari o con simmetria radiale. Il

fattore r (Jacobiano) è cruciale e non va dimenticato.

3.3. Integrali Tripli

●​ Integrale Triplo su una Regione Solida E:

○​ Formula: ∭E​f(x,y,z)dV=∫∫∫E​f(x,y,z)dzdydx (o altre permutazioni)

■​ Spiegazione: Calcola l'integrale della funzione nello spazio 3D. Utile

per calcolare massa, centro di massa, momenti d'inerzia.

3.4. Cambi di Variabile negli Integrali Tripli

●​ Coordinate Cilindriche (da (x,y,z) a (r,θ,z)):

○​ x=rcosθ

○​ y=rsinθ

○​ z=z

○​ Jacobiano: J=r

○​ Formula: ∭E​f(x,y,z)dV=∭E′​f(rcosθ,rsinθ,z)⋅rdzdrdθ

■​ Spiegazione: Utile per regioni con simmetria cilindrica.

●​ Coordinate Sferiche (da (x,y,z) a (ρ,ϕ,θ)):

○​ x=ρsinϕcosθ

○​ y=ρsinϕsinθ

○​ z=ρcosϕ

○​ ρ≥0, 0≤ϕ≤π, 0≤θ≤2π

○​ Jacobiano: J=ρ2sinϕ

○​ Formula: ∭E​f(x,y,z)dV=∭E′​f(ρsinϕcosθ,ρsinϕsinθ,ρcosϕ)⋅ρ2sinϕdρdϕdθ

■​ Spiegazione: Utile per regioni con simmetria sferica (sfere, coni). I

range di ϕ e θ sono fondamentali.

4. Campi Vettoriali e Integrali di Linea/Superficie

4.1. Campi Vettoriali

●​ Definizione: Una funzione F:D⊆Rn→Rn che associa a ogni punto del dominio un

vettore.

○​ Per n=2: F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j

○​ Per n=3: F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k

4.2. Rotore e Divergenza

●​ Rotore (curl F o - per campi 3D): Misura la tendenza di un campo vettoriale a

∇×F

far "ruotare" gli oggetti.

○​ Formula: ​i∂x∂​P​j∂y∂​Q​k∂z∂​R​

∇×F=

​=(∂y∂R​−∂z∂Q​)i+(∂z∂P​−∂x∂R​)j+(∂x∂Q​−∂y∂P​)k

●​ Divergenza (div F o Misura la tendenza di un campo vettoriale a "divergere"

∇⋅F):

da un punto (sorgente) o "convergere" verso un punto (pozzo).

○​ Formula: ∇⋅F=∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​

■​ Spiegazione: Per campi 2D, è ∂x∂P​+∂y∂Q​.

4.3. Campi Conservativi e Potenziale Scalare

●​ Campo Conservativo: Un campo vettoriale F è conservativo se è il gradiente di una

funzione scalare (f), detta potenziale scalare. Cioè, F=∇f.

●​ Condizione di Conservatività (per dominio semplicemente connesso):

○​ Per campi 2D: ∂x∂Q​=∂y∂P​

○​ Per campi 3D: (il rotore è il vettore nullo)

∇×F=0

■​ Spiegazione: Se un campo è conservativo, il suo rotore è nullo. Il

viceversa è vero in domini semplicemente connessi (senza "buchi").

●​ Calcolo del Potenziale Scalare: Se F=(P,Q,R) è conservativo, si risolve il sistema: ⎩

⎧​∂x∂f​=P∂y∂f​=Q∂z∂f​=R​

integrando e confrontando i risultati.

⎨ 4.4. Integrale di Linea (o Curvilineo)

Sia C una curva parametrizzata da r(t)=(x(t),y(t),z(t)), per a≤t≤b.

●​ In